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INSTITUT FÜR REGELUNGSTECHNIK UNIV.-PROF. DR.-ING. DIRK ABEL

Pru ¨fung in Regelungstechnik Klausurarbeit am 08.09.2014

Name: Vorname: Matrikelnummer:

Aufgabe 1 (a, b)

(20 Punkte)

RT/H14 Seite 1

Betrachtet wird der Einkupplungsvorgang eines Kraftfahrzeugs. Im Folgenden ist der Antriebstrang mit einem Rad abgebildet, das als reprasentativ fu ¨ ¨ r alle vier Ra¨der angesehen wird:

TM , TK ΩM ΦK , ΩK ΦR , ΩR FK FW V S FA M JM JK JR C R

Motormoment, Kupplungsmoment Winkelgeschwindigkeit Motor Winkel und Winkelgeschwindigkeit Kupplungsscheibe Winkel und Winkelgeschwindigkeit Rad Kupplungskraft Fahrwiderstandskraft Fahrzeuggeschwindigkeit Schlupf zwischen Rad und Straße Antriebskraft Fahrzeug Masse Fahrzeug Massentra¨gheitsmoment Motor und Schwungrad Massentra¨gheitsmoment Kupplungsscheibe Massentra¨gheitsmoment Rad Federkonstante Torsionsfeder Radradius

R, JM , JK , JR , M und C sind konstant.

Aufgabe 1

RT/H14 Seite 2

Beim Einkuppeln wird die Kupplungsscheibe gegen das Schwungrad gepresst. Dabei wird aufgrund der Gleitreibung proportional zur Kupplungskraft FK , die vom Fahrer vorgegeben wird, ein Kupplungsmoment TK ubertragen. Fu¨r ein sanfteres ¨ Ansprechen der Kupplung ist eine Torsionsfeder mit der Steifigkeit C vorgesehen. Das Fahrzeug wird u¨ber die Antriebskraft FA angetrieben. Diese Kraft ist proportional zum Schlupf S zwischen Rad und Straße, der wie folgt definiert ist:

S =

RΩR − V V

Die Fahrwiderstandskraft FW kann im Arbeitspunkt proportional zur Fahrzeuggeschwindigkeit V angenommen werden. Sonstige Reibkrafte ¨ sind zu vernachla¨ssigen. Im Rahmen dieser Aufgabe wird das Getriebe vernachlassigt. Im betrachteten Ar¨ beitspunkt gilt: V0 , ΩR > 0

a) Zeichnen Sie einen Wirkungsplan des Systems fu¨r den Vorgang des Einkuppelns fu ¨r kleine Abweichungen von einem Arbeitspunkt mit der Abweichung der Fahrzeuggeschwindigkeit v und der Abweichung der Winkelgeschwindig¨ keit ωM des Motors als Ausgangsgroßen. Kennwerte an den Ubertragungs¨ bl¨ ocken sind nicht erforderlich. b) Um ein Absacken der Winkelgeschwindigkeit ωM des Motors beim Einkuppeln zu vermeiden, soll eine Regelung eingesetzt werden. Erweitern Sie den Wirkungsplan um eine solche Regelung mit der Fuhrungsgr o¨ße ωM, soll . ¨

Aufgabe 2 (a, b, c, d, e, f, g)

(19 Punkte)

RT/H14 Seite 3

Betrachtet wird der folgende Regelkreis:

Im Bode-Diagramm ist der Frequenzgang der Regelstrecke GS (jω) gegeben. a) Kennzeichnen Sie die Lage der Pol- und Nullstellen von GS in untenstehendem Diagramm (exakte Werte sind nicht erforderlich!).

Es soll zuna¨chst ein P -Regler GR = KR eingesetzt werden. b) Ist das vereinfachte Nyquist-Kriterium zur Beurteilung der Stabilitat ¨ des geschlossenen Regelkreises anwendbar? Begrunden Sie Ihre Antwort! ¨ c) Ist es m¨oglich, den Regler so einzustellen, dass der Regelkreis einen Regelfaktor von R = 0,05 aufweist? Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind unabhangig von den Aufgabenteilen a) ¨ bis c) lo¨sbar. Die Betrachtung der Asymptoten des Amplitudenverlaufs ist ausreichend. Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist anwendbar.   1 Es soll nun ein P I-Regler GR (jω) = 1 · 1 + ausgelegt werden. Tn jω d) Konstruieren Sie den Phasenverlauf ϕR (ω) des Reglers fur ¨ Tn = 1 sec. e) Konstruieren Sie den Amplitudenverlauf |G0 (jω )| des aufgeschnittenen Regelkreises fur ¨ Tn = 1 sec. f) Ist der geschlossene Regelkreis fur ¨ Tn = 1 sec stabil? g) Bestimmen Sie nun Tn so, dass der Regelkreis eine Phasenreserve von αR = 20◦ aufweist.

