Funciones parametricas, con Geogebra PDF

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Guia de Trabajo para Analisis Matematico 2...

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1. FUNCIONES DEFINIDAS PARAMÉTRICAMENTE No siempre encontramos a las funciones definidas como una relación directa entre un par de variables “x” e “y”. Es posible, muchas veces por comodidad para su estudio ó por no ser la forma más conveniente de describir una curva en el plano de coordenadas, definir funciones mediante una tercera variable, que se la encuentra en la literatura con la letra “t”, llamada parámetro. Esta forma es muy importante para muchas aplicaciones. Ejemplo 1: Supongamos las relaciones: x = 1 − t, y = 2t. Para t ∈ −2,2

A cada valor del parámetro t le corresponde un valor para x y otro para y. Veamos este ejemplo en una tabla de valores, construyamos con ella el diagrama cartesiano.

T 0 1 2 -1 -2

x 1 0 -1 2 3

y 0 2 8 2 8

Figura 1. Gráfico de la función x = 1 − t, y = 2t , t ∈ −2,2

Para construir el diagrama cartesiano, simplemente llevamos los pares de valores de las variables x e y sobre un sistema de ejes cartesianos (Figura 1). Es posible de esta manera definir curva plana usando ecuaciones paramétricas.

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Definición 1. Curva Plana Si f y g son dos funciones continuas definidas sobre un intervalo común I, entonces x = ft, y = gt se llaman ecuaciones paramétricas y t recibe el nombre de parámetro. El conjunto C de pares ordenados ft, gt cuando t varía sobre el intervalo I se denomina curva plana.

Comúnmente se suele referir a las ecuaciones x = ft, y = gt para t ∈ I, como una parametrización de la curva C. Una de las ventajas que tiene trazar una curva por sus ecuaciones paramétricas es que a medida que crecen los valores del parámetro, y se grafican los puntos de coordenadas, la curva se traza en una cierta dirección, y esta dirección se denomina orientación de la curva. Por ello cabe aclarar que cuando las funciones ft, gt se definen en un intervalo cerrado I = a, b decimos que los puntos fa, ga y fb, gb son los puntos inicial y final de la curva. Cada vez que estos puntos coincidan, la curva será cerrada. Si no se cruza a sí misma se la denomina cerrada simple. En el ejemplo 2 encontraremos una utilidad muy importante de la utilización del programa Geogebra para graficar una curva a través de sus ecuaciones paramétricas. Por medio de la utilización de deslizadores observaremos la orientación de la curva en el intervalo considerado. Ejemplo 2: Graficaremos la curva por medio del Geogebra dadas sus ecuaciones paramétricas: x = 1 − t , y = t + 2. Para t ∈ −3,3

1° Ingresamos las funciones por la ventana de entra da y luego las ocultamos. (Figura 2)

Figura 2

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2° Definimos un deslizador y le damos la variación del intervalo [-3,3]. (Figura 3)

Figura 3 3° Por la ventana de entrada ingresamos la palabra curva, como expresiones ingresamos f(t) y g(t) (son los nombres que el programa asigno a las funciones que ingresamos previamente). Como parámetro ingresamos t, en valor inicial ingresamos el límite inferior del intervalo y como valor final el nombre del deslizador. (Figura 4, a) y b)).

a)

b) Figura 4 4° Al mover el deslizador podemos observar cómo se grafica la curva. Observar que en este caso la curva graficada no es una función. (Figura 5)

