GUÍA Práctica N° 06 (1) - GUÍA Práctica N° 06 (1) ejercicios resueltos 2021 PDF

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FORMACIÓN HUMANÍSTICAEXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTOLÓGICOGUÍA PRÁCTICA N°MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTOPAGMATERIAL INFORMATIVOMAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL1. MAGNITUD Y CANTIDADMagnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio...

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FORMACIÓN HUMANÍSTICA EXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO

GUÍA PRÁCTICA N°06 MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO

PAG E \*

MATERIAL INFORMATIVO MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL 1. MAGNITUD Y CANTIDAD Magnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Además, posee la característica de variar, ya sea aumentando o disminuyendo, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Cantidad: Es todo estado particular de una magnitud, resulta de medir una determinada magnitud en ciertas unidades, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Ejemplo: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Magnitud Tamaño de un terreno (área)

Cantidad m2

Peso de una persona Sueldo de una persona Velocidad de un automóvil

kg S/ km/h

Temperatura

°C

2. MAGNITUDES PROPORCIONALES Relaciones entre dos magnitudes Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra también varían proporcionalmente. Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales e inversamente proporcionales (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470): A. Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra también queda multiplicada por el mismo número, y si al dividir el valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número. Analicemos el siguiente caso: el costo del metro cuadrado de un terreno en el distrito del Agustino es de S/ 3200. Observa la siguiente tabla que relaciona el tamaño de un terreno y su precio. Tamaño del terreno Área (m2) Precio (S/)

1

90

120

150

180

200

3200

288 000

384 000

480 000

576 000

640 000

PAG E \*

En los valores de la tabla observamos que, si el área se multiplica por un número, entonces el precio quedará multiplicado por el mismo número. Si comparamos sus valores mediante un cociente obtenemos:

20 0 180 150 120 90 1 = = = = = =k 3200 288 000 384 000 480 000 576 000 640 000 En general, para dos magnitudes A y B, estas se relacionan en forma directamente proporcional, si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. A DP B 

Es decir:

( valor de A) k ( valor de B)

(k: constante de proporcionalidad)

a a1 a2 a3 = = =. . .= n =k b1 b2 b 3 bn

Algunas magnitudes directamente proporcionales son: MAGNITUD 1

RELACIÓN

Tamaño de un terreno

DP

Número de máquinas de coser Número de artículos Cantidad de proteínas consumidas

MAGNITUD 2 Precio del terreno

DP

Producción de pantalones Precio total a pagar

DP

Masa corporal

DP

B. Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas disminuye, la otra aumentará proporcionalmente Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número, y si al dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Analicemos el siguiente caso: el recorrido que realiza un bus interprovincial para ir de Lima a Arequipa es de aproximadamente 1000 km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo de viaje. Velocidad(km/h)

50

80

100

125

Tiempo (h)

20

12,5

10

8

En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores obtenemos:

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50 ×20= 80 × 12,5=100 × 10 =1000=k En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante.

A IP B  (valor de A)( valor de B) k

(k es constante de proporcionalidad)

Algunas magnitudes inversamente proporcionales son: MAGNITUD 1

RELACIÓN

MAGNITUD 2

Número de inasistencias al trabajo

IP

Número de trabajadores

IP

Velocidad de desplazamiento

IP

Remuneración Número de días para terminar un trabajo Tiempo de viaje

Altura msnm

IP

Presión atmosférica

Ejemplo 1: Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales y los que son inversamente proporcionales. RELACIÓ N

MAGNITUD 1 El número de empleados. Los días de trabajo El espacio

MAGNITUD 2

obreros y el trabajo realizado y las horas diarias que se trabajan ,

El número de cosas y El peso El número de obreros empleados El número de cosas El tiempo

con el tiempo, si la velocidad no varía. el precio, cuando se paga a razón del número. y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón del peso y el tiempo necesario para hacer una obra. y el precio, cuando se paga a razón del número y las unidades producidas

Ejemplo 2: Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 1650 de comisión? Solución: Identificamos datos significativos ✔ Comisión S/ 150 por cada tv cuyo valor sea mayor a S/ 1000.

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Estrategia: Sí se incrementa el número de

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✔ ¿Cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000, tendrá que vender para recibir S/ 1650 de comisión?

televisores vendidos, entonces la comisión será mayor. Por tanto N° de televisores DP Comisión

N ° detelevisores =k Comisió n 1 x = 150 1650 1650=150 x

x=11 Interpretamos el resultado: Para que Carlos reciba una comisión de S/ 1650 deberá vender 11 televisores considerando que el precio del tv es mayor a S/1000 Reflexionamos sobre los resultados

Si vendemos más televisores obtenemos más comisión por ello: Establecemos que: Por tanto

:

N° de televisores DP Comisión

N ° detelevisores =k Comisió n 1 x = 1650 150 1650=150 x

x=11

Ejemplo 3: Ciertos estudios han determinado que la temperatura en el interior de una habitación varía de forma inversamente proporcional al área de la misma. Un ingeniero civil ha realizado estudios que indican que en una habitación de 50 m 2 la temperatura es de 20° C, ¿Cuál será la temperatura en un ambiente de 40 m2? Solución: Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Como sabemos que: ✔ La temperatura en el interior de una habitación varía de forma inversamente proporcional al área de la misma. ✔ En una habitación de 50 m2 la temperatura es de 20° C

A IP B  (valor de A)( valor de B) k Por dato del problema: Temperatura IP : Área,

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16.1%

Luego, reemplazando los valores:

(50)(20) 40 x 1000  40x 25  x Interpretamos el resultado: Por dato del problema la temperatura es IP al área, como sabemos que

A IP B  (valor de A)( valor de B) k

entonces reemplazamos los datos en la formula

y obtenemos que en un ambiente de 40 m2 la temperatura ambiente es de 25°C Reflexionamos sobre los resultados Como por dato nos indican que la relación entre m2 y temperatura es IP Aplicamos la relación: Área, (Temperatura ) (Á rea )=k Luego, reemplazando los valores:

(50)(20) 40 x 1000  40x 25  x ✔ ✔ De acuerdo a la investigación en un ambiente de 40 m2 la temperatura ambiente será 25 °C

3. REPARTO PROPORCIONAL Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto. Reparto Proporcional Simple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir una cantidad N DP a los índices

a1 , a 2 , a 3 ,.... , an

P1 , P2 , P3 , .... , Pn son DP a los índices. P1 P2 P3 P     n k a1 a 2 a 3 an N  P1  P2  P3  ...  Pn

Se cumple que las partes obtenidas:

, donde

B. Reparto Simple Inverso:

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Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir N IP a los índices

a1 , a 2 , a 3 ,.... , an

P1 , P2 , P3 , .... , Pn son IP a los índices. P1 .a1 P2 .a2 P3 .a3  Pn .an k

Se cumple que las partes obtenidas:

Además:

N  P1  P2  P3  ... Pn

Ejemplo 5: Andrés, Benito y Carlos se asocian para realizar un negocio de venta de autopartes, para lo cual Andrés aporta S/ 2000, Benito S/1800 y Carlos S/ 800. Si se proyecta una utilidad de S/ 23 000. ¿Cuánto le correspondería a cada uno? Solución: Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Socios que aportan: ✔ ✔ ✔ ✔ ✔

Andrés aporta S/ 2000, Benito S/1800 Carlos S/ 800. utilidad de S/ 23 000 ¿Cuánto le correspondería a cada uno?

Como sabemos que: La utilidad DP a sus aportes, se determina la constante de proporcionalidad: A B C   k 2000 1800 800



 A 2000k B  1800 k C  800k 

Se establece que,

A +B+C=230002000 k +1800 k +800 k =230004 Reemplazamos K = 5 y obtenemos que: Andrés: A = 2000(5) = 10 000 soles. Benito: B = 1800(5) = 9 000 soles. Carlos: C = 800(5) = 4000 soles. Interpretamos el resultado: Como el reparto es directamente proporcional a sus aportes, hallamos la constante de proporcionalidad k=5.multiplicamos por sus aportes de cada socio y obtenemos que Andrés recibirá 10 000 soles, Benito 9 000, Carlos 4000 soles Reflexionamos sobre los resultados Importante identificar que por dato la utilidad es DP a los aportes

Por ello quien más aporta recibe mas utilidad en este caso Andrés recibe 10 000 soles

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l

Ejemplo 6 : El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8 460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador

N° de infracciones

Javier Leonardo Carlos Calcular el monto que recibirá cada uno.

4 5 3

Solución: Identificamos datos significativos

✔ Bono que se repartirá de S/ 8 460 ✔ Reparto IP las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador

N° de infracciones

Javier Leonardo Carlos

4 5 3

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Como el reparto es inversamente proporcional a 4, 6 y 3; entonces determinamos la constante de proporcionalidad.

J x 4 L x 5 C x 3 k

k  J  4  k   L  5  k  C 3 

Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación:

e

J +L+C=8460 K K K + + =8460 4 5 3 K=10 800 Por lo tanto, cada uno recibe:

J  Javier:

10 800  2700 4 soles

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10 800  2160 5 soles Leonardo: 10 800 C 3600 3 Carlos: soles L 

Interpretamos el resultado: Como el reparto es IP obtenemos la contante K, que dividimos en cada infracción y obtenemos que el bono es mayor para el que tiene menos infracción: Carlos recibe 3600 soles por tener menos infracción, seguida por Leonardo recibe 2160 soles y Javier 2700 soles Reflexionamos sobre los resultados Como el reparto IP a las infracciones cometidas Carlos tiene menos infracciones le corresponde mayor bono recibe 3600 soles

