Longitud y area parametricas PDF

Preview

Summary

Download Longitud y area parametricas PDF

Description

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA

CÁLCULO VECTORIAL TEMA: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DOCENTE: RUTH STELLA GARCIA M.

1. Longitud de arco en forma paramétrica Como aprendimos en “Cálculo Integral “ la siguiente fórmula nos será útil para calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos, o sea, para medir la longitud de arco generado por una función .

Debemos tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo (a,b) . También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos y su gráfica se conoce como una CURVA SUAVE.

Longitud de arco en forma paramétrica. Si una curva está dada por x=f(t) y y=g(t) y no se corta a sí misma en el intervalo a≤ t ≤b, entonces la longitud de arco de esa curva en ese intervalo está dada por:

Ejemplo: Determinar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

Solución. Derivando la ecuación paramétrica “x”:

Derivando la ecuación paramétrica “y”:

Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:

Sustituyendo:

2. Área de una superficie de revolución en forma paramétrica. Si una curva dada por x=f(t) y y=g(t) en un intervalo a≤ t ≤b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de la curva, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por:

Si gira en torno al Eje x.

Si gira en torno al Eje y.

Es importante aclarar que estas fórmulas se pueden demostrar partiendo de las fórmulas de área de una superficie de revolución en forma rectangular.

Ejemplo: Determinar el área de una superficie de revolución para las ecuaciones paramétricas ;

Derivándolo con respecto a “θ”:

Derivándolo con respecto a “θ”: Del punto (3,0), si x=3: ; ;

;

Del punto

, si

;

;

:

;

;

Entonces:

Cambiando la variable “t” por “θ”:...