Figura 5

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Actividades 1: a. Escribir cuales son las funciones f(t), g(t) y el intervalo  para el ejemplo 1. Dar los puntos inicial y final, informar si la curva es cerrada, y si lo es simple. b. Graficar la curva  que tiene las siguientes ecuaciones paramétricas:  =  ,  =   .  = −1,2. Para ello confeccionar previamente una tabla de valores, indicando los que se les dan al parámetro, y los que se obtienen de las variables. c. Encuentra una parametrización del círculo  +  =   . (Idea, suponga que t representa el ángulo central, o sea el ángulo con vértice en el origen de coordenadas y lado inicial coincidente con el semieje positivo de las x. Use trigonometría y observe que cuando  ∈ 0,2π (recorre toda la circunferencia). d. Complete cada tabla para un conjunto dado de ecuaciones paramétricas: i.  = 2 + 1 ,  =  + 

t -3 -2 -1 0 1 2 3 x y ii.  = cos  ,  = #$%  t x y

0 & & & & & 5& 7& 6 4 3 6 2 6 6

e. Grafique la curva que tiene el conjunto indicado de ecuaciones paramétricas i.  =  − 1 ,  = 2 − 1 ,  = −1, 5 ii.  = 3 ,  =  − 1 ,  = −2, 3 iii.  = √ ,  = − + 5 ,  = ℝ-. 0 0 iv.  = 3 + 2 #$%  ,  = 4 + #$%   = /− , 1 0 0

v.  = 4 23#  ,  = 4 #$%   = /−  , 1 vi.  = $4,  = $4,  = 0, ln 2

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Una Flor a través de sus ecuaciones paramétricas

Figura 6 Cardiode a través de sus ecuaciones paramétricas

Figura 7

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1.1 Eliminación del parámetro. Muchas veces desde un par de ecuaciones paramétricas se desea eliminar el parámetro, escribiendo la curva en forma cartesiana, decimos que damos una ecuación regular de la curva. Supongamos que en el ejemplo se desea eliminar el parámetro, basta con despejar t de la primera ecuación  = 1 − , y reemplazarlo en la otra  = 2 ; es decir:  = 1 −  →  = 1 − ; ∴  = 21 − , 2  −1 ≤ 1 ;< −= ≤ 3 ∴ ?−1, 3. >

?−1, 3

y

cuando

−2 ≤  ≤ 2 , −2 ≤ − ≤

La ecuación regular es:

@ = 21 −  ,

Actividad 2: a. Eliminar el parámetro para los problemas b y c de la actividad 1.

b. En cada uno de los siguientes casos, elimine el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas y obtenga una ecuación regular que tenga la misma gráfica. Indique además el dominio de la función obtenido. i.  =  ,  =  A + 3 − 1 ii.  =  +  + 4 ,  = −2 − 2 0 0 iii.  = − cos 2 ,  = #$%  ,  = /− A , A 1 iv.  = $4,  = ln  ,  > 0.

Una curva  descripta por una función continua  = @ también se suele parametrizar, dejando  = . Las ecuaciones paramétricas para  , son  = ,  = @ .

Una curva  descripta paramétricamente por las ecuaciones  = @,  = C,  ∈ , D se dice que es suave si tanto @′ como C′ son contínuas en , D y no se anulan simultáneamente en , D. También podría ser suave por secciones, ese caso se puede presentar cuando el intervalo , D puede dividirse en subintervalos tales que  es suave en cada uno de ellos. Actividad 3:

Con todas las curvas trabajadas en las dos actividades anteriores, decir cuáles son suaves, cuales suaves por secciones. Definir los intervalos donde se presente la suavidad. Sugerencia: En el 2,b),iii, graficar las derivadas primeras de las funciones paramétricas en Geogebra y deducir donde se anulan simultáneamente.

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Hemos enfocado las curvas planas  definidas paramétricamente en dos dimensiones. Para el estudio del cálculo en varias variables, que es el objetivo de este curso, verás curvas y superficies en tres dimensiones (XYZ) que también se pueden definir utilizando ecuaciones paramétricas. Por ejemplo una curva espacial  consiste en un conjunto de ternas ordenadas de la forma @, C, ℎ , donde f g y h se definen sobre un intervalo común , y las ecuaciones paramétricas para  son:  = @,

 = C,

F = ℎ,

∈

Por ejemplo la hélice circular (Figura 8) se realizó en el programa GeoGebra 5.0 Beta y es una curva espacial cuyas ecuaciones paramétricas son de la forma:  =  23#,

