Fundamentos de Álgebra - UFMG - Dan Avritzer e outros PDF

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

Dan Avritzer Hamilton Prado Bueno Marília Costa de Faria Ângela Maria Vidigal Fernandes Maria Cristina Costa Ferreira Eliana Farias e Soares

Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática

À Eliana, inesquecível colega, amiga, companheira.

APRESENTAÇÃO Este livro teve a sua origem em 1976, quando Dan Avritzer ministrou uma primeira disciplina em Álgebra para os alunos do curso de Matemática da UFMG. Nessa época os textos elementares disponíveis em português, de fácil acesso e boa qualidade, eram o do curso que Said Sidki ministrou no 10o Colóquio Brasileiro de Matemática e uma tradução de um livro curto de Serge Lang, denominado "Estruturas Algébricas". Os demais eram, em sua grande maioria, publicados em inglês ou francês. As peculiaridades de então do curso de licenciatura em Matemática motivaram Dan a trabalhar um primeiro texto, no qual o método axiomático e o rigor fossem introduzidos em situações simples. Esse foi testado por ele e por outros professores, no período 1976/1977. Houve um hiato de alguns anos até que no início da década de 80 vários docentes retornaram de programas de doutorado e a proposta de se examinar cuidadosamente os conteúdos e os enfoques da disciplina "Fundamentos de Álgebra" foi retomada e, ao longo dos anos, várias versões de um texto circularam e foram adotadas nessa disciplina, culminando neste. O livro introduz alguns conceitos e métodos básicos, essenciais à formação quer de um professor de Matemática, quer de um Matemático. O rigor e a axiomática são utilizados no contexto de números inteiros e transplantados, verbatim, para o contexto de polinômios em uma variável. O mínimo essencial para o estudo dos inteiros é percorrido de maneira suave, terminando com um breve estudo da noção de congruência, motivadora primordial do conceito de estrutura quociente. Os polinômios em uma variável são trabalhados exatamente na mesma ordem em que os inteiros o foram, exemplificando de maneira simples um dos propósitos fundamentais da Matemática, a busca de padrões. Os exercícios são motivadores, condizentes com uma primeira apresentação do assunto, têm a qualidade de não serem repetitivos e são em número adequado. O livro atinge dois propósitos: é referência segura para professores do ensino médio e é uma correta introdução à Álgebra elementar em nível universitário.

Márcio Gomes Soares v

PREFÁCIO Na primeira metade da década de 80, nós, um grupo de professores do Departamento de Matemática da UFMG, resolvemos escrever um texto para a disciplina "Fundamentos de Álgebra". No então currículo de graduação em Matemática, essa disciplina era o primeiro contato dos estudantes com o método axiomático. Sua ementa era simples: indução matemática, números inteiros e divisibilidade, congruências e polinômios. Essa ementa era considerada adequada para uma disciplina com esse propósito, uma vez que, em grande parte, abordava tópicos já conhecidos dos estudantes desde o ensino básico. Já havia bibliografia em português para o assunto. Entretanto, os livros existentes não tinham a preocupação de introduzir a matéria tendo em vista a completa inexperiência de seus leitores com o método axiomático. As provas eram apresentadas sem preocupação com sua heurística. Achávamos esse tratamento inadequado para o objetivo almejado. Nosso objetivo era a redação de um texto ameno, que procurasse motivar cada conceito introduzido e, dentro do possível, apresentá-lo dentro de um contexto histórico. Um texto que aceitasse a inexperiência inicial do aluno, mas que fosse capaz de acompanhar sua evolução com o decorrer do curso. E, diferentemente dos textos já existentes em português, não procurávamos a abordagem mais concisa ou elegante, ou mesmo aquela mais passível de generalizações; queríamos adotar, tanto quanto possível, o mesmo enfoque empregado no ensino básico, tornando nosso texto uma fonte de consulta imediata para os professores daqueles níveis. Não demos ênfase à apresentação de estruturas algébricas. Preferimos salientar apenas as similaridades entre inteiros e polinômios, deixando para cursos mais avançados a generalização das estruturas envolvidas. De qualquer maneira, pensamos que os dois exemplos básicos dessas estruturas foram apresentados, preparando o aluno para os conceitos mais abstratos da Álgebra. Depois de finalizado, o texto foi editado como apostila e adotado por quase todos os professores da disciplina "Fundamentos de Álgebra" na UFMG. Alunos dessa disciplina que vieram a se tornar professores universitários passaram também a utilizá-lo em seus cursos. E, assim, o texto começou a ser adotado em diversas faculdades do interior de Minas Gerais. Independentemente das críticas feitas ao texto – algumas delas vindas de vii