Aufgabe 2

RT/H14 Seite 4

Aufgabe 3 (a, b, c)

(9 Punkte)

RT/H14 Seite 5

Gegeben ist ein System in dimensionsloser Zustandsraumdarstellung mit der Systemmatrix     −3 −15 50 1   1 0 0  und dem Eingangsvektor b = 0 . A= 0 1 0 0 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Routhschen Probefunktionen R0 , R1 , R2 ,... die Anzahl der Eigenwerte von A mit positivem Realteil. Ist das System stabil? T Es soll nun eine Zustandsru¨ckfu ¨hrung k = (k1 k2 k3 ) ausgelegt werden. Das System mit Zustandsru ¨ckfu ¨hrung soll folgende Polstellen aufweisen:

b) Nennen Sie einen Nachteil, den die gegebene Wahl der Polstellen ur f ¨ das Systemverhalten hat. c) Bestimmen Sie kT . Hinweis: Alle Aufgabenteile konnen unabh¨angig voneinander gelo¨st werden. ¨

Aufgabe 4 (a, b, c, d)

(11 Punkte)

RT/H14 Seite 6

Betrachtet wird das folgende System mit zwei Eingangsgroßen u1 und u2 und zwei ¨ Ausgangsgro¨ßen y1 und y2 :

Y 1 ( s) ¨ GA (s) = a) Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktion in doppelbruchU2 (s) freier Form. b) Geben Sie die Bedingung fur ¨ den Entkopplungsregler GE an, sodass u2 keinen Einfluss auf y1 hat.

Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile konnen unabha¨ngig von den Aufgabenteilen ¨ a) und b) gelo¨st werden. ¨ bertragungsfunktion GC (s) = Y1 (s) in doppelbruchc) Bestimmen Sie die U U1 (s) freier Form. Es gilt nun: GS (s) =

2 , 1 + 4s

G1 (s) =

1 , 1 + 2s

G3 = 3, GR = KR .

Es darf ohne Einheiten gerechnet werden. d) Geben Sie den Bereich fu¨r KR an, sodass GC stabil ist.

Aufgabe 5 (a, b, c, d)

(9 Punkte)

RT/H14 Seite 7

Betrachtet wird der folgende Regelkreis:

a) Bestimmen Sie den Frequenzgang GS (jω) der Regelstrecke in doppelbruchfreier Form. Nachfolgend ist die Ortskurve der Regelstrecke GS abgebildet:

L¨ osung zu Aufgabe 5

RT/H14 Seite 8

b) Bestimmen Sie K und T . c) Ist das vereinfachte Nyquist-Kriterium zur Beurteilung der Stabilita¨t des geschlossenen Regelkreises anwendbar? Begrunden Sie Ihre Antwort! ¨ d) Geben Sie den Bereich fur ¨ KR an, fu¨r den der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Aufgabe 6 (a, b)

(10 Punkte)

RT/H14 Seite 9

Eine durch ein Kennlinienfeld (s. nachste Seite) beschriebene nichtlineare Regel¨ strecke wird durch einen P I-Regler mit Vorfilter geregelt:

Es gilt: Z = 0, Z0 = 0

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom des Systems mit Eingang w und Ausgang x in der Umgebung eines beliebigen Arbeitspunktes A0 (X0 , Y0 , Z0 = 0) in der Form an sn + . . . + a1 s + a0 = 0. Verwenden Sie dazu die Linearisierung in der allgemeinen Form x = Ky · y + Kz · z .

b) Bestimmen Sie einen Arbeitspunkt A0 (X0 , Y0 , Z0 ) innerhalb des Kennlinienfeldes, in dessen Umgebung das geregelte System mit Eingang w und 2 Ausgang x einen Da¨mpfungsgrad von D = aufweist. 3

L¨ osung zu Aufgabe 6

RT/H14 Seite 10

Aufgabe 7 (a, b)

(6 Punkte)

RT/H14 Seite 11

Betrachtet wird das folgende System bestehend aus Regelstrecke und zeitdiskreter Regeleinrichtung:

Die Regelstrecke GS (s) =

X(s) weist folgende Gewichtsfunktion g(t) auf: Y (s)

b0 + b1 s + . . . + bm sm −Tt s a) Bestimmen Sie GS (s) in der Form GS (s) = K e . a0 + a1 s + . . . + an sn ¨ Die Strecke wird mit einem zeitdiskret arbeitenden Regler geregelt, dessen Ubertragungsverhalten durch folgende Differenzengleichung bestimmt ist: 4yk − 4yk−1 = 9ek − 8ek−1 Diese Differenzengleichung wurde ausgehend von einer Differentialgleichung durch Anwendung der Ru¨ckwa¨rtsdifferenz ermittelt. Die Abtastzeit betra¨gt Tab = 0,5 sec. b) Bestimmen Sie das kontinuierliche Ersatzsystem der gesamten Regeleinrichb0 + b1 s + . . . + bm sm −Tt s (s) in der Form GR (s) = K tung GR (s) = YE(s) e . a0 + a1 s + . . . + an sn Hinweis: Beide Aufgabenteile sind unabha¨ngig voneinander lo¨sbar.

Aufgabe 8 (a, b, c, d)

(16 Punkte)

RT/H14 Seite 12

Fragenteil Diese Aufgabe besteht aus vier Teilaufgaben mit jeweils zwei Aussagen. Zu jeder Aussage sind drei mo¨gliche Begru¨ndungen gegeben. Geben Sie durch Ankreuzen von ja“ oder nein“ an, ob die Aussage zutrifft oder nicht zutrifft und kreuzen ” ” Sie ferner die dazugehorige Begru¨ndung an. Es darf jeweils nur eine Begru ¨ ¨ndung angekreuzt werden. Bepunktet wird nur die richtige Antwort in Kombination mit der passenden Begrundung. Es ist jeweils nur eine Begru¨ndung passend. ¨ ¨ mit Begrenzung a) Betrachtet wird das folgende Ubertragungssystem (0 < d < 1):

Es gilt: w(t) = 1(t) a1 ) Der Grenzwert lim y(t) ist unabha¨ngig von der Begrenzung d. t→∞

lim y(t) = d

ja

t→∞

Eine bleibende Regelabweichung ist aufgrund des Integrators nicht mo¨glich. nein lim y(t) = 0

t→∞

von der Begrenzung d. a2 ) Die Anfangssteigung y(t ˙ = 0) ist unabhangig ¨ Die Stellgeschwindigkeit ist durch d begrenzt: y˙ ≤ d ja y(t ˙ = 0) = 1 sec−1 nein ¨ d begrenzt lediglich die Anderung der Regelabweichung e. ˙

Aufgabe 8

Fragenteil

RT/H14 Seite 13

¨ b1 ) Betrachtet wird ein System mit folgender Ubertragungsfunktion: 8s3 + 4s2 + s + 2 G(s) = 2 (s + 2s + 1) · (1 + 3s) Es handelt sich um ein Phasenminimumsystem. Das System ist instabil. ja Das System ist stabil und hat zwei Nullstellen in der rechten s-Halbebene. nein Das System ist stabil und hat keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene. b2 ) Betrachtet wird ein totzeitfreies System mit folgendem Frequenzgang:

Es handelt sich um ein Phasenminimumsystem. Das System ist stabil und hat keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene. ja Das System ist stabil und hat eine Nullstelle in der rechten s-Halbebene. nein Das System ist instabil.

Aufgabe 8

RT/H14 Seite 14

Fragenteil

c) Gegeben ist das folgende B/E-Netz, das nach der starken Schaltregel arbeitet. N bezeichnet die Netzmatrix des Systems.

c1 ) iT 1 = (1

1

0

1

0)T ist eine T-Invariante des Petri-Netzes.

Die Transition t1 ist unter der gegebenen Anfangsmarkierung nicht schaltfa¨hig. ja N · iT 1 = 0 nein N · iT 1 = −1

c2 ) Das Netz ist reversibel. Es existiert eine T-Invariante. ja Es existiert eine totale Verklemmung. nein Die Markierung (0 bar.

