Guía Mecánica Vectorial Para Ingenieros - Ing. Erlyn G. Salazar Huamán (Cajamarca Diciembre 2016) PDF

Preview

Summary

pág. 0 Ing. Erlyn G. Salazar Huamán Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán Indice Introducción a la mecá i a ……………………………………………………………………………………………………… Definició ……………………………………………………………………………………………………………………. Divisón de la mecá i a……………………………………………………………………………………………….. Co eptos fu da e tales…………………………………………...

Description

pág. 0 Ing. Erlyn G. Salazar Huamán

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

Indice Introducción a la mecá i a ……………………………………………………………………………………………………… Definició ……………………………………………………………………………………………………………………. Divisón de la mecá i a……………………………………………………………………………………………….. Co eptos fu da e tales…………………………………………………………………………………………… Leyes y principios básicos de la mecá i a……………………………………………………………………. Ve to es e el espa io…………………………………………………………………………………………………. Vector en el espacio…………………………………………………………………………………………………….. Componentes de un vector en el espa io……………………………………………………………………. Módulo de u ve to …………………………………………………………………………………………………... Dista ia e t e pu tos……………………………………………………………………………………………… Ve to U ita io……………………………………………………………………………………………………………. P opiedades de la su a esta de ve to es………………………………………………………………… P odu to de u ú e o eal po u ve to …………………………………………………………………. Producto es ala ………………………………………………………………………………………………………… P odu to ve to ial……………………………………………………………………………………………………… Do le p odu to ve to ial……………………………………………………………………………………………

Unidad I: Teoría de u so es…………………………………………………………………….……………………………. Mo e to de u u so o espe to a u pu to………………………….…………………………… Expresió a tesia a del oe to de u u so o espe to a u pu to……………….. Momento de un cursor con respecto a un eje………………………….……………………………….. Expresión cartesiana del mome to de u u so o espe to a u eje……………………. Coo de adas de u u so ………………………….………………………….………………………………… “iste a de u so es………………………….………………………….………………………….………………. Sistema de cursores equivale tes………………………….………………………….……………………… Cambios de centros de reducció ………………………….………………………….……………………… P opiedad e uip o e tiva del o e to de u siste a de u so es…………………………. Valor mí i o del o e to de u siste a de u so es………………………….…………………. Ecuació a tesia a del eje e t al………………………….………………………….……………………. Eje i ios………………………….………………………….………………………….………………………………… Reducción de un sistema de fuerzas…………………………………………………….……………………. Par de cursores y momento de un pa ………………………….………………………….………………. E uivale ia de pa es de u so es………………………….………………………….……………………… Translación de un cursor a una posición pa alela………………………….…………………………… Reducción de un sistema de cursores a dos fue zas………………………….………………………. Reducción de un sistema de cursores a un cursor y au o e to pa alelo a el……….. Teoría de VARIGNON………………………….………………………….………………………….……………… “ite a de u so es pa ti ula es………………………….………………………….…………………………. “iste a opla a de u so es………………………….………………………….…………………………….. Ejercicios ………………………….………………………….………………………….………………………….…….

1 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán U idad II: Geo et ía de

