IDEAS Y ACTIVIDADES PARA ENSENAR ALGEBRA PDF

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29. I)rensa y matemáticas .'\rtlonio Fernández Cano. Luis Rico Romercr Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso .lrr.c \ ( u.i¡nrrille Pcgiro 3r. Ordenar y clasificar (-¡rlt¡s Maza Cómez. Carlos Arce Jimenez 32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental...

Description

29. I)rensa y matemáticas .'\rtlonio Fernández Cano. Luis Rico Romercr

Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso .lrr.c \ ( u.i¡nrrille Pcgiro

3r. Ordenar y clasificar (-¡rlt¡s Maza Cómez. Carlos Arce Jimenez 32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de

la matemática elemental

IDEAS Y ACTIVIDADES PARA EI\SEI\AR ALGEBRA

.loscl:r Fenlández Sucasas. M.' Inés Rodriguez Vcla

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra (i mplr -\2¿¡q¡;"1 34. Rctumos en el aula de matemáticas Fr¡ncisco Herniin Siguero. Elisa Carrillo Quíntela

GRUPO AZARQUIEL Consejo editor:

FenNtxDo ALoNSo CrRltrN B.tneERo INuncul¿.DA FUENTES ANa G.'AzcÁn¡.rr JuaN IU. G." DozactR¡rr SeNrtnco GurtÉnnpz M." ANcELES ORTIZ VrcrNre Rrurenr C¡.ntt¡N da Vplc¡.

Luis Rico Romcro.José M., Formn)¡Aymemi" Luis puigEspinosa

EDITORIAL

SINTESIS

P-

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J

A,V

lndice -.,-\-uoro.. 3'?.1 C^rt\u.r\ !o1qr_b..rr,.

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Introducción 1. ¿Ha)'razones para que cueste tanto aprender álgebra?

1.1. Introducción

-!"r-,91-: 1.2.

i.

1.2.2.

Variables

Prirncr:; rcinrpresirin: jLrnio I993 Diseño tle cuhicrla: .luan Jos.! \'ázqLr:z Rcscrvados loJos ios dcrcclrc¡s. Estir irrohibitio. ba¡o las s¿rnciones penales r el resarcimient ra o lfk,'-> ?o o O

/"/ e¡ ''i ¡a 1e Y (ue 1o, /o t K' /'¡ /or m€nof 2a/r¡ f " ". " .P"?^ ,rllnrc tf uc[ ^L -r(/¡/ir^,/o po, Zo o e5 ttz lo¡ />. O bien, cuando en la

sucesión de figuras:

afirma qtre las dos columnas laterales son constantes. Está claro que, sin dejar de ser ciertas estas propiedades, únicamente con ellas no es posible car acterizar las sucesi ones. En otros casos. las propiedades observadas son irrelevantes, de carácter

anecdótico. pero son tales que liaman Ia atención del alumno, que con ello resuelve su problema de encontrar una solución, de dar una respuesta. Al pedir, por ejemplo, a un grupo de alumnos que describan figuras que han construído con palillos:

48

nrobable que rcsulle infructuoso. "'"iu*uién puede haber errores en la comprobación de las hipótesis, al aunque no en otros' comprobarlat at unot pocos casos en los que se cumple, ley general es un que es una la percepcián incompleta de lo

il" ir¿",

obstáculo que está detrás de este error'

Voiviendo a la sucesión anterior'

r, 3, 1. I 3.

...

multiplica por la conjetura de que, «para pasar de cada uno al siguiente se puede dejar dos y se suma uno», ciertá para los tres primeros términos, generalizaes si satisiechos a algunos, que no ven la necesidad de comprobar ble a todos los casos. generales Se ha visto que la última fase de la determinación de relaciones s.e tratan posteriores capitulos general. En era la de .*pr.rión escrita de lo simla expresión que presenta y dilicultades especilicamente los problemas el moEn comprendida. perlectamente siendo aun bólica de una reiación. de tipo del errores encontrar posible es y relaciones, letras mento de escribir verbalas expresiones simbolizan se cuando que aparecen de traducción ios les de los problemas.

La generalización es una potente herramienta para entender y explicar hechos y relaciones que afectán a un cierto número de situaciones distintas.

se

/\A

«Triángulos pegados unos al lado de otros»'

2.5. GENERALIZACION ABUSIVA

ffiNN

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l\ai

pero, como ocurre con todos los conceptos, puede también provocar errores debidos a un uso incorrecto o abusivo.

Estos errores son intentos de adaptar reglas o propiedades a una situación distinta a aquélla en la que se usan habitualmente. Esta es una forma de generalizar: ampliar el ámbito de aplicación de una ley, de un concepto' extendiéndoio a un campo en el que no se habia definido' Lo que ocurre es que esta extensión debe hacerse comprobando su validez en la nueva situacion.

