Ilustracion integracion fracciones parciales 1 calculo diferencial e integral para administracion financiera 2014 2 PDF

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Problemas resueltos de ilustración de Cálculo Diferencial e Integral....

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MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN FINANCIERA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ILUSTRACIÓN INTEGRACIÓN FRACCIONES PARCIALES 1 Manizales, 19 de noviembre de 2014 Solucione la siguiente integral: 3

x − 8 x2 − 1  ( x + 3) ( x2 