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PREFÁCIO

seus próprios autores – há que se constatar que a receptividade desse material por parte dos alunos sempre foi bastante favorável. Talvez essa seja a melhor justificativa para a presente edição deste livro. O Brasil do começo dos anos oitenta vivia um período de final de ditadura e difusão de um sentimento de cooperação. Consonante com o espírito da época, esse trabalho nunca foi assinado. Seus autores se identificavam com o "Grupo de Álgebra", embora um deles nunca tenha se dedicado a essa área da Matemática. Vários de seus autores já tinham lecionado anteriormente a disciplina "Fundamentos de Álgebra". Mesmo assim, o texto nasceu a partir de discussões (em sua maioria, bastantes acaloradas) em torno de cada um dos temas abordados, procurando um enfoque que satisfizesse a todos os membros do grupo. Após extensas discussões, chegávamos à redação de um texto provisório que, experimentado em sala de aula, era alvo de críticas e novas discussões. Um processo que parecia interminável, mas que foi concluído por volta de 1985. Desde então, o texto permaneceu praticamente inalterado, sofrendo apenas simples correções. Assim, quase 20 anos após a sua edição inicial como apostila, não deixa de ser curioso que este texto seja agora publicado como livro. Dentre seus seis autores, dois estão aposentados e um faleceu. A sua publicação trouxe consigo um problema ético: alterar o texto, de modo a adequá-lo às atuais concepções de parte de seus autores? Ou mantê-lo, tanto quanto possível, inalterado? Optamos por tentar manter a essência do texto, embora corrigindo-o e atualizando-o, quando necessário. Para tornar sua concepção mais coerente, foram feitas adequações: alguns exercícios propostos foram reformulados, outros deram origem a material incorporado ao texto. Foram inseridos textos que já estavam redigidos, mas que não estavam presentes na apostila. Entretanto, ainda é possível ver este livro como uma edição melhorada daquela apostila. E era isso que ambicionávamos nessa revisão... Por outro lado, a oportunidade de reavaliar o texto original nos deixou com a impressão de que ele satisfaz os objetivos escolhidos quando de sua redação. E achamos que isso é suficiente para justificar sua edição como livro. Agradecimentos. No decorrer de todos esses anos após a edição inicial desse texto como apostila, é difícil nomear todos aqueles que colaboraram para o aperfeiçoamento do mesmo. Diversos professores que ministraram o curso de "Fundamentos de Álgebra"na UFMG contribuíram com sugestões, correções e discussões sobre o material apresentado. Alunos de diversos anos em que a disciplina foi lecionada apontaram incorreções e sugeriram aprimoramentos. Cabe, entretanto, destacar algumas pessoas: os Profs. Antônio Zumpano Pereira Santos, Jorge Sabatucci e Márcio Gomes Soares, que adotaram o texto em seus cursos e contribuíram com inúmeras sugestões; o aluno Rogério Scalabrini, que foi responsável pela datilografia da apostila e muitas correções; a aluna Cláudia Regina da Silva Lima, que digitou em LATEX este texto.

ix Utilizamos as fontes de Peter Wilson para os caracteres hieróglifos e gregos arcaicos, e as de Karel Píška para os caracteres cuneiformes. A todos, o nosso muito obrigado. A edição deste livro foi possível graças ao financiamento da Pró-Reitoria de Graduação da UFMG, através de projeto de produção de material didático.

Belo Horizonte, abril de 2004 Dan Avritzer Hamilton Prado Bueno Marília Costa de Faria Maria Cristina Costa Ferreira Ângela Maria Vidigal Fernandes Eliana Farias e Soares (in memoriam)

