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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz Organización Industrial: Guia 5 de Ejercicios Resueltos Profesor: Francisco D. Muñoz Ayudante: Mauricio Fernández 8 de septiembre de 2017 Glosario Q : Cantidad (quantity); P : Precio (price); M C : Costo...

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz

Organización Industrial: Guia 5 de Ejercicios Resueltos Profesor: Francisco D. Muñoz Ayudante: Mauricio Fernández 8 de septiembre de 2017

Glosario

Q : Cantidad (quantity); P : Precio (price); M C : Costo Marginal (marginal cost); AC : Costo Medio (average cost); π : Utilidad (profit); CS : Excedente del Consumidor (consumer surplus); P S : Excedente del productor (consumer surplus); W : Beneficio Solacial (welfare); AF C : Costo Fijo Promedio (average fix cost); AV C : Costo Variable Medio (average variable cost); R : Ingreso (revenue); M R : Ingreso Marginal (marginal revenue)

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Discriminación de Precios Problema 1. (Teoría de mercado Monopólico - M. Capdevielle y M. Robles) Considere un monopolista que se enfrenta a las siguientes funciones de demanda: Q1 = 50 − 0,8P 1 (Q1 ) Q2 = 10 − 0,2P 2 (Q2 ) La función de costos totales viene dada por la expresión: C(Q) = 100 + 5Q a) Calcule los niveles óptimos de producción en cada mercado y utilidades asumiendo que éste puede identificar el mercado en el que se encuentra el consumidor que compra el producto y que el arbitraje de productos entre mercados no es posible. b) Calcule las elasticidades-precio de las demandas y establezca su relación con los precios de equilibrio. c) Calcule el nivel óptimo de producción y utilidades del monopolista suponiendo que no puede discriminar entre los clientes del mercado 1 y 2. d) Compare el nivel de demanda y el beneficio máximo del monopolista con y sin discriminación de precios.

.........

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz Respuesta a) Como el monopolista puede identificar a que grupo pertenece cada consumidor, pero no puede discriminar entre clientes de un mismo grupo, es posible hacer discriminación de tercer grado. Para encontrar los niveles óptimos de producción por mercado es necesario resolver un problema de maximización de utilidades conjuntas, considerando los ingresos por cada mercado y los costos totales de producción por la suma de todos los productos o bienes. Notar que esto es necesario ya que, de existir costos fijos o una función de producción no lineal, se pierde la propiedad de la aditividad de costos (i.e., C(Q1 + Q2 ) 6= C(Q1 ) + C(Q2 )). Primero, tenemos que las funciones de demanda inversas son: P 1 (Q1 ) = 62, 5 − 1, 25Q1 P 2 (Q2 ) = 50 − 5Q2 El problema de maximización del monopolista es: max

R1 (Q1 ) + R2 (Q2 ) − C(Q1 + Q2 ) = P 1 (Q1 )Q1 + P 2 (Q2 )Q2 − C(Q1 + Q2 ) s.a. Q1 , Q2 ≥ 0

Para el mercado 1, la condición de primer orden es: M R1 = 62, 5 − 2, 5Q1 = 5 = M C Q1 = 23 Es decir, el precio que el monopolista fija en este mercado es: P Q1 = 62, 5 − 2,5 · 23 P 1 = 33, 75 Para el mercado 2, se tiene: M R2 = 50 − 10Q2 = 5 = M C Q2 = 4, 5 Para este mercado, el precio es: P 2 = 50 − 5 · 4,5 P 2 = 27,5 Las utilidades del monopolista son: π = R1 + R2 − CT (Q1 + Q2 ) π = 23 · 33, 75 + 4, 5 · 27, 5 − 100 − 5 · (23 + 4, 5) 3

Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz π = 662, 5 b) Para el mercado 1:      ∂Q1 P 1     = 0,8 · 33, 75  kη1 k =  ∂P 1 Q1   23  kη1 k = 1, 174

Para el mercado 2:

      ∂Q2 P 2    = 0,2 · 27,5  kη2 k =  ∂P 2 Q2  4,5  kη2 k = 1, 222

El monopolista fija niveles de producción tales que se ubica en una región elástica en ambas curvas de demanda. Notar que en estos puntos de producción, la demanda del mercado 2 es más elástica (i.e., sensible al precio) que la del mercado 1, lo que explica que el precio resultante en el mercado 2 sea menor al del mercado 1. c) En este caso se opera sin discriminación, lo que implica que la demanda, es la demanda total, es decir, la suma de las demandas de los dos mercados. La suma de demandas resulta en la siguiente función por partes:

P (Q) =

   62, 5 − 1, 25Q si  

60 − Q

0 ≤ Q ≤ 10

si 10 ≤ Q ≤ 60

Esto es porque para 50 ≤ P ≤ 62, 5, solo los consumidores del mercado 1 están dispuestos a adquirir algún bien o producto. Luego, el punto donde la máxima disponibilidad a pagar de los consumidores del mercado 1 es igual o menor a 50 es para Q ≥ 10. Para niveles de producción iguales o mayores a eso, las curvas de demanda se suman en cantidades (metodología explicada en detalle en clases). Luego, el problema de maximiazción del monopolista es: max

P (Q)Q − CT (Q)

La condición de primer orden es: M R(Q) = M C (Q) La función de ingreso marginal M R(Q) = P ′ (Q)Q+P (Q) está definida en base a la función de demanda inversa P (Q), por lo que también resulta en una función definida por partes:

M R(Q) =

   62, 5 − 2, 5Q si  

60 − 2Q

0 ≤ Q ≤ 10

si 10 ≤ Q ≤ 60

Ahora es necesario verificar si es que la intersección entre las curvas de ingreso marginal y costo marginal ocurre en el primer o segundo segmento de la función por partes. Supongamos primero que la intersección ocurre en la primera parte, es decir para 0 ≤ Q ≤ 10: 4

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c.p.o :

M R(Q) = M C (Q) ⇒ 62, 5 − 2, 5Q = 5 ⇒ Q = 24, 2

Esto es una contradicción, ya que supusimos que 0 ≤ Q ≤ 10. Por lo tanto, la intersección debe ocurrir en el segmento 10 ≤ Q ≤ 60. Para ese segmento: c.p.o :

60 − 2Q − 5 = 0

⇒ Q = 27, 5 Reemplazando en la función de demanda, el precio es: P = 60 − 27, 5 P = 32, 5 De lo anterior, la utilidad del monopolista es: π = 32, 5 · 27, 5 − 100 − 5 · 27, 5 π ∗ = 656,25 Por lo tanto el monopolista obtiene menores utilidades que si pudiera discriminar entre grupos de consumidores. d) La cantidad ofertada total es igual en ambos casos, Q = 27,5. En el caso con discriminación de precios el monopolista debe obtener mayores utilidades que en el caso sin discriminación, ya que fijar los mismos precios en ambos mercados (sin discriminación) es un caso particular del problema con discriminación. Esto ocurre porque al discriminar el monopolista puede capturar un mayor porcentaje del excedente del consumidor. πdisc = 662, 5 πno−disc = 656, 25 ∆π = 6,25 Es decir, con discriminación, el monopolista tiene 6, 25 más de utilidades.

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Problema 2. (Guia Examen IN2201 Otoño 2011) Un monopolio puede discriminar entre dos grupos de consumidores, uno de ellos dispuesto a pagar un precio relativamente alto por el bien. Su demanda es: Q1 = 400 − P

;

P ≤ 400

Donde Q1 , denota la cantidad demandada y P el precio correspondiente. El otro grupo sólo compra el bien si el precio es relativamente bajo. Estos últimos presentan una función de demanda de la forma: Q2 = 4000 − 100P

;

P ≤ 40

La curva de costos totales es: CT (Q) = 10000 + 38Q a) Calcule precios, cantidades y la utilidad del monopolista si éste discrimina entre ambos mercados. b) Calcule los precios, las cantidades y la utilidad del monopolista por si éste por ley está obligado a cobrar el mismo precio a todos los consumidores, es decir, a ambos mercados.

