Hipérbolas - Ejercicios resueltos PDF

Preview

Summary

Ejercicios resueltos de hipérbolas...

Description

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Hip´erbolas - Ejercicios resueltos ´ Algebra I

1 1.1

Para cada una de las siguientes hip´erbolas, hallar las longitudes de los semiejes, las coordenadas del centro, v´ertices, focos, excentricidad y as´ıntotas 16 x2 − 9y2 = 144

Primero operamos para que nos quede la ecuaci´ on de forma can´onica, es decir: x2 y2 =1 − a2 b2 Entonces,

o

x2 y2 =1 − b2 a2

(con a > b)

16x2 9y2 =1 − 144 144

x2 y2 =1 − 16 9 x2 y2 − =1 32 42 Vemos que a = 4 y b = 3. Con estos datos ya podemos hacer un gr´afico aproximado de la hip´erbola. Paso 1 - usando los a y b encontrados trazamos un rect´agulo del siguiente modo:

Figure 1: Paso 1

Zoe Mancini

P´agina 1

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Figure 2: Paso 2 Paso 2 - usando los v´ertices del rect´angulo trazamos las que ser´an las as´ıntotas, como se muestra en el dibujo. Paso 3 - Notamos que hay dos posibles hip´erbolas, como se muestra en la im´agen. Para saber cu´al es nuestro caso, tenemos que remitirnos a la ecuaci´on can´onica. Si el t´ermino negativo es el que contiene la ”y”, entonces la hip´erbola estar´a ubicada como la roja en el dibujo, cuyo eje focal es el x. Si el t´ermino negativo es el que contiene la ”x”, la hip´erbola estar´a ubicada como la verde en el dibujo, cuyo eje focal es el y.

Figure 3: Paso 3 Dibujo final - Notamos que nuestro caso es el de la hip´erbola roja, el dibujo final se encuentra al t´ ermino del ejercicio. Ahora, recordando la propiedad: c2 = a2 + b2 , donde c es la semi distancia focal (distancia del foco al centro), podemos calcular las coordenadas de los focos. c2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 √ c = 25 = 5 olo tenemos que restarle, y Una vez conocida la distancia focal, para conocer las coordenadas de los focos s´ sumarle (dado que los focos se encuentran hacia la izquierda y derecha), a las coordenadas del centro el valor de c. En este caso, como el eje focal es el eje x, debemos sumarle/restarle el valor de c a la coordenada x del centro, dado que el mismo tambi´en se encuentra sobre el eje focal por lo tanto los focos y el centro comparten coordenada en y (en este caso). Podemos ver en el dibujo, y adem´as deducir a trav´ es de la ecuaci´on, que la hip´erbola no tiene ning´un tipo de corrimiento, por lo tanto su centro est´a ubicado en (0,0). Entonces, sabemos que los focos estar´an Zoe Mancini

P´agina 2

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

ubicados en (0 ± 5, 0), es decir, en (5,0) y (-5,0). Por otro lado, tal y como podemos ver en el dibujo, los v´ertices se encuentran tambi´en sobre el eje focal y est´an marcados por la ra´ız cuadrada del coeficiente que divide a la coordenada cuyo eje es eje focal. En este caso, nos referimos de la x. Vemos que la misma est´a dividida por 32 , donde la ra´ız cuadrada es 3, este valor debemos sumarlo y restarlo al centro tal y como hicimos con los focos. Y como los v´ertices tambi´en se encuentran sobre el eje focal, entonces la coordenada y la compartir´an con los focos y el centro. Por lo tanto: (0 ± 3, 0), vemos que los v´ertices son (3,0) y (-3,0), informaci´ on que podr´ıamos haber extra´ıdo directamente del dibujo aproximado que hicimos. Luego tenemos los semiejes. El semieje imaginario (el cual no corta a la hip´erbola) en este caso es a=4. Y el c semieje real, sobre el cual se apoya la hip´erbola, es b=3. La excentricidad est´ a dada por la f´ormula e = y como a tenemos ambos valores s´olo nos queda calcularla: e=

5 4

b Finalmente, las as´ıntotas est´an dadas por ± x = y, por lo tanto, en nuestro caso ser´an: a 4 y= x 3

y

y=

−4 x 3

Figure 4: Dibujo final

1.2

25 x2 − 144y2 + 3600 = 0

Nuevamente, llevamos a forma can´ onica: 25 x2 − 144y2 = −3600 −

Zoe Mancini

25 2 144 2 x + y =1 3600 3600 x2 y2 − =1 + 144 25 x2 y2 − 2 + 2 =1 5 12 P´agina 3

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Entonces vemos que a=12 y b=5. Hacemos el dibujo aproximado:

Figure 5: Dibujo aproximado Calculamos la semidistancia focal: c2 = a2 + b2 , entonces c2 = 144 + 25 = 169 c = 13 erbola, su centro es (0,0) y, por lo tanto, sus focos son (0,13) y (0,-13), porque en este Como no est´a corrida la hip´ caso el eje focal es el eje y por la forma de la ecuaci´on y como bien podemos √ observar en el dibujo. Vemos que la y est´a dividida por 25, por lo tanto los v´ertices ser´an (0, ± 25) Luego, con los semiejes, vemos que el semieje imaginario es el que est´a sobre el eje x, es decir a=12, y el semieje real es b=5. La excentricidad la podemos calcular dado que tenemos todos los datos necesarios: e= Finalmente, las ecuaciones de las as´ıntotas ser´an: 5 y= x 12

2 2.1

c 13 = a 12

y

5 y=− x 12

¿Es posible hallar la ecuaci´on de una hip´erbola que cumpla que: sus v´ertices son (±5, 0) y sus focos (±7, 0)?