0

0

0

1) ist nicht erreich-

Aufgabe 8

RT/H14 Seite 15

Fragenteil

d) Betrachtet wird das folgende System:

d1 ) Es wird zuna¨chst ein P D-Regler GR (s) = KR · (1 + Tv s) eingesetzt. Die Reglerparameter KR > 0 und Tv > 0 ko¨nnen so gewahlt ¨ werden, dass das System aperiodisches Verhalten aufweist. Fu ¨r beliebige Werte KR > 0 und Tv > 0 hat das System ein komplex konjugiertes Polpaar. ja Die D¨ampfung des Systems la¨sst sich beliebig durch Erho¨hen der Vorhaltezeit Tv anheben. nein Fu ¨r beliebige Werte KR > 0 und Tv > 0 hat das System zwei Polstellen auf der reellen Achse.

d2 ) Es soll nun ein P I-Regler GR (s) = KI · (1 +

1 ) eingesetzt werden. Tn s

Befindet sich das System am Stabilita¨tsrand, so wird es durch eine Verkleinerung der Nachstellzeit Tn instabil. ωπ sinkt und |G0 (jωπ )| steigt. ja ωπ steigt und |G0 (jωπ )| sinkt. nein Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist nicht anwendbar.

Musterlo¨sung

Musterl¨osung zu der Klausur H14

RT/H14

Lo¨sung zu Aufgabe 1 (a, b)

a) (17 Punkte)

RT/H14 Seite 1

b) (3 Punkte)

Zur besseren Nachvollziehbarkeit der Lo¨sung sind, wo mo¨glich, Kennwerte an den ¨ Ubertragungsbl o¨cken angegeben. Dies war zur Lo¨sung nicht gefordert.

L¨osung zu Aufgabe 2 (a, b, c, d, e, f, g)

RT/H14 Seite 2

a) (2 Punkte) • Aus Amplitudenverlauf |GS |: doppelte Polstelle (P T2 ) bei ω = 0,5 sec−1 , Nullstelle bei ω = 5 sec−1 • Betrachtung Phasenverlauf (fu ¨r Polstellenpaar und Nullstelle separat mo¨glich, da eine Dekade Abstand zwischen Eckkreisfrequenzen): Polstellen sind stabil und komplex (0 < D < 1), Nullstelle in rechter s-Halbebene • Pol-Nullstellen-Diagramm:

b) (2 Punkte) 1. Pru ¨fe: Der aufgeschnittene Regelkreis muss stabil sein oder integrierendes Verhalten aufweisen. Der aufgeschnittene Regelkreis ist eine Reihenschaltung stabiler Elemente (Polstellen von GS in linker s-Halbebene, GR = KR stabil) und ist somit stabil ⇒ Die Bedingung ist erfu¨llt. 2. Pru ¨fe: Der Phasengang des Frequenzgangs von G0 (jω ) darf die Linien −180◦ − n · 360◦ im Bode-Diagramm nur mit negativer Steigung schneiden. Wegen GR = KR ist ϕ0 = ϕS . ϕS fallt ¨ monoton (s. Bode-Diagramm) ⇒ Die Bedingung ist erfu¨llt. ⇒ Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist hier anwendbar. c) (5 Punkte) • Regelfaktor R = xx∞mR ∞oR x∞oR = lim GS (s) = 2 existiert, da GS stabil (siehe a) s→0

x∞mR = lim 1+GGSS((ss))GR = s→0

stabil (Annahme).

2 1+2KR

existiert falls geschlossener Kreis

Lo¨sung zu Aufgabe 2 (a, b, c, d, e, f, g)

RT/H14 Seite 3

1 ⇒ KR = 9,5 • R = 0,05 = 1+2K R ¨ u • Uberpr ¨fe Annahme (geschlossener Kreis stabil) mit vereinfachtem Nyquist-Kriterium (siehe b): ϕS (ωπ ) = −180◦ , |GS (jωπ )| = 0,2 ⇒ |G0 (jωπ )| = |GS (jωπ )| · KR = 1,9 > 1

