Funzioni Goniometriche schema PDF

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Le funzioni goniometriche per la classe 4 del liceo...

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DEFINIZIONE DI ANGOLO “Un ANGOLO è lo spazio compreso tra 2 semirette aventi la stessa origine chiamata VERTICE. Le due semirette vengono chiamate LATI dell’angolo.”

Misura degli angoli L’angolo viene misurato o in gradi o i radianti. Qui puoi vedere le misure di alcuni angoli tipici:

Tabella di conversione degli angoli da gradi a radianti

Quindi dire 180° o π (pi greco) è la stessa cosa. Quindi dire 30° o π/6 (pi greco) è la stessa cosa, infatti: 180° : 6 = 30° Quindi dire 60° o π/3 (pi greco) è la stessa cosa, infatti: 180° : 3 = 60° Quindi dire 210° o 7π/6 (pi greco) è la stessa cosa, infatti: 7 x 180° : 6 = 210°

Guarda qui dove si posizionano gli angoli sul piano cartesiano

2° QUADRANTE

3° QUADRANTE

1° QUADRANTE

4° QUADRANTE

Nel 1° quadrante troviamo gli angoli che vanno da 0° ( 0°) a 90° ( π\2) Nel 2° quadrante troviamo gli angoli che vanno da 90° ( π\2) a 180° ( π ) Nel 3° quadrante troviamo gli angoli che vanno da 180° ( π ) a 270° ( 3π\2 ) Nel 4° quadrante troviamo gli angoli che vanno da 270° ( 3π\2 ) a 360° ( 2π )

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Esistono 3 valori che dipendono esclusivamente dall’ampiezza di un angolo dato. Essi sono: seno, coseno, tangente. SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO Ma guardiamole graficamente. Per prima cosa inseriamo l’angolo α in un sistema di assi cartesiani. Poniamo un lato dell’angolo sull’asse delle X e muoviamo il secondo lato in senso antiorario dell’ampiezza dell’angolo α. Disegniamo anche la circonferenza goniometrica: è quella circonferenza che ha il centro nell’origine degli assi ( O ) e il raggio di valore unitario ( OC=1 ) Y CIRCONFERENZA GONIOMETRICA yB

X

xB

Seno di α = yB = BA coseno di α = xB = OA tangente di α = seno = yB = BA coseno xB OA

TABELLA DEI VALORI DI SENO, COSENO E TANGENTE PER GLI ANGOLI PIU’ SIGNIFICATIVI.

Come vedrai nella tabella molti valori sono uguali o uno l’opposto dell’altro, ma perché???

PRENDIAMO QUALCHE ESEMPIO 1) Troviamo seno e coseno di un angolo di 3 0° ( π\6 ) xP yP

O

disegniamo la circonferenza; Tracciamo gli assi cartesiani; Disegniamo il nostro angolo di 30°, facendo incontrare il lato dell’angolo con la circonferenza e trovando il punto P;

Il seno di 30° sarà yP o PH e ha un valore 1/2 Il coseno di 30° sarà xP o OH ha un valore √3/2 La tangente di 30° sarà sin 30° e ha un valore di 1/√3 cos 30°

P

H

MA PERCHE’? Proviamo a spiegare:

PI

- Riportiamo l’angolo di 30° anche nel quarto quadrante; - Si può vedere che si è formato il triangolo OPPI che è un triangolo EQUILATERO ( lati uguali e angoli uguali di 60°); - Come si vede dalla figura il seno PH è la metà del lato che vale 1 ( perché si vede che corrisponde al raggio della circonferenza), quindi 1\2; - Il coseno OH è l’altezza del triangolo equilatero che vale: h (altezza) = l (lato) . √3/2 essendo il lato 1 vale √3/2

2) Troviamo seno e coseno di un angolo di 60° ( π\3)

y A= √3/2 xA= 1/2

- disegniamo la circonferenza; tracciamo gli assi cartesiani; Disegniamo il nostro angolo di 60°, facendo incontrare il lato dell’angolo con la circonferenza e trovando il punto A;

Il seno di 60° sarà yA o AB e ha un valore √3/2 Il coseno di 60° sarà xA o OB ha un valore 1/2 La tangente di 60° sarà sin 60° e ha un valore di √3 cos 60°

MA PERCHE’? Proviamo a spiegare: ( il motivo è lo stesso di prima)

- Raddoppiamo l’angolo di 30°; - Si può vedere che si è formato il triangolo AOD che è un triangolo EQUILATERO ( lati uguali e angoli uguali di 60°); - Come si vede dalla figura il seno AB è l’altezza del triangolo equilatero che vale ( come prima ) √3/2 - OB è la metà del lato che vale 1 ( perché si vede che corrisponde al raggio della circonferenza), quindi 1\2;

COME VEDI SONO GLI STESSI VALORI DI PRIMA, MA INVERTITI!!!