Como los v´ertices y los focos est´an ubicados sim´etricamente respecto del eje y, y adem´as se encuentran sobre el eje x, notamos que el eje focal es el eje x y adem´as que el centro es el (0,0) Vemos tambi´en que c=7, entonces considerando que c2 = a2 + b2 , vemos que: p √ b = c2 − a2 = 24

(elegimos poner ”b” arbitrariamente, si el n´umero obtenido fuera mayor a 5, que es el otro coeficiente que conocemos gracias a las coordenadas de los v´ertices, deber´ıamos renombrarlo ”a”. El coeficiente ”a” es SIEMPRE mayor a ”b”, de esta manera se mantienen v´alidas ciertas relaciones ya conocidas como la excentricidad). Como el eje focal es el eje x, sabemos que el t´ermino negativo de la ecuaci´on can´onica ser´a el t´ermino que contenga y2 . √ Luego, como sabemos por los v´ertices que a=5 y adem´as que b = 24, ya podemos plantear la ecuaci´on can´onica: x2 y2 − =1 25 24 Zoe Mancini

P´agina 4

´ Algebra I

2.2

Universidad Nacional de Tres de Febrero

sus v´ertices son (0, ±7) y la excentricidad es 4/3?

Como los v´ertices son sim´etricos con respecto al eje x y est´an ubicados sobre el eje y, sabemos que el (0,0) es el c 4 4 centro y que el eje focal es el eje y. Tambi´en notamos que b=7. Por otro lado, e = = , entonces c = a. 3 a 3 4 Recordando que c2 = b2 + a2 y reemplazando c = a: 3 4 ( a)2 = a2 + b2 3 16 2 a − a2 = b2 9 16 a2 ( − 1) = b2 9 9 a2 = b2 7 Si consideramos que b=7: r

9 2 7 7 √ a = 63

a=

Como el eje focal es el eje y, el t´ermino negativo ser´a el que contenga al x2 . y2 x2 Por lo tanto: − + =1 63 49

2.3

la excentricidad es (3, 2)?

√

5, sus focos est´an en el eje x, el centro en el origen y pasa por el punto

Sabemos, como los focos est´an en el eje x, que tiene la siguiente forma: x2 y2 =1 − a2 b2 Reemplazamos el punto que nos dan, que como la hip´erbola pasa por el, ´ debe verificar la ecuaci´on: 9 4 =1 − a2 b2 Adem´as sabemos que: e =

√ c entonces c = a 5 a

Tambi´en que c2 = a2 + b2 . Despejamos b2 de la primera ecuaci´ on y hallar a: on que conseguimos para reemplazar c y b en esa relaci´ 9 4 −1= 2 b a2 b2 = 2

2

Reemplazamos en c = a + b

4 9 a2

−1

2

√ (a 5)2 = a2 + (

9 a2

4 −1

9 − 1)(5a2 − a2 ) = 4 a2 9 4a2 − 4a2 = 4 a2

Zoe Mancini

P´agina 5

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

36 − 4 = 4a2 32 = a2 4 √ √ a= 8=2 2 Luego, b2 = Finalmente:

2.4

9 8

4 = 32 −1

x2 y2 =1 − 32 8

el centro es (-1, 4), uno de los focos es el (-1, 2) y uno de los v´ertices es el (-1, 3)?

Vemos que c=2 y b=1. Como c2 = a2 + b2 entonces a2 = c2 − b2 . a2 = 3 √ a= 3 Luego, la ecuaci´on final ser´a: −(x + 1)2 +

3

(y − 4)2 =1 3

En alg u ´ n lugar se produjo una explosi´on. La explosi´on se registro´ mediante dos microfonos ´ M y N separados un kilometro entre s´ı. Cuando el micr o´ fono N recibi´o el ruido, el microfono ´ M ya lo hab´ıa recibido dos segundos antes. ¿En d´onde se produjo la explosi´on si se sabe que se alinea con M y N? Considerar la velocidad del sonido en el aire como 340 ms .