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz Respuesta a) Al discriminar en tercer grado, se maximiza la función de utilidades completas de la firma:

max

  Q2 π = P (Q1 )·Q1 +P (Q2 )·Q2 −CT (Q1 +Q2 ) = (400 − Q1 (·Q1 + 400 − ·Q2 −(10000+38(Q1 +Q2 )) 100 ∂π = 400 − 2Q1 − 38 = 0 ∂Q1

∴ c.p.o1 : ⇒

Q1 = 181

P 1 = 400 − Q1 = 219

Q2 ∂π = 40 − − 38 = 0 ∂Q2 50

∴ c.p.o2 : ⇒

∧

q2 = 100

∧

P 2 = 400 −

Q2 = 39 100

Ahora calculamos la utilidad que obtiene el monopolista: π = R1 + R2 − CT (Q1 + Q2 ) = P 1 Q1 + P 2 Q2 − CT (Q1 + Q2 ) π = 219 · 181 + 39 · 100 − 10000 − 38 · 281 π = 22861 b) Cuando el monopolista no puede discriminar, es necesario calcular la función de demanda agregada. Notar que para P > 40 sólo los consumidores del grupo 1 estarán dispuestos a consumir algún bien, ya que 40 es la máxima disponibilidad a pagar por la primera unidad consumida del grupo 2. Por lo tanto, la demanda agregada corresponde a:

Q(P ) =

   Q1 (P ) + Q2 (P ) si  

Q1 (P )

P ≤ 40

si 40 ≤ P ≤ 400

Reemplazando las funciones de demanda:

Q(P ) =

  4400 − 101P   

400 − P

si

P ≤ 40

si 40 ≤ P ≤ 400

Para ahora invertir la función y obtener P (Q), notar que el punto de inflexión entre los dos segmentos de la función ocurre en Q(40) = 360, con lo que se obtiene:

P (Q) = El gráfico de la demanda inversa es:

   400 − Q si  

4400−Q 101

7

Q ≤ 360

si 360 ≤ Q ≤ 4400

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P

400

40 0

0 360

4,400 Q

El ingreso para este caso es:

R(Q) =

Por lo tanto, el ingreso marginal es:

 2   400Q − Q  

M R(Q) =

si

4400Q−Q2 101

si 360 ≤ Q ≤ 4400

   400 − 2Q si  

Q ≤ 360

4400−2Q 101

Q ≤ 360

si 360 ≤ Q ≤ 4400

Luego, el problema de maximiazción del monopolista es: max

P (Q)Q − CT (Q)

La condición de primer orden es: M R(Q) = M C (Q) Ahora es necesario verificar si es que la intersección entre las curvas de ingreso marginal y costo marginal ocurre en el primer o segundo segmento de la función por partes. Supongamos primero que la intersección ocurre para 360 ≤ Q ≤ 4400: c.p.o :

4400 − 2Q − 38 = 0 101

⇒ Q = 281

;

P = 40, 78

Es decir, la condición no se cumple para este intervalo, ya que Q = 281 < 360.

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz Ahora verificamos si es que la intersección entre la curva de ingreso marginal y costo marginal ocurre para 0 ≤ Q ≤ 360: c.p.o :

400 − 2Q = 38

Q = 181

;

P = 219

Este resultado se cumple en el intervalo 0 ≤ Q ≤ 360, que equivale al intervalo en que la máxima disponibilidad a pagar mayor a 40. Por lo tanto, el monopolista vende sus productos sólo al grupo 1, ya que para P > 40 la demanda del grupo 2 es igual a 0. Las utilidades que obtiene el monopolista en este caso son las siguientes: π = P · Q − C(Q) = 219 · 181 − 10000 − 38 · 181 π = 22761 Se puede observar que las utilidades son menores que en el caso en el monopolio pudiera discriminar en precios entre los clientes del grupo 1 y 2.