 = D #$% ,

F = 2,

≥0

Figura 8. Hélice circular con a=b=4

Observemos en este caso el plano xy desde abajo ¿Qué conclusiones obtienes? (Figura 9)

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Figura 9 Ahora modificaremos los coeficientes a y b de las ecuaciones paramétricas: Asignaremos los siguientes valores: a = 3 y b = 6. Nuestras nuevas ecuaciones paramétricas son: x = 3 cost, y = 6 sent, z = t, t≥0

Figura 10 Prof. Máster Osmar Darío Vera

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Observemos nuevamente el plano xy desde abajo y saca tus conclusiones. (Figura 11)

Figura 11 Las superficies de tres dimensiones se representan mediantes un conjunto de ecuaciones paramétricas que involucran dos parámetros (ya no uno solo llamado t como usamos para las curvas planas), que se suelen llamar u y v. Entonces sus ecuaciones paramétricas son: x = fu, v,

y = gu, v,

z = hu, v.

Por ejemplo el helicoide circular que se muestra en la Figura 11, está definido por el conjunto de ecuaciones paramétricas x = u cosv ,

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y = u sen v,

z = bv.

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Figura 11. Helicoide circular Son similares a las últimas anteriores, siendo b una constante. Se podría reconocer al helicoide circular como el modelo para el álabe curvado rotatorio en máquinas como excavadoras para hoyos de postes, taladros de hierro y máquinas quitanieve. Nota: El ADN que es la única prueba que garantiza la paternidad de una camada, evitando así fraudes o confusiones innecesarios, tiene la forma de una doble hélice, tal como se muestra en la Figura 12.

Figura 12 ADN, es una doble hélice

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2. LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y EL CÁLCULO 2.1. Ecuaciones paramétrica y la derivada Es posible obtener información muy útil acerca de una curva C definida NO paramétricamente examinando su derivada NP , tal como se hizo con las gráficas de las funciones y = fx. Del mismo modo como interpretamos geométricamente la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto (Figura 13), lo haremos para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto Px, y sobre una curva C suave. La pendiente buscada está dada por que ya han visto como:

NO NP

, y para calcular se usa la definición

dy fx + ∆x − fx ∆y = lim = lim ∆P→. ∆P→. ∆x dx ∆x

Figura 13. Interpretación geométrica de la derivada para una función univariada NO

Utilizando esta última definición de derivada definiremos la NP en el caso de curvas planas C definidas en forma paramétrica.

Supongamos un incremento del parámetro t en ∆t , los incrementos ∆x y ∆y de las variables x e y respectivamente serán: ∆x = ft + ∆t − ft, y ∆y = gt + ∆t − gt, por todo ello el cociente

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∆O ∆P

es:

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∆y

∆t ∆y ∆x

∆t ft + ∆t − ft gt + ∆t − gt.

= ∆x = ∆t Por tanto, utilizando la definición de derivada, ∆t

lim ∆y/∆t dy/dt ∆y ∆V→. dy = = lim = dx ∆P→. ∆x lim ∆x/∆t dx/dt ∆V→.

Siempre que el límite del denominador no sea cero, la forma paramétrica de la derivada se resumirá mediante el siguiente teorema: Teorema: Pendiente de una recta tangente Si x = ft , y = gt definen una curva suave C , entonces la pendiente de una recta tangente en un punto Px, y sobre C es dy dy/dt g X t = = dx dx/dt f X t

Definida para todos aquellos valores de t tal que f′t ≠ 0. Ejemplo 1: (Recta tangente). Encuentre la ecuación de una recta tangente a la curva que tiene por ecuaciones paramétricas a: [ ∶ x = t  − 4t − 2, y = t

]

− 4t − 1 , en el punto correspondiente a t = 1.

Solución: Para resolverlo debe, de acuerdo con el teorema ultimo anterior NO NP seguir los siguientes pasos: 1) obtener NV y NV . 2) Realizar el cociente entre los NO

dos resultados, hallando de este modo NP , finalmente 3) evaluar el resultado en t = 1. ^_

`

De esta forma: ^> 1 = − 

Si sustituye t = 1 en las ecuaciones paramétricas originales, podrá encontrar las coordenadas P. x. , y.  del punto de tangencia.