⇒ Ein Regelfaktor von R = 0,05 ist nicht einstellbar, da der Regelkreis bei dem KR , das hierzu notwendig wa¨re, instabil wird. d) (1 Punkt) Konstruiere Phasenverlauf ϕR des Reglers fur ¨ Tn = 1 sec e) (2 Punkte) • Konstruiere Asymptoten des Amplitudenverlaufs |GR,e) (jω )| fur ¨ Tn = 1 sec • Konstruiere Asymptoten des Amplitudenverlaufs |G0 (jω )| fur ¨ Tn = 1 sec mittels grafischer Addition von |GR,e) (jω )| und |GS (jω )| f) (3 Punkte) Anwendung des vereinfachten Nyquist-Kriteriums: Ablesen aus Bode-Diagramm: ωπ ≈ 0,6 sec−1 bei ϕ0 = ϕR + ϕS = −180◦ ⇒ |G0 (jωπ )| ≈ 2,2 > 1 ⇒ Der geschlossene Regelkreis ist instabil. g) (4 Punkte) • Wahl von Tn beeinflusst Amplitude und Phase von GR (jω) und damit G0 (jω) und daher auch ωd 1 • Fu sec gilt aber |G0′ (jωd )| = 1 ¨r Tn > 0,7 Hier ist ωd = 0,7 sec−1 unabh¨angig von Tn ⇒ ϕ0′ (jωd ) = −180◦ + 20◦ = ϕS (jωd ) + ϕR (jωd ) = −138◦ − 90◦ + arctan(Tn ωd ) ◦ ) 1 ⇒ Tn = tan(68 = 3,54 sec > 0,7 sec ωd

L¨osung zu Aufgabe 2 (a, b, c, d, e, f, g)

RT/H14 Seite 4

Lo¨sung zu Aufgabe 3 (a, b, c)

RT/H14 Seite 5

a) (4 Punkte) • Charakteristisches Polynom bestimmen: 

  s 0 0 −3 det(sI − A) = det  0 s 0  −  1 0 0 s 0

−15 0 1

 50 0  0

= s3 + 3s2 + 15s − 50 ⇒ a3 = 1, a2 = 3, a1 = 15, a0 = −50 a0 < 0(a3 , a2 , a1 > 0) ⇒ das System ist instabil • Bestimme die Routhschen Probefunktionen: R3 R2 R1 R0

=1 =3 = 15 − = −50

1 3

· (−50) = 31 32

15 -50 0 0

• Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge der Routhschen Probefunktionen: 1 ⇒ Anzahl der Eigenwerte von A mit positivem Realteil: 1 ⇒ Das System weist einen Eigenwert mit positivem Realteil auf und ist daher instabil. b) (1 Punkt) ¨ Das System weist eine geringe Da¨mpfung auf (starkes Uberschwingen bei sprungfo¨rmiger Anregung). c) (4 Punkte) • Zustandsraumdarstellung mit Zustandsruckf ¨ ¨uhrung: T x˙ = A · x + b · u mit u = −k · x = (A − b · kT ) · x | {z } AK

AK



− 3 − k1  1 = 0

−15 − k2 0 1

 50 − k3  0 0

L¨osung zu Aufgabe 3 (a, b, c) • Charakteristisches Polynom:  s + 3 + k1 −1 det(sI − AK ) = det   0

RT/H14 Seite 6

15 + k2 s −1

= s3 + (3 + k1 )s2 + (15 + k2 )s + (k3 − 50)

 −50 + k3  0 s

• Bestimme Sollpolynom: Polstellen aus Diagramm: sP 1 = −2, sP 2 = −1 − 4j, ⇒ Sollpolynom: (s + 2) · (s + 1 + 4j) · (s + 1 − 4j) = s3 + 4s2 + 21s + 34 • Koeffizientenvergleich mit charakteristischem Polynom ⇒ kT = [1 6 84]

sP 3 = −1 + 4j

Lo¨sung zu Aufgabe 4 (a, b, c, d)

RT/H14 Seite 7

a) (3 Punkte) Y1 = GS · (GE U2 − GR Y1 ) − G3 · (G2 U2 − G1 Y1 ) ⇔ GA (s) =

Y1 (s) U2 (s)

=

GS GE −G2 G3 1+GR GS −G1 G3

b) (2 Punkte) !

GA = 0 ⇔ GS GE − G2 G3 = 0 ⇔ GE =

G2 G3 GS

c) (3 Punkte) Y1 = GS · GR · (U1 − Y1 ) − G3 · G1 · (U1 − Y1 ) ⇔ GC (s) =

Y1 (s) U1 (s)

=

GR GS −G1 G3 1+GR GS −G1 G3

d) (3 Punkte) Untersuche charakteristische Gleichung 1 + G0 (s) = 0 ⇔ 1 + GR GS − G1 G3 = 0 2KR Einsetzen ⇒ 1 + 1+4s −

3 1+2s

=0

⇔ 8s2 + (6 + 4KR − 12)s + (1 + 2KR − 3) = 0 Stabilit¨atsuntersuchung mit algebraischen Kriterien: 1. Bedingung: Alle Koeffizienten a2 , a1 und a0 vorhanden und positiv a2 : a1 : a0 :

8> 6 + 4KR − 12 > 1 + 2KR − 3 >

0 0 ⇔ K R > 1 ,5 0 ⇔ KR > 1

2. Bedingung: Muss hier nicht gepruft ¨ werden, da Polynom zweiten Grades. ⇒ KR > 1,5

L¨osung zu Aufgabe 5 (a, b, c, d)

RT/H14 Seite 8

a) (2 Punkte) GS (jω) =

K 1+jωT 75·K 1− 0, 1+jωT

=

K 1+jωT −0,75K

b) (4 Punkte) • lim GS (jω) = −4 ⇒ ω→0

K 1−0,75K

= −4 ⇒ K = 2 K∗

z

}| { K 0,75K − 1 • Frequenzgang GS (jω) in Standardform: GS (jω) = − T 1− jω 0,75K − 1 | {z } also ⇒ Eckkreisfrequenz bei 45 Phasenanderung, ¨ 0,75K−1 1 −1 = ⇔ T = 0,5 sec T ∗ = 1 sec T

T∗

◦

c) (1 Punkte) 1. Pru ¨fe(*): Der aufgeschnittene Regelkreis muss stabil sein oder integrierendes Verhalten aufweisen. Da GS (s) = − 1−14sec s gilt ist GS (s) instabil. Damit ist auch der aufgeschnittene Regelkreis G0 (s) = GS (s) · KR instabil. ⇒ Die Bedingung ist nicht erfu¨llt. 2. Pru ¨fe(*): Die Ortskurve des Frequenzgangs G0 (jω) darf die reelle ¨ Achse nur so schneiden, dass die Frequenz beim Ubergang vom dritten in den zweiten Quadranten zunimmt. ⇒ Die Bedingung ist nicht erfu¨llt. ⇒ Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist hier nicht anwendbar. d) (2 Punkte) • Anwendung des Nyquist-Kriteriums: m = n − p • G0 (s) = GS (s) · KR = −KR · 1−14sec s hat eine Polstelle in der rechten s-Halbebene ⇒ p = 1 • Fu ¨r Stabilita¨t des geschlossenen Regelkreises muss gelten n = 0 ⇒ W¨ahle KR so, dass m = −1 ⇒ KR > 0,25 (*) F¨ur die Anwendbarkeit des vereinfachten Nyquist-Kriteriums m¨ ussen beide Bedingungen erf¨ ullt sein. Hier gen¨ugt also der Nachweis, dass eine Bedingung verletzt ist.

Lo¨sung zu Aufgabe 6 (a, b)

RT/H14 Seite 9

a) (4 Punkte) Untersucht wird das in einem beliebigen Arbeitspunkt A0 linearisierte System:

Dabei sind Ky und Kz entsprechend dem gegebenen Kennlinienfeld abhangig ¨ vom Arbeitspunkt A0 . Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: 1 + G0 = 0 ⇔ 1 + Ky · 1+31sec s · 1,5 · (1 +

1 1 sec s )

=0

⇔ 3 sec2 ·s2 + (1 sec +1,5 sec Ky ) · s + 1,5Ky = 0 b) (6 Punkte) Koeffizientenvergleich mit schwingungsfahigem P T2 : ¨ s2 +

Ky 1 + 1,5Ky ·s + =0 2 3 sec 2 sec | {z } | {z } 2Dω0

⇒ ω0 =

q

Mit D =

2 3

Ky 2 sec2

ω20

⇒2·D·

q

Ky 2 sec2

=

1+1,5Ky 3 sec

⇒ 2,25 · Ky2 − 5 · Ky + 1 = 0

L¨osung zu Aufgabe 6 (a, b)

⇒ Ky,1 = 2;

Ky,2 =

RT/H14 Seite 10 2 9

Suche Steigungen Ky =

 ∂X  ∂Y

A0

∼ =

 ∆X  ∆Y

A0

im Kennfeld:

⇒ Ky,1 = 2 bei A0,1 (X0 = 6, Y0 = 5, Z0 = 0) oder Ky,2 =

2 9

bei A0,2 (X0 = 10, Y0 = 11, Z0 = 0)

Lo¨sung zu Aufgabe 7 (a, b)

RT/H14 Seite 11

a) (2 Punkte) K Laplace-Transformation von g(t): X (s) = s(1+sT ) = GS (s) · Y (s)

Hier wird die Gewichtsfunktion betrachtet, also gilt: Y (s) = 1 ⇒ X(s) =

...