asas………………………….…………………………………………………….……………

Fue zas dist i uidas………………………….………………………….………………………….………………. Fuerzas distribuidas por unidad de superficie o á ea…………………………..…………………… Cargas por unidad de á ea………………………….………………………….………………………………… Fue zas dist i uidas po u idad de lo gitud………………………….…………………………………. Centros de presió o apli a ió ………………………….………………………….………………………… Eje i ios………………………….………………………….………………………….……………………………….. Fue zas dist i uidas po u idad de volu e ………………………….……………………………….. Fue zas dist i uidas a fluidos e eposo………………………….………………………………………. Fue zas dist i uidas e se io es pla as………………………….……………………………………… Fuerzas distribuidas en sec io es ala eadas………………………….………………………………… Eje i ios………………………….………………………….………………………….………………………………. U idad III: Mo e tos de I e ia………………………….………………………….…………………………………… Mo e tos de i e ia o segu dos o e tos………………………….………………………………. Momentos de inercia en á eas pla as………………………….………………………….………………. Produccto de inercia de momentos centrífugas de á eas pla as……………………………… Mo e to pola de i e ia………………………….………………………….………………………………… Radio de gi o………………………….………………………….………………………….………………………… Teo e a de “TEINER………………………….………………………….………………………………………… P odu to de o e tos de i e ia………………………….………………………….……………………. Eje i ios………………………….……………………………………………………………………………………… U idad IV: E uili io………………………….………………………….………………………….…………………………. Diag a a de ue po li e DCL ………………………….………………………….……………………….. P o edi ie to ge e al pa a di uja u DCL………………………….…………………………………. Casos pa ti ula es de o di io es de e uili io opla a es…………………………………….. Análisis de DCL………………………….………………………….………………………….……………………… Eje i ios………………………….………………………….………………………….………………………………. Transformación de a gas epa tidas………………………….………………………….……………….. Eje i ios…………………………………………………….………………………….……………………………….. Unidad V: Armaduras (cerchas,celosias,trusses,tige ales ………………………….……………………….. Definició ………………………….………………………….………………………….……………………………… Formació de a adu as………………………….……………………….………………………….………… Determinación estáti a de a adu as pla as………………………….………………………………. Eje i ios………………………….………………………….………………………….………………………………. Método de Nodos o Nudos………………………….………………………….………………………………. Método de las secciones o método de Rite ………………………….………………………….…….. Eje i ios………………………….………………………….………………………….………………………………. Unidad VI: Fuerzas de secció ………………………….………………………….………………………….…………… Componentes rectangulares de las fuerzas de secció ………………………….………………… Fuerzas de secció e siste as pla os………………………….………………………….…………….. Determinación de fuerzas de sección de sistemas pla os………………………………………… Eje i ios………………………….…………………………………………………….………………………………..

2 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEFINICIÓN: Se define la mecánica como la ciencia que estudia las condiciones de reposo o de movimiento de los cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) bajo la acción de fuerzas.

DIVISIÓN DE LA MECÁNICA: Según Kirchhoff se divide en tres partes: - ESTÁTICA Mecánica de los Sólidos Rígidos:

-CINEMÁTICA

- DINÁMICA Mecánica de los Sólidos Deformables: - RESISTENCIA DE MATERIALES

Mecánica de los Fluidos:

-

- FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

- FLUIDOS COMPRESIBLES.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES: Los conceptos básicos empleados en Mecánica son: Espacio, Tiempo, Masa y Fuerza. Estos conceptos no pueden ser verdaderamente definidos, pero deben ser aceptados sobre las bases de nuestra intuición y experiencia siendo utilizados como un marco de referencia mental para nuestro estudio de la mecánica.

ESPACIO: El concepto de espacio se asocia con la noción de la posición de un punto P; la posición de P puede ser definida por tres longitudes medidas desde cierto punto de referencia u origen, en tres direcciones dadas. Estas longitudes se conocen como las coordenadas de P.

TIEMPO: Es el concepto que determina la medida de la sucesión de acontecimientos, establece la noción de cuando ocurren. La unidad del tiempo es el segundo, que es una fracción convencional del periodo de rotación de la Tierra.

MASA: El concepto de masa se utiliza para caracterizar y comparar los cuerpos sobre las bases de ciertos experimentos mecánicos fundamentales. Por ejemplo: dos cuerpos de igual masa serán atraídos por la Tierra de la misma manera y ofrecerán la misma resistencia al cambio en el movimiento de traslación.

3 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán FUERZA: Representa la acción de un cuerpo sobre otro afectando el estado de movimiento o de reposo del cuerpo sobre el cual actúa. Puede ser ejercida por contacto directo o a distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y las magnéticas respectivamente. Una fuerza es completamente definida por su magnitud, su punto de aplicación, su dirección y sentido, se representa por un vector.

La mecánica aquí tratada es la de Newton y por tanto los conceptos anteriores son absolutos e independiente entre sí: por otra parte, el concepto de fuerza no es independiente de los otros tres.

PARTICULA: Es el modelo matemático de un punto de masa. No tiene dimensiones, pero si tiene masa y su posición se puede especificar en el espacio. Cuando las dimensiones de un cuerpo no influyen en la descripción de su movimiento, puede tratarse al cuerpo como si fuera una partícula. En otros casos una partícula podrá considerarse como un elemento diferencial de un cuerpo.

CUERPO RIGIDO: Es el sólido formado por partículas cuyas distancias relativas permanecen sin una variación, sin importar la intensidad de la fuerza aplicada a dicho sólido.