1 = 1 − 4.1 − 2 = −5 1 = 1] − 4. 1  − 1 = −4 a. −5, −4

De este modo la ecuación de la recta tangente a [ en P. es: 7 y + 4 = − x + 5 2

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Actividad 1:

1. Para cada una de las siguientes curvas, encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto correspondiente al valor indicado. i. ii. iii. iv.

 =  −   ,  =   + 5 ,  = −1  = √ + 1,  =  A ,  = 2  = $4,  = $ bA4 ,  = ln 2  = 2 c − 2#$%c,  = 2 − 2 cos c , c =

v.  = 2 + 4,  =  vi.  =  A − 9,  = 

 + ln  A −  ;

, =1 a0, 6.

0 A

2. Una curva [ tiene ecuaciones paramétricas  =  ,  =  + 1. ¿En qué punto sobre [ está la recta tangente dada por  + 3 − 5 = 0.

 Recta tangente horizontal y vertical. Los puntos P en los que la recta tangente a una curva [ es horizontal, son todos aquellos para los que se NO NP cumple que la NV = 0 y la NV ≠ 0. Del mismo modo aquellos en los que recta tangente sea vertical, son lo que cumplen con la condición que

NO

NP NV

=0 y

≠ 0 . Cuando suceda que ambas sean nulas en un punto, no es posible obtener una conclusión inmediata acerca de las tangentes.

NV

Ejemplo 2: (Gráfica de una curva paramétrica). Dada la curva que tiene por coordenadas paramétricas a:  =  − 4 ,  =  − . Se pide graficarla, para ello se aconseja realizar cuatro pasos previos: 1) Encontrar las intersecciones con el eje x; 2) Encontrar los puntos en donde la tangente es vertical; 3) Encontrar los puntos donde la tangente es horizontal. Con toda esa información confeccionar una tabla de valores para la tripleta , , . En contraste con lo que sucede con la gráfica de una función diferenciable dada por la ecuación  = @ , es posible encontrar puntos en una curva [ definida mediante ecuaciones paramétricas que admitan más de una recta tangente, ya que [ no necesariamente debe ser una función.

Ejemplo 3: Mostrar analíticamente que para la curva dada en el ejemplo último anterior esa curva presenta dos rectas tangentes en a−3,0.

Podemos verificar gráficamente en el GeoGebra la existencia de dos rectas tangentes en el punto a−3,0. Figura 14

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Figura 14 Actividad 2: Para cada una de las siguientes curvas, encontrar los puntos en los cuales la recta tangente es horizontal o vertical. Grafica la curva. i.  =   −  ,  =   ii.  =  − 1 ,  =   − 3 . iii.  = #$%  ,  = cos 3 , 0 ≤  ≤ 2&

2.2. Ecuaciones paramétrica y la integral. I. Longitud de una gráfica Supongamos una función  = @ con una primera derivada continua sobre un intervalo , D, entonces recordemos que en ese caso decimos que la gráfica de f es suave y se denomina función suave, o sea que esta gráfico no tiene picos. El objetivo de este parágrafo es encontrar una fórmula formal que nos permita calcular la longitud L, o longitud de arco, de una gráfica suave sobre un intervalo , D.

La fórmula que buscamos la encontraremos a través de la construcción de una integral, utilizando las herramientas ya conocidas para la definición de la misma utilizando la suma de Riemann en un intervalo. II. Construcción de una integral Supongamos una función  = @ con una primera derivada continua sobre un intervalo , D , y a una partición arbitraria del intervalo como sigue: Prof. Máster Osmar Darío Vera