La falta de contexto, que, por otra parte, favorece el manejo de expresiones algebraicas, es un campo ábonado para la generalización sin lundamento. El alejamiento de la siiuación que ha originado una expresión permite. 49

.

normalmente. procesar mejor la información. pero dificulta la comprobación de la aplicabiiidad de una regla en un moÍtento dado. De esta forma, al manejar expresiones algebraicas, es habitual encontrar razonamientos de transfcrencia, mediante ios cuales se considera que lo que es válido para un caso particuiar 10 es también para otro. Así, es frecuente que se generaiice una regla en virtud de la similitud de una forma nueva con respecto a aquéila para la que se defrnió. La estructura (a'b)2 - a2'b2 en la que se conmutan el producto y la potencia se extiende fácilmente al caso de la suma (a + b)2 : 02 + b2 de un modo inconsciente, «natural», con absoluta seguridad, a veces incluso después de que se cuestione por otra pcrsona. De la misma forma que con las potencias sucede con las raices: la

conniütatividad con el producto: g;

- uh -

JTb :

\r,

+

b)2

: a2 + h2 ejercen una influencia

«similares». Por otra parte los fascinante que da «iegitimidad>> a operaciones en «evidencias» subjetiestán basados .iit.rio, de validación de los alumnos de las expresioy la simplicidad 1a forma vas entre las que no están ausentes aceptar una de hora la a que supone influencia la nes, por no hablar de alternati'a. hipótesis ninguna de ese momento en disponer extánsion el no siguientes: los son frecuencia cierta con presentan que se casos otros

I :

1

::>.{

: 3

seextiendea

Y, anáiogamente Ia distributividad del producto respecto de ia suma: a'(b + c) : a'b + o'c se extiende a los casos de producto: a'(.b'c):

: a'b'a'c.

a

2o+b

-

-t-

1a

b

'2b

+ b) : 2a + 2b 2{a + h) : 2a + 2b 2(a

a't

a

se extiende a

aua h+c

Aquísehaaplicadounapropiedadaunasituaciónmáscompleja'repi-

de dividii ambos términos de la fracción por un mismo número en segundo), y que no es válida en algunas ocasiones' Hay otras situaciones, como:

se extiende a

¡a.h

1¿ ,

se extiende a

1o+b

10 , th

se extiende a

1d+b

1a '

1b

1¡l

a+x b+x

ó

-

c

el

.x-1:0

(x-1)(x-s):0

b

Estos errores pueden ser debidos a otras causas, pero parecen obedecer sobre todo a la indeterminación del ámbito de deñnición de la propiedad correspondiente y a su f¿rlta de fundamentación en el alumno (M. Matz). En muchos casos es una simple regla que se usa sin tener conciencia de su significado, aunque en algún momento se haya conocido. Necesidades de manipulación hacen olvidar en seguida el sentido de las reglas y expresiones, por lo que es quizá inevirable que se lleve ia regia a territorios en los que no tiene jurisdicción. Con esto no debe entenderse que todos los errores son debidos a un abuso de generaiización. pero es fácii encontrar en casi todos cllos reflejos de otras crpresiones que producen interferencias. 50

3

que se puede tiendo la op.r""ión en cada caso, sin obser'ar Ia razón por la y posibilidad hacer (la igualdad de las expresiones inversas en el primero la

Otros casos frecuentcs son:

a*b c('c

1--" +2:3

:.::

tn extiende a la sunta;

"ñ' ",6, crror sc hatr ensav¡do (lator¡rlL de estc Para el tratamiento " -T vr'. i,. ¡ald!¡

" formas, utilizando inateriales diferentes. La conclusión es que. si distintas bien en ese momento se evita de forma significativa, después de algün ticmpo tiene más fuerza el recuerdo de la generalización y vuelve a aparecer eI error. \

Las formas tales como (a

-\-J-W

en ia que se generaliza a los casos de igualdad de

un producto de binomios

cualesquiera:

(.x*1)("r-5) :12

¡-l:12 -

*

ó

< - l?

El problema aquí consiste en no haber observado ei papel esencial que : cumple el cero, ., él qu. está basada la descomposición de t' - 1)i-l - 2) el es éste Y números. 0 err dos ecuaciones, y que no es transÍerible a otros y caso un de propio que es asunto central de ia generalización: encontrar 1o todos. para y distinguirlo de 1o que es común váiido Una posible foima de abordar estos errores podría ser el.planteamiento de una situación de conflicto con valores concretos dc ias variables, que deje

en evidencia la falta de consistencia de esas reglas en la nueva situación, y que abra el camino a un estudio de las razones en las que se basa la regla 1" 51

en consecuencia, a un conocimiento más profundo del concepto que expresan y de las iimitaciones de su funcionamiento. Estos errores suelen ser muy persistentes y exigen mucha paciencia por parte del profesor, que debe esforzarse sobre todo en ayudar a l,os alumnos a analízar sus propias concepciones, v modificarlas, haciendo propias las nuevas.

2.6.

EN{PEZAR PRONTO A GENERALIZAR

La gran variedad en la forma en que se presentan las situaciones que se pretende generalizar, así como Ia mayor o menor complejidad de las relaciones implicadas, permiten tratar la generaiización desde muy pronto. El trabajo temprano con actividades encaminadas a expresar 1o genéral, utilizando distintas vías, favorece en gran medida el proceso posterioi de simbolización

y manipulación de expresiones simbólicas.

se ha visto en Ias páginas anteriores cómo en las actividades de generaiizacion se pueden separar los aspectos reiacionados con la percepcián de lo general, Ios de descripción verbal y los de expresión escrita, y deniro de éstos ios de la expresión formal. Esta separación permite, .n .uáu caso, aicanzar una fase distinta y un grado de rigor adecuado a Ia edad y experiencia de Ios alumnos.

Algunas actividades que se han comentado más arriba se pueden proponer a niños de Ios primeros cursos modificando el tipo y grado de Ia petición. Otras podrian ser las que siguen. La tira

Si sabes las que has puesto de un color, ¿cómo puedes averiguar cuántas

hay del otro color?

La variedad de situaciones en las que se proponga la percepción de lo general es otro factor que debe estar presente. Se pueden proponer problemas en los que la situación se expresa verbaimente, a través de dibujos o diagramas, mediante la manipulación de objetos, a través de los números que se indican directamente o como resultados de operaciones con calculadora, o mediante la combinación de alguna o varias de estas formas. La riqueza en la experiencia de los alumnos con actividades de generalización puede permitir un acercamiento más natural al concepto de variabie, y por ello una aproximación a un álgebra más signihcativa.

2.7. EL CONCEPTO DE YARIABLEEl concepto de variable se encuentra en la base de muchas situacio¡es algebraicas aunque a veces no se observe de forma explícita. Esta circunstancia y el hecho de que con la variable se traten alavez conjuntos de valores soll causa de muchas dillcultades. El estudio de la generalización puede ayudar a resolver algunos de estos problemas. En ei proceso de generalización se está tratando con variables.

pues intentar hailar el término general de una sucesión de figuras o de números es una manera de abordar una variable: el lugar de orden es la variable independiente y los casos párticulares pueden interpretarse como valores de la variable. Estos casos particulares, al estudiarse, permiten encontrar propiedades comunes y pautas que pueden conducir a la expresión

general.

Este proceso de análisis y síntesis se puede desarrollar en las tres lases descritas anteriormente: ver, decir y registrar. En é1, ia variable se estudia en un sentido ascendente. de io particular a 1o general:

.

¿cómo

se puede

de piezas oscuras?

averiguar el número de piezas claras sabiendo el número

-l T-:----I h.xpreslon I general I

La tore Construye con policubos -largas que quieras.

I

de dos colores tiras como ésta, pero todo lo

1

I

.uro, | particulares

I 52

I

I

53

hr

u horizontal, de lo particular a lo particular (de los casos particulares que conocen al caso particular que se busca):

Por lo tanto, los trcs procesos pueden relacionarse

se

Caso particular buscado

za el tratamiento de la variable. Ei scntido descendente. de lo general a ro particular, suele aparecer en

contextos diferentes, por e.¡emplo, cn problemas en los que se deúe hallar el valor que debe tomar r en la expresión 5 + .r : 11 o la gráfica de ,

5r + 3:,r.(capítulo

l).

I

I

fI *'"t

particulares

y permite realizar un trabajo con conjuntos de datos, que es lo que caracteri-

f .-..*¡ eeneral

r-----:l general I

I

asi;

I

J

Valor(es) de la(s) variable(s) que cumpte(n) la(s) condiciones

f rra..' "l la variable I

I

La generalización contribuye al aprendizaje del concepto de variable. Hay otras situaciones que lambién avudan a este concepto. especialmente aquóllas en las que se ve una variación y, mejor aún, cuando es el propio aiumno el que produce esa variación. En el problema:

En una tienda hemos comprado lápices de colores, y para pagarlos hemos entregado un billete dc 1.000. Si nos hai, devuello 146 ptas..;,cuánto ba costado ciida lápiz?

t****l ta variaute

I --T-

I

I Vaior(es) de la variable que cumplen ias condiciones

o bien, en problemas en los que haya expresiones simbólicas, x ó ],, que _no tomen vaiores, como ocurre en aigunos de los ejemplos que se incluyen aigo más adelante en este mismo epígrafe (lápices dá coiores y caja sin ápa¡.

Valorles) de la va¡iable que cumplen las condiciones 54

Tal como está planteado puede ser desconcertante. Es probable que si no se tiene costumLrre de organizar l¿r información, el intento de resolución se

limite a una lucha por adivinar qué letras hay que utilizar para ilegar a saber cuántos lápices se han comprado y el precio de cada lápiz. Se trata de una situación abierta en Ia que el propio alumno debe tomar decisiones, debe producir la variación, describiendo la variable adecuada y conduciendo la selección de valores al objetivo que se pretende.

A

continuación, se verán algunas situaciones que pueden lacilitar la

observación 1' la producción por los aiumnos de la variación, en las que se proporcionan apoyos concrctos, para asi hacer posible la construcción del concepto de variable. Este es el caso de las tablas, las gráficas y las fórmuias conocidas por los aiumnos. Las tablas de datos permiten analizar cómo varian conjuntos de números, v presentan ventajas en varios sentidos. Si ha sido el propio alumno el que ha obtenido los datos representados en la tabla, la relación entre las magnitudes y ia variabilidad_(posibiiidad de variación) se le presenta como algo muy próximo, muy concreto, con las ventajas que esto lleva consigo. Pero, sobre todo, la tabla permite trabajar a la yez cón varios datos. Por último, permite colocar y manejar los datos de forma no ordenada. Io que tiene importancia en los nireles más bajos de enseñanza, donde la forma de proceder de los alumnos es más espontánea que sistemática. 55

Se incluyen a continuación algunas situaciones en las que la organización de los datos en tablas de valores ayuda a acercarse a la idea de variable.

se recorta), lleva a las ideas de variabilidad, restricciones que puede tener la

variable. rango. etc.

Se verá una última situación en la que también se pueden encontrar

María necesita alquilar un coche de jueves a domingo y lee en el periódico el siguiente anuncio que responde a sus erpectativas:

restricciones a la variación de la variable:

En la colonización del Oeste Americano se utilizaba el siguiente procedimiento para la distribución de tierras: todos los colonos podian quedarse con el terreno que fueran capaces de cercar con 3000 metros de alambrada. ¿Cuál es el mayor terreno que se puede cercar si todas las parcelas tienen que tener forma rectangular? Algunas personas se dieron cuenta de que era mejor buscar tierras al iado de los ríos. Además de tener agua se ahorraban uno de los lados de ia valla. ¿Cómo se modifica ahora el problema?

¡Alquile su utilitario escogiendo Vd. la tarifa! TrRln¿ A: 5.770 ptas.

TeRr¡

al día, más kilometraje. A 47 ptas. el kilómetro,

B:

10.430 ptas. al día. Kilometraje ilimitado. ¿Qué deberá tener en cuenta María para poder elegir?

Enfrentarse a este problema sin utilizar símbolos lleva a estudiar las distintas situaciones que se pueden dar, y que corresponden a distintos

proyectos de viaje, valorando en cada caso, qué interesa más. Dentro de este estudio, se puede plantear la búsqueda del número de kilómetros a partir del cuái interesa una u otra tarifa, si se alquila los cuat¡o días, o el mismo problema. alquilando distinto número de dias, pero partiendo siempre de los posibles proyectos que han aparecido en clase. Otra situación similar se plantea en el problema ya clásico de la caja sin tapa:

A partir de un trozo rectangular de papel. constru,ve una caja sin tapa. cortando cuadrados iguales en las esquinas. Comprueba si hay cortes que prociucen un volumen determinado. ¿Qué lon_eitud del lado del cuadrado cortado produce el máximo volumen? ¿Hay cortes diferentes que produzcan el mismo volumen para la caja? Justifica los resultados que obtengas. (Para hacerlo, utiliza papel. tijeras, pegamento...)

La resoiución de €ste probiema requiere un proceso de búsqueda y manejo del conjunto de datos, que se obtienen al probar con distintos

tamaños del cuadrado recortado, organizándolos en una tabla. La situación puede enriquecerse, además, probando con distintos tamaños del rectángulo de partida. En este caso, aparte de la utilidad del trabajo con tablas que se está comentando, se da la circunstancia añadida de que los datos se obtienen (si se plantea así) manipulando objetos reaies (el papei); el cambio de tamaño se puede visualizar y, en consecuencia, el alumno «ve» la variación de Ia variable. La necesidad, además, de tomar la decisión inicial en cada corte sobre el tamaño del cuadrado recortado (o del valor asignado al lado, si no 56

.

En este caso también las dirnensiones del-ceicldó que da una superficie mayor se obtienen con iacilidad a tra\'ós de una tabla, si bien aquí la construcción de la tabla con dos variables que tienden a hacer los alumnos, puede complicar en cierta medida su lectura. La tabla:

supone el tratamiento de dos relaciones simuitáneas y de variables ...