Sabemos que:

Figure 6: Esquema la explosi´on est´a alineada con M y N por lo que estar´a sobre r. Como alcanza a M antes que a N sabemos que esta se pudo haber producido de M hacia la izquierda, o entre M y N pero de la mitad de la distancia para el lado de M. m Por otro lado, tenemos la velocidad que es 340 .Como sabemos que alcanza a M 2 segundos antes que a N, si s consideramos que la explosi´on se produjo a la izquierda de M, sabremos que alcanza a M en un tiempo t0 y a N en un tiempo t0 + 2.

Zoe Mancini

P´agina 6

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Figure 7: Esquema 2 Entonces, realizando el c´alculo de cu´anto tarda en llegar desde M a N, tenemos: 2s 340 sm = 680m lo que significar´ıa que hay 680m entre M y N y esto es falso porque el problema indica que la distancia es de 1000m. Entonces, no nos queda otra opci´on que la explosi´on se produzca entre M y N.

Figure 8: Esquema 3 m Sabemos que la velocidad est´a dada por la divisi´ entonces m = vs on de la distancia sobre el tiempo: v = s Sabemos que d1 la recorre en un tiempo t0 , entonces d2 la recorre en un tiempo t0 + 2. Planteamos las ecuaciones de distancia: m d1 = 340 t0 s m d2 = 340 (t0 + 2) s Tambi´en sabemos que d1 + d2 = 1000m. Reemplazamos: 340t0 + 340(t0 + 2) = 1000 680t0 + 680 = 1000 1000 8 t0 = −1= s 680 17 Luego, como t0 =

8 s, reemplazamos en las ecuaciones de d1 y d2 y vemos cu´anto vale cada una: 17 d1 = 340

m8 s = 160m s 17

m 8 d2 = 340 ( + 2) s = 840m s 17 N. Luego, la explosi´on ocurri´ o sbre la recta r, a 160 m del micr´ofono M y 840 m del microfono ´ Zoe Mancini

P´agina 7

´ Algebra I

4

4.1

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Para cada una de las siguientes ecuaciones: (I) 2 x2 − y2 − 8 x − 2y + 3 = 0 (II) 9y2 − 4x2 − 24x − 36y − 36 = 0 Completando cuadrados, obtener una ecuaci´on del tipo

(x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2

(I) 2x2 − y2 − 8x − 2y + 3 = 0 Completamos cuadrados: 2 x 2 − 8 x − y 2 − 2y + 3 = 0

2(x2 − 4x + 4 − 4) − (y2 + 2y + 1 − 1) + 3 = 0 2[( x2 − 2)2 − 4] − (y + 1)2 + 1 + 3 = 0 2( x − 2)2 − 8 − (y + 1)2 + 4 = 0 2( x − 2)2 − (y + 1)2 = 4

2( x − 2)2 (y + 1)2 − =1 4 4 (x − 2)2 (y + 1)2 =1 − 4 2 (II) 9y2 − 4x2 − 24 x − 36y − 36 = 0 Completamos cuadrados: −4x2 − 24 x + 9y2 − 36y − 36 = 0

−4( x2 + 6x + 32 − 32 ) + 9(y2 − 4y + 22 − 22 ) − 36 = 0 −4[( x + 3)2 − 9] + 9[(y + 2)2 − 4] = 36 −4( x + 3)2 + 36 + 9(y − 2)2 − 36 = 36 −4( x + 3)2 9(y − 2)2 =1 + 36 36 −

4.2

(x + 3)2 (y − 2)2 =1 + 4 9

Obtener las coordenadas del centro, v´ertices, focos, las longitudes de los semiejes, excentricidad y as´ıntotas.

(x − 2)2 (y + 1)2 − =1 2 4 √ Vemos que tiene centro en (2,-1). Tambi´en que b = 2 y a=2. Vemos que su eje focal √ es paralelo al√eje x dado que el t´ermino negativo es el que contiene a la y. Los v´ertices est´an ubicados en (2 − 2, −1) y (2 + 2, −1). Calculamos c: √ c2 = ( 2)2 + 22 √ Entonces c = 6. √ √ Luego, los focos √ estar´an en (2 + 6, −1) √ y (2 − 6, −1). Dado que a = 2, el semieje √ real vale 2. El semieje imaginario vale b=2. 6 √ La excentricidad es: e = √ = 3. 2 Las as´ıntotas son: −2 2 y= √ x y y= √ x 2 2 (I)

2

(II) − (x+3) + 9 Zoe Mancini

(y−2)2 4

= 1 Vemos que tiene centro en (-3,2). Dado que el t´ermino que contiene a la x es negativo, el P´agina 8

´ Algebra I

Universidad Nacional de Tres de Febrero

eje focal ser´a paralelo al eje y. Su semieje imaginario mide a=3 y el real mide b=2. Luego, los v´ertices estar´an en (-3,0) y (-3,4). Calculamos c: c2 = a2 + b2 = 13 √ Entonces c = 13 √ √ √ 13 . Y las as´ıntotas son: Luego, los focos estar´an en (−3, 2 + 13 y (−3, 2 − 13).La excentricidad es e = 2 y=

Zoe Mancini

−2 x 3

y

2 y= x 3

P´agina 9...