SISTEMA DE REFERENCIA: La mecánica de Newton para ser empleada requiere de dos condiciones primordiales: que las velocidades consideradas sean despreciables frente a la LUZ y que las cantidades físicas estén dadas con respecto a un sistema de referencia inercial.

Se denomina SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL a todo sistema que se mueve uniformemente y sin rotación con respecto a una estrella fija en el espacio. No obstante, en la mayoría de los trabajos de ingeniería, el sistema de coordenadas se liga a la superficie de la Tierra, pues el error en que se incurre, debido a la rotación y traslación de esta es muy pequeña.

LEYES Y PRINCIPIOS BASICOS DE LA MECANICA: Ley del Paralelogramo: Esta ley establece a dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser reemplazadas por una sola, llamada resultante, dada por la diagonal del paralelogramo que tiene lados iguales a las fuerzas dadas.

Principio de Transmisibilidad: las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido no varían si la fuerza que actúa sobre él se reemplaza por otra que tiene el mismo modulo, sentido y dirección, pero que actúa en un punto diferente, siempre que ambas fuerzas tengan la misma RECTA DE ACCIÓN.

4 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán 1° Ley de Newton: Todo cuerpo tiende a conservar su estado de reposo o de movimiento uniforme, si la fuerza resultante que actúa sobre ella es NULA.

2° Ley de Newton: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es nula, la partícula tendrá una aceleración proporcional al módulo de la resultante y con la misma dirección y sentido que la resultante. (F=m.a). 3° Ley de Newton: Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos.

VECTORES EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

VECTOR EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

5 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

Z

Y

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO. .Si las coordenadas de A y B son: A (x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

−

MODULO DE UN VECTOR

,

−

,

−

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. Cálculo del módulo conociendo sus componentes: ⃗⃗⃗ =

,

,

⎸⃗⃗ ⎸ = √

+

+

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

,

= ⎸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⎸ = √

−

+

−

+

−

6 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

VECTOR UNITARIO Un vector unitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo. ⃗⃗ ⃗⃗⃗ =

⃗

⎸⃗ ⎸

=

⃗

;

⃗

;

⃗

⎸⃗ ⎸ ⎸⃗ ⎸ ⎸⃗ ⎸

PROPIEDADES DE LA SUMA Y RESTA DE VECTORES - Suma de vectores. Para sumar dos vectores se suman cada una de sus componentes respectivamente.

⃗⃗ =

,

,

⃗⃗ + ⃗ =

+

,

+

,

⃗ =

+

,

,

Propiedades de la suma de vectores. Asociativa: ⃗⃗ + ( ⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ) = ( ⃗⃗ + ⃗ ) + ⃗⃗⃗⃗ Conmutativa: ⃗⃗ + ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ + ⃗⃗ Elemento neutro: ⃗⃗ + ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ Elemento opuesto:

Resta de vectores.

⃗⃗ + ( − ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0

Para obtener la resta de dos vectores libres se tiene que restar cada una de las componentes como se muestra en el ejemplo.

7 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán ⃗⃗ =

,

,

⃗⃗ − ⃗ =

−

,

−

,

⃗ =

−

,

,

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR El producto de un número real k pertenece a R, por un vector

es otro vector:

De igual dirección que el vector ⃗ .

Del mismo sentido que el vector ⃗ si k es positivo. De sentido contrario del vector ⃗ si k es negativo. De módulo producto.

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. . ⃗⃗ =

.

+ .

+ .

Propiedades del producto de un número por un vector.

Asociativa .

′

.⃗

=

.

′

.⃗

Distributiva respecto a la suma de vectores . ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗

= . ⃗⃗⃗ + . ⃗⃗⃗

Distributiva respecto a los escalares +

′

. ⃗⃗⃗ = . ⃗⃗⃗ + . ⃗⃗⃗

Elemento neutro

⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ = ⎸⃗⃗⃗ ⎸. ⎸⃗⃗⃗ ⎸. MECÁNICA PARA INGENIEROS

8

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán Propiedades del producto escalar.

Conmutativa: ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ Asociativa: . ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ =

. ⃗⃗⃗⃗

. ⃗⃗⃗

Distributiva: ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗⃗⃗

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo:

Producto mixto:

⃗ ≠

⟹ ⃗ .⃗ >

El producto mixto de los vectores vector u, y w es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por [u, v, w].

[⃗⃗ , ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ] = ⃗⃗ . (⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ) El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base orto-normal.

[⃗⃗ , ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ] = |

-Interpretación geométrica del producto escalar

|

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

9 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

A

O

B

� �

=

′ |⃗⃗⃗ ⎸

′

= ⎸⃗⃗⃗ ⎸.

′

⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ = ⎸⃗⃗⃗ ⎸.

⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗

´ =

⎸⃗⃗⃗ ⎸

OA' es la proyección del vector u sobre v, que lo denotamos como:

⃗ ⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ ⎸⃗⃗⃗ ⎸

COSENOS DIRECTORES. En una base orto-normal, se llaman cosenos directores del vector ⃗⃗⃗⃗ = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector ⃗⃗⃗⃗ con los vectores de la base. )=

√

+

+

;

)=

+

√

+

+

;

)=

√

+

+

=

+

PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de ⃗⃗⃗ a ⃗⃗ . Su módulo es igual a 0. ⎸⃗⃗⃗ . ⃗⃗ ⎸= ⎸⃗⃗⃗ ⎸⎸⃗⃗ ⎸. ��

MECÁNICA PARA INGENIEROS

�

10

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante: ⎸⃗⃗⃗ . ⃗⃗ ⎸= |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⎸⃗⃗⃗ . ⃗⃗ ⎸= |

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | -| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | +| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Doble producto vectorial. Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión ̅ . ̅ . ̅ o ̅ ∙ ̅ . ̅ ; Esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector. Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

̅. ̅ . ̅ = ̅ ̅ ∙ ̅ − ̅ ̅ ∙ ̅ BxC A

C

A x (B x C)

B

11 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

.- UNIDAD I: TEORIA DE CURSORES. CURSOR: El curso o también vector deslizante, es un vector que está obligado a que actué a lo largo de la recta que lo contiene, un ejemplo de este tipo de vectores, es la fuerza que actúa en un sólido rígido. En este caso el efecto que produce la fuerza sobre el sólido rígido (aceleración) será el mismo, si actúa la fuerza en cualquiera de los puntos comunes al sólido y a su recta de acción, tales como: P1, P2, P3, etc. La teoría de la presente unidad, también es aplicable para todo tipo de vectores, ya sean velocidades, aceleraciones, desplazamientos, momento cinético, etc.

1.1-

MOMENTO DE UN CURSOR CON RESPECTO A UN PUNTO

En la Fig. 1, se muestra al cursor F, cuya recta de acción es L y cuyo extremo inicial supondremos que es el punto A. el punto Q es un punto fijo situado fuera de la recta L cuya posición está definida con referencia a un sistema de coordenadas y que le denominaremos CENTRO DE MOMENTOS. Definimos como momento del cursor F con respecto al punto Q al vector MQ cuyo valor está dado por la expresión:

̅

= ̅−̅

̅

(1)

12 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán

Llamando al vector (⃗ – ⃗⃗⃗ ), que representa la posición de A con respecto al centro de o e tos , la e p esió se puede es i i o o: ̅

=̅ ̅

(2)

F

A r Q1 Las características del vector MQ, modulo, dirección y sentido se han determinado al estudiar el producto vectorial de dos vectores. De la figura (2), se deduce que el módulo de MQ es: ̅

= ̅ . ̅ Se Ө; ep ese ta la dista ia d del e t o de consecuencia se tiene: ̅

– ̅d

o e tos a la e ta L. e

(3)

El vector momento ̅ está perfectamente definido y su valor es independiente en donde se encuentre el extremo inicial de ̅ , en efecto, consideremos ahora que el extremo inicial de ̅ es ̅ , en este caso ̅ tendrá por valor: 13 MECÁNICA PARA INGENIEROS

Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamán ̅

= ̅−̅

̅

Reemplazando el vector ( ̅ − ̅ ) = ( ̅ − ̅ ) + ( ̅ − ̅ ) en la expresión anterior: ̅

̅

=[ ̅−̅ + ̅−̅ ]

= ̅−̅

+ ̅−̅

̅

̅

El término ( ̅ − ̅ ) x ̅ , es nulo por ser ̅ y ( ̅ − ̅ ) paralelos, en consecuencia, se tiene: ̅

= ̅−̅

̅= ̅−̅

̅

(4)

La expresión (4) nos indica que...