3) Troviamo seno e coseno di un angolo di 45° ( π\4) - disegniamo la circonferenza; - tracciamo gli assi cartesiani; - Disegniamo il nostro angolo di 45°, facendo incontrare il lato dell’angolo con la circonferenza e trovando il punto P;

Il seno di 45° sarà yP o PQ e ha un valore √2/2; Il coseno di 45° sarà xP o OQ e ha un valore √2/2; La tangente di 45° sarà sin 45° e ha un valore di 1 essendo seno e coseno uguali cos 45°

1 √2/2 √2/2

MA PERCHE’? Proviamo a spiegare: ( il motivo è lo stesso di prima)

- Si può vedere che si è formato il triangolo OQP è un triangolo RETTANGOLO ISOSCELE ( ha 2 lati uguali e 2 angoli uguali ); PQ e QO che rappresentano seno e coseno sono uguali; - Come si vede dalla figura PO che è il raggio della circonferenza e che vale 1, è anche l’ipotenusa del triangolo rettangolo. - Applicando il teorema di pitagora riscontriamo che i 2 cateti sono uguali e misurano √2/2;

ANGOLI ASSOCIATI ORA GUARDA QUESTO SCHEMA: SPIEGA LA MISURA DI SENO E COSENO A SECONDA DELL’AMPIEZZA DEGLI ANGOLI E DELLA LORO POSIZIONE SUL PIANO CARTESIANO.

Angoli opposti Esempio: sin – 30° = - sin 30°= - 1/2 cos -30° = cos 30° = √3/2 tan -30° = - tan 30°= -1/√3

Angoli supplementari: ( la cui somma è 180° o π ) Esempio: sin 150° = sin 30°= 1/2 cos 150° = - cos 30° = - √3/2 tan 150° = - tan 30°= -1/√3

Angoli che differiscono di π o 180°

Esempio: sin 210° = - sin 30°= - 1/2 cos 210° = - cos 30° = - √3/2 tan 210° = tan 30°= 1/√3

Angoli complementari: ( la cui somma è 90° o π/2 ) Esempio: sin 60° = cos 30° = √3/2 cos 60° = - sin 30°= - ½ tan 60° = 1/tan 30°= √3

Angoli esplementari: ( la cui somma è 360° o 2π ) Esempio: sin 330° = - sin 30°= - 1/2 cos 330° = cos 30° = √3/2 tan 330° = - tan 30°= -1/√3

Angoli che differiscono di π/2 o 90° Esempio: sin 120° = cos 30° = √3/2 cos 120° = - sin 30°= - 1/2 tan 120° = - 1/tan 30°= -√3

Angoli la cui somma è 3π/2 o 270° Esempio: sin 240° = - cos 30° = - √3/2 cos 240° = - sin 30°= - ½ tan 240° = 1/tan 30°= √3

Angoli che differiscono di 3π/2 o 270° Esempio: sin 300° = - cos 30°= - 1/2 cos 330° = sin 30° = √3/2 tan 330° = - 1/tan 30°= -1/√3

PROVIAMO A FARE QUALCHE ESERCIZIO? Es. 58 pag. 391 sin 3/2 π . ( cos π/2 - sin π/2) = 1° passo: Guardiamo quale è il valore di seno e coseno degli angoli indicati nell’espressione: - Sulla tabella sin 3/2 π = sin 180.3/2 = sin 270° = -1 cos π/2 = cos 180/2 = sin 90° = 0 sin π/2 = sin 180/2 = sin 90° = 1 - Sulla circonferenza goniometrica

2° passo: Sostituiamo i valori trovati nell’espressione e calcoliamo: sin 3/2 π . ( cos π/2 - sin π/2) = -1

. (

-1

.