AO ALUNO Este texto tem um duplo propósito. Por um lado, pretende apresentar o estilo em que são redigidos os textos de matemática. Em outras palavras, introduzir o método axiomático. Isto é feito, no nosso caso, justamente através do estudo dos conjuntos dos números inteiros e dos polinômios. No ensino básico, a preocupação predominante de um texto de matemática era explicar o porquê de tal ou qual problema ter sido resolvido de uma determinada maneira. Em outras palavras, aprender tinha o significado de o aluno ter compreendido o que o professor (ou o livro) justificava. Para se efetuar, por exemplo, a divisão de dois números inteiros, o professor explicava o funcionamento do algoritmo da divisão, justificando-o da melhor maneira possível. Se essa explicação fosse convincente, o aluno seria capaz de perceber quando tal algoritmo era aplicável, ou seja, quais números inteiros podiam ser divididos um pelo outro. O importante era a utilização do algoritmo ensinado e não investigar sob quais condições ele poderia ser aplicado. Essa mesma postura foi adotada nos primórdios da matemática, cuja ênfase é prática : "é assim que se faz". O florescimento da matemática grega introduziu uma nova postura, que contestava o saber prático e que tem sido utilizada desde então em todos os ramos da matemática: não bastava verificar a validade de uma afirmação para uma série de casos; era preciso deduzi-la de fatos básicos, tidos como inquestionáveis ou então aceitos em determinado contexto. Assim, por exemplo, para um babilônio, era indubitável que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, já que esse fato poderia ser verificado para cada triângulo. Esse é um exemplo de utilização do saber indutivo. A matemática grega se opunha a essa postura: era preciso provar esse fato a partir de verdades básicas (axiomas, princípios ou postulados), através de passagens lógicas irrefutáveis1 . Esse é o método dedutivo. No Capítulo 2 apresentaremos exemplos de questionamentos ao saber indutivo e de aplicações do método dedutivo. Uma das grandes dificuldades de todo texto que pretende introduzir o método axiomático é escolher quais fatos serão aceitos como inquestionáveis e quais precisarão ser deduzidos. Tentar chegar aos princípios básicos de todo o conhecimento matemático é uma tarefa inglória: as dificuldades serão imensas e a exposição será dificultada, 1O

estudo da geometria no ensino básico é feito sob essa diretiva. Inicialmente os postulados da geometria euclidiana foram tidos como evidentes. Entretanto, a negação de seu quinto postulado deu origem a novas geometrias e os postulados aceitos passaram a depender do contexto.

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fazendo com que o texto perca a simplicidade. Por exemplo, podemos partir dos números naturais como conhecidos. Mas é possível construir o conjunto dos naturais, isto é, obtê-lo de resultados mais fundamentais. Aceitaremos como verdadeiros fatos básicos sobre os números inteiros. Mas não explicitaremos quais resultados serão tidos como verdadeiros. Isso pode causar-lhe alguma dificuldade, já que você poderá ter dúvidas sobre o que é evidente e o que não é. Como norma, podemos sintetizar que todo processo (algoritmo, resultado) geral deverá ser demonstrado, enquanto algumas afirmações particulares serão aceitas como válidas. Por exemplo, demonstraremos que podemos sempre dividir o número inteiro a pelo número inteiro b, desde que b 6= 0. Mas não mostraremos a inexistência de um número natural entre 1 e 2, fato que aceitaremos como óbvio. (A nossa experiência didática nos diz que é infrutífera a tentativa de explicitar aquilo que aceitaremos como verdadeiro.) O material que apresentaremos nesse curso você conhece, em grande parte, desde o ensino básico: números inteiros, critérios de divisibilidade, números primos, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, polinômios. Isso torna, ao nosso ver, mais fácil a introdução do método axiomático, pois você estudará apenas a demonstração de resultados (em grande parte) já conhecidos, e terá contato restrito com material que não conhece. Contudo, aprender o método axiomático não é brincadeira de criança. O método traz consigo uma linguagem abstrata que, muitas vezes, pode ser difícil de entender. Por exemplo, você pode não ser capaz de compreender a seguinte frase: não existe um número real a > 0 tal que a < (1/n ), para todo número natural n ≥ 1. Tentaremos, tanto quanto possível, introduzir paulatinamente a linguagem abstrata, para que você possa se inteirar de seu significado. Isso será feito motivando o estudo de um determinado problema ou a apresentação de uma demonstração. Mas, em última instância, a linguagem abstrata somente deixará de ser um problema através da sua utilização corriqueira. Em outras palavras, através de muitas horas de estudo. Mas o texto tem um segundo objetivo: ao estudar os inteiros e polinômios, ele pretende comparar esse conjuntos, apresentando propriedades que lhes são comuns. Por exemplo, se b 6= 0, a possibilidade de escrevermos a = qb + r, com 0 ≤ r < b no caso dos inteiros ou, no caso de polinômios, r = 0 ou gr (r ) ≤ gr(b), em que gr ( p) denota o grau do polinômio p. Ou a possibilidade de decompormos a = p1 · · · pk como produto de fatores primos, no caso dos inteiros, ou fatores irredutíveis, no caso de polinômios. Se, ao final dessa jornada, o método axiomático deixar de ser uma abstração desagradável e as similaridades entre os conjuntos dos inteiros e o dos polinômios tornarem-se claras, estaremos duplamente recompensados. E você poderá prosseguir no estudo da álgebra abstrata, que procura justamente estudar e classificar conjuntos com propriedades semelhantes, em especial, grupos, anéis e corpos.