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 = . < f <  < ⋯ < hbf < h = D Como ya lo has hecho en su momento cuando definiste la integral Riemann en un intervalo, consideremos ∆ i el ancho del késimo subintervalo y ∥ a ∥ el ancho del subintervalo más grande. La idea es calcular la longitud del arco de esa gráfica desde A hasta B, tomando pedazos de segmentos de la curva, de acuerdo con la partición (primero se aproxima), luego ir afinando la partición, tal como se Figura 15. Cálculo de la longitud de una indica en la Figura 15 gráfica Se trata de aproximar la longitud de la gráfica sobre cada subintervalo ibf , i  y asi encontrar la longitud ki de la cuerda entre los puntos  ibf , @ ibf  y i , @ i  desde D hasta E, para todos los valores de l = 1,2, … , %. La longitud ki se obtiene a partir del Teorema de Pitágoras: ki = n∆ i  + ∆i  = n i − ibf   + @ i − @ibf  .

1

Por el teorema del valor medio (ver Anexo 1) sabemos que en cada subintervalos abierto ibf ,  i  existe un número i∗ tal que vale la siguiente igualdad: @i  − @ibf  = @ ′ ∗i   i − ibf

ó bien @i  − @ibf  = @ ′ ∗i . i −  ibf .

Al usar la última igualdad para reemplazar en (1) se obtiene: ki = n∆ i  + ∆i   = n i − ibf  + @i − @ibf  = pi − ibf   + @′ ∗i  . i − ibf  = pi − ibf 1 + @′  ∗i  = p1 + @′ i∗  i − ibf  = p1 + @′ ∗i  . ∆i Prof. Máster Osmar Darío Vera

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Ahora aplicamos la suma de Riemann a ki . La suma (2) representa la longitud de la curva poligonal que una , @ con D, @D y nos da una aproximación a la longitud total de la gráfica para valores de  ∈ , D. h

h

irf

irf

q ki = q p1 + @′ ∗i   . ∆i

2

Cuando hacemos tender la norma de la partición a a cero obtenemos: u

h

lim q p1 + @X ∗i . ∆ i = t n1 + @

∥s∥ →.

irf

v

X 

w .

∥ a ∥ → 0,

3

Todo el análisis anterior nos sugiere la definición de la longitud de una gráfica en un intervalo: Definición: Longitud de arco Sea f una función para la cual f’ es continua sobre un intervalo a, b. Entonces la longitud L de la gráfica de y = fx sobre el intervalo está dada por: y

L = t n1 + f z

X

x dx

Ejemplo 4: (Longitud de una gráfica). Encuentre la longitud de la gráfica f y = A x  desde el origen (0,0) al punto (4,4). Utilizando el GeoGebra verificaremos que la longitud el arco buscada es el valor que obtuvimos analíticamente. Sugerencia: Graficar y utilizar la herramienta Longitud para medir el arco pedido, luego ubicar puntos y graficar segmentos entre los puntos, a continuación efectuar la suma de los segmentos y sacar conclusiones. Repetir el procedimiento utilizando particiones cada vez más pequeñas. Actividad 3: 1. Para los siguientes problemas, encuentre la longitud de la gráfica de la función dada sobre el intervalo indicado. i.  =  ; −1, 1 ii.  =  / + 4 ; 0, 1 iii.  + 1 = 4 + 1 ; −1, 0

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2. En los siguientes problemas establezca, pero no evalúe, una integral para la longitud de la función dada sobre el intervalo indicado. i.  =   ; −1,3 ii.  = #$%  ; 0, & iii.  = 2√ + 1 ; −1,3

3. Calcule la longitud de una circunferencia centrada en (0,0) y de radio 1. 4. Es posible demostrar que la longitud de la elipse 0/

4 |.

>{ v{

√1 − $  #$%c wc siendo e la excentricidad de la elipse.

_{

+ u{ = 1 es

Como todos lo habrán descubierto en este último parágrafo hemos regresado utilizando herramientas del cálculo ya conocidas por todos ustedes, esto lo haremos muy a menudo. Hemos necesitado contar con la expresión de la fórmula de la longitud de una gráfica para llegar a la fórmula general de longitud de curva que obtendremos a continuación, nos ayudaremos además por la curva expresada en ...