CASOS DIDÁCTICOS Instrucciones: Resuelve las siguientes situaciones contextuales aplicando los conceptos de magnitudes proporcionales y reparto proporcional. 1. En una imprenta, el precio unitario de un libro es IP al número de ejemplares editados. Si los ingresos de una primera edición ascienden a S/ 41 800, ¿cuál será el precio de cada libro en una segunda edición en la que se venden 1900 ejemplares? Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

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Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

2. El jefe de servicios de enfermería concluyó que la dosis de medicamento para los pacientes del pabellón “B” es proporcional a la masa de cada persona. Además, se sabe que una persona recibió 20 mg de medicamento y otra persona que pesaba 7 Kg menos recibió 18 mg. Determina la masa de ambos pacientes. 3. Cuatro estudiantes de la UCV sede Lima: Vanessa, Magaly, Lourdes y Carolina hicieron un viaje de pasantía a la UCV sede Huaraz. Reunieron el dinero que cada una tenía S/ 600 de Vanessa, S/ 700 de Magaly, S/ 900 de Lourdes y S/ 800 de Carolina. Al regresar les quedó un total de S/ 150 que decidieron repartirlo de manera proporcional al monto que cada una aporto. Calcule cuanto le tocó al estudiante que más aportó. Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

4. En un concurso de matemáticas se entregaron 20 problemas y se premiaron a los 3 primeros lugares en partes inversamente proporcionales al número de problemas no resueltos. El primer puesto resolvió 19 problemas, el segundo puesto resolvió 18 problemas y el tercer puesto resolvió 16 problemas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si el premio es de S/ 700? Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

5. EL PERÚ EN CIFRAS DEL AÑO 2017

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Fuente: INEI Densidad de población Es un indicador que nos permite saber cuánta población habita en una zona territorial, como un país, una región, una comuna, etc. Así como también saber cuándo la población está concentrada o dispersa, respecto al territorio que habitan. Ejemplo: Un área geográfica tiene una población de 9.800 habitantes y tiene una superficie de 15 km2, por tanto, la densidad de población es de 653 hab/km2. En base a la información presentada responde: A. ¿Qué magnitudes y unidades intervienen en la densidad poblacional de nuestro país? MAGNITUDES UNIDADES

B. Teniendo en cuenta los datos anteriores calcular la densidad poblacional del Perú en el 2017. Interpretar la misma. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

C. Si el número de habitantes en nuestro país aumenta. ¿Cuál sería el comportamiento de nuestra densidad poblacional?

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Interpreta sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

D. Asumiendo que las cifras reportadas por el INEI se relacionan proporcionalmente en el citado año, estimar: La cantidad de personas que tendrían cobertura de La población económicamente activa por cada salud, de una población total de 100,000 peruanos. 100 peruanos.

Interpreta sobre los resultados

Interpreta sobre los resultados

Reflexionamos sobre los resultados

Reflexionamos sobre los resultados

PENSAMIENTO EN ACCIÓN SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 01 EL CENSO EN CIFRAS El Censo nacional se dio en medio de reclamos, omisiones y calles vacías. La población cumplió, el INEI no. Pasadas las 5 p.m. no se terminó de censar a todas las casas de las zonas urbanas. El INEI precisó que hubo una omisión del 2% que se atenderá en estos días. Empadronadores denunciaron problemas logísticos y hasta una violación. No hubo transporte público. En La Convención (Cusco) se suspendió el censo. Hoy arranca en el área rural.

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En base a la información presentada responde: A. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que cita la fuente. MAGNITUDES

UNIDADES

Crecimiento poblacional

Porcentaje %

Tiempo

años

N° de viviendas

Unidades

B. Estima la razón entre el número de viviendas a censar del área urbana y las del área rural. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Restamos el número de viviendas urbanas y Área urbana = 7 686 497 viviendas

rurales

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Área Rural = 2 259 183 viviendas

7 686 497 - 2 259 183 = 5 427 314

Interpreta sobre los resultados.: La razón entre las viviendas a censar del área urbana (7686497) y las del área rural (2259183) es igual a 5,427,314. Reflexionamos sobre los resultados: El número de viviendas urbanas es mayor al

número de viviendas rurales C. Determina la razón entre el número de empadronadores y el número de viviendas a censar, en el área rural e interpreta tu respuesta. Asimismo, con relación a la razón determinada, estimar la cantidad de viviendas que habrían censado 1000 empadronadores rurales. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Dividimos el número de empadronadores y el de  Empadronadores =24981

 Viviendas a censar =2 259 183  Cantidad de viviendas censadas por 1000 empadronadores

viviendas a censar para encontrar la razón: 2259183 = 90 24981

Luego hallamos la razón para estimar la cantidad de viviendas que habrían censado 1000 empadronadores 1000 x 90 = 90 000 Interpreta sobre los resultados: El reparto es DP ya que primero encontramos la razón entre viviendas censadas y el número de empadronadores que es de 90 para luego le multiplicarlo por los 1000 obteniendo como resultado 90000 viviendas censadas. Reflexionamos sobre los resultados: A más empadronad...