0

-

(-1) =

1 )= 1

Es. 65 pag. 391 sin π + tan π = cos π - sin 2π 1° passo: Guardiamo quale è il valore di seno, coseno e tangente degli angoli indicati nell’espressione: - Sulla tabella sin π = sin 180° = 0 tan π = tan 180° = 0 cos π = cos 180 = -1 sin 2π = sin 2 . 180° = sin 360° = 1 - Sulla circonferenza goniometrica

2° passo: Sostituiamo i valori trovati nell’espressione e calcoliamo: sin π + tan π = 0 + 0 = 0/-2 = 0 cos π - sin 2π -1 -1

Es. 73 pag. 391 sin 30° - cos 60° + tan 30° - tan 60° = 1° PASSO: Guardiamo quale è il valore di seno, coseno e tangente degli angoli indicati nell’espressione:

- Sulla tabella sin 30° = 1/2 cos 60° = 1/2 tan 30° = 1/2 = 1 : √3 = 1 . 2 = 1/√3 √3/2 2 2 2 √3 tan 60° = √3/2 = √3 : 1 = √3 . 2 = √3 1/2 2 2 2

- Sulla circonferenza goniometrica

1/2 √3/2

√3/2

sin 30°= 1/2 cos 30° = √3/2 tan 30°= sin 30° = 1/√3 cos 30°

1/2

sin 60°= √3/2 cos 60° = 1/2 tan 60°= sin 60° = √3 cos 60°

2° PASSO: Sostituiamo i valori trovati nell’espressione e calcoliamo: sin 30° - cos 60° + tan 30° - tan 60° = 1 - 1 + 1 - √3 = √3 - √3 + 2 - 2√3. √3 = + 2 - 6 = - 4 2 . √3 = - 2√3 2 2 √3 2√3 2√3 2√3 √3 3

ESERCIZI SUGLI ANGOLI ASSOCIATI Es. 167 pag. 397 Associa ad ogni espressione nella prima colonna l’espressione equivalente nella seconda 1° PASSO: disegno gli angoli sulla circonferenza goniometrica ( li trovi nello schema ANGOLI ASSOCIATI ); 2° PASSO: confronta i segmenti tra il primo angolo e l’angolo α e individua quali sono quelli uguali.

sin (π \2 – α ) = (SEGMENTO BLU)

sin (π – α ) = (SEGMENTO ROSSO)

= cos α (SEGMENTO BLU)

= sin α (SEGMENTO ROSSO)

Nel terzo quadrante il seno è negativo

sin (π + α ) = (SEGMENTO ROSSO)

= - sin α (SEGMENTO ROSSO) Nel quarto quadrante il coseno è negativo

sin (α - π \2) = (SEGMENTO BLU)

cos (π \2 – α ) = (SEGMENTO ROSSO)

= - cos (SEGMENTO BLU)

= sin α (SEGMENTO ROSSO)

α

Es. 190 pag. 398 Semplifica le seguenti espressioni sin 4/3π . cos 5/6π + sin 11/6π . cos 2/3π = SCRITTA COSI’ SEMBRA UN GRAN CAOS, MA E’ PIU’ SEMPLICE DI QUANTO SEMBRI

1° PASSO: Guardiamo quale è il valore di seno e coseno degli angoli indicati nell’espressione: - Sulla tabella sin 4/3π = sin 180°/3 . 4 = sin 240° = - √3/2 cos 5/6π = cos 180°/6 . 5 = cos 150° = - √3/2 sin 11/6π = sin 180°/6 . 11 = sin 330° = - 1/2 cos 2/3π = cos 180°/3 . 2 = cos 120° = - ½ -

Sulla circonferenza goniometrica

sin 240°= - √3/2 cos 150° = - √3/2 sin 330°= - 1/2 cos 120° = - 1/2

2° PASSO: Sostituiamo i valori trovati nell’espressione e calcoliamo: sin 4/3π . cos 5/6π + sin 11/6π . cos 2/3π = - √3/2

.

- √3/2

+

+ √3 . √3 2 . 2

+

+3 4

+

- 1/2

.

-1 . ( -1 ) 2 . 2 +1 4

– 1/2 = =

= + 4 = 1 4...