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO

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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 1.1 O P ROCESSO DE C ONTAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 U M P OUCO S OBR E S ISTEMAS DE N U MER AÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 A R EPRESENTA ÇÃO DE UM N Ú MER O EM UMA B ASE . . . . . . . . . . . . .

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INDUÇÃO E BOA ORDENAÇÃO 2.1 I NTR ODU ÇÃO . . . . . . . . . . . . . 2.2 D E DU ÇÃO E I NDUÇÃO . . . . . . . . 2.3 I NDU ÇÃO : PRIME IRA FORMA . . . . 2.4 I NDU ÇÃO : SEGUNDA FORMA . . . . 2.5 O P RINCÍPIO DA B OA O R DENAÇÃ O 2.6 P R INCÍPIOS OU T EOREMAS ? . . . . . 2.7 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . .

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DIVISÃO EUCLIDIANA 3.1 I NTR ODU ÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 O A LGORITMO DA D IV ISÃ O . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 R E PR ESE NTAÇÃO DE U M N ÚMERO E M UMA B A SE . . 3.4 C R ITÉRIOS DE D IVISIBILIDA DE . . . . . . . . . . . . . 3.5 A E XPRESSÃO D E CIMAL DOS N Ú MER OS R ACIONAIS 3.6 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 4.1 N Ú ME ROS P R IMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 O T EOR EMA F UNDAMENTAL DA A RITMÉ TICA . 4.3 A P ROCUR A DE N ÚMER OS P RIMOS . . . . . . . . 4.4 E X PR ESSÕES D E CIMAIS F INITAS E I NFINITA S . . 4.5 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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SUMÁRIO

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DIVISORES E MÚLTIPLOS COMUNS 67 5.1 MÁ XIMO D IV ISOR C OMUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 MÍNIMO M ÚLTIPLO C OMU M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 6.1 I NTR ODU ÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 R E SOLUÇÃO DE E QUA ÇÕE S D IOFA NTINA S L INE ARE S . . . . . . . . . . . . 6.3 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CONGRUÊNCIAS 7.1 D E FINIÇÃ O E P ROPRIEDA DES . . . . . . . . . . 7.2 C LASSES DE C ONGRU ÊNCIA . . . . . . . . . . . 7.3 OS T E OR EMA S DE F ER MAT, E ULER E W ILSON . 7.4 O T EOR EMA C HINÊS DO R E STO . . . . . . . . . 7.5 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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DIVISÃO DE POLINÔMIOS 8.1 C ORPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 P OLINÔMIOS : D E FINIÇÕE S E O PE RAÇÕES 8.3 LE MA DA D IVISÃO DE E UCLIDES . . . . . 8.4 MÁ XIMO D IV ISOR C OMUM . . . . . . . . 8.5 MÍNIMO M ÚLTIPLO C OMU M . . . . . . . 8.6 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . .

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128 . 128 . 130 . 133 . 138 . 144 . 146

RAÍZES E IRREDUTIBILIDADE 9.1 R A ÍZ ES E FATORAÇÃO . . . . . . . . . . . . . 9.2 O T EOR EMA F UNDAME NTAL DA Á LGEBR A . 9.3 FATORAÇÃO E M P OLINÔMIOS I RRE DUTÍV EIS 9.4 D E COMPOSIÇÃO E M F RAÇÕES PARCIA IS . . . 9.5 E X ER CÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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150 150 153 161 165 169

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ÍNDICE REMISSIVO

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CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 1.1

O P ROCESSO DE C ONTAGEM

O conceito de número com o qual estamos familiarizados, e que é tão essencial na sociedade de nossos dias, evoluiu muito lentamente. Para o homem primitivo, e mesmo...