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Problema 3. Un monopolista posee la siguiente función de demanda inversa: P (Q) = 128 − 3Q Por otro lado, su curva de costos totales es de la forma: CT (Q) =

Q3 − 4Q2 + 114Q 3

Si éste monopolista conoce perfectamente a sus clientes y les asigna precios distintos a cada uno. ¿Cuál será la cantidad a producir/vender? ¿A qué precios vende? ¿Cuál es su utilidad? Comparar con un monopolio que no conoce a sus clientes.

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz Respuesta En el caso que el monopolista tiene información perfecta sobre sus clientes éste puede aplicar discriminación de precios de primer grado, también conocida como discriminación perfecta. La discriminación de primer grado consiste en que el monopolista puede cobrar un precio distinto a cada uno de los consumidores, de esta forma, absorbe todo el excedente del consumidor. En el caso de discriminación de primer grado, el monopolista decide producir como si fuera competencia perfecta, de esta forma, absorbe el máximo de excedente total (welfare), el que se encuentra cuando se trabaja con competencia perfecta: max

π = P (Q)Q − CT (Q) = 128Q − 3Q2 −

c.p.o :

Q3 + 4Q2 − 114Q 3

P (Q) = M C(Q) ⇒ 128 − 3Q − Q2 + 8Q − 114 = 0 ⇒ ⇔

Q2 − 5Q − 14 = 0 (Q − 7)(Q + 2) = 0 Q = 7, −2

Se tienen cantidades solo positivas: QCP = 7

∴

Como se mencionó, ahora el precio depende de cada una de las unidades vendidas (en este caso, un total de 7). El precio al que se vende cada unidad se calcula desde la función de demanda con la integral, esto es, porque no se especifica que los productos sean divisibles o no, es decir, como se pueden vender por números no enteros, el resultado corresponde a la integral. En el caso que los productos sean solo enteros, como entradas al cine por ejemplo, las utilidades corresponden a la suma de los precios a los que se vendio cada producto: R=

Z

QCP

P (Q)dQ =

0

Z

7

(128 − 3Q)dQ = 822, 5 0

Por lo tanto, la utilidad se calcula como: π = R − C(7) = 822, 5 −

73 + 4 · 72 − 114 · 7 3

π = 106, 17 Consideremos ahora el caso en que el monopolista no puede discriminar en precios y debe fijar el mismo para todos sus clientes. El problema de maximización es el siguiente: max c.p.o :

128Q − 3Q2 −

Q3 + 4Q2 − 114Q 3

128 − 6Q − Q2 + 8Q − 114 = 0 QM = 4, 87

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Organización Industrial - Guia 5 de Ejercicios Resueltos Mauricio Fernández y Francisco D. Muñoz El precio que se cobra a todos los clientes es: P (QM ) = 128 − 3 · 4, 87 = 113, 39 P M = 113, 39 La utilidad del monopolista en este caso es: π M = 113, 39 · 4, 87 −

4, 873 + 4 · 4, 872 − 114 · 4, 87 3

π M = 150, 8 Del cálculo se puede ver que Qd > QM , ya que al discriminar de esta forma monopolista maximiza sus utilidades produciendo a un nivel equivalente al de competencia perfecta. También ocurre que πd > π M , esto es porque, como se mencionó anteriormente, en discriminación de primer grado, el monopolista fija los precios a un nivel igual a la máxima disponibilidad a pagar de los consumidores por cada unidad vendida. Como resultado de esto, el beneficio social o welfare es también equivalente al de competencia perfecta (i.e., el mercado opera de la manera más eficientemente posible). Sin embargo, en este caso el monopolista extrae todo el excedente del consumidor. Desde un punto de vista de eficiencia económica, la discriminación de precios de primer grado de un monopolista es tan eficiente como lo que se obtendría en competencia perfecta. Sin embargo, se podría argumentar que ésta es mucho menos equitativa en términos de distribución de excedentes que la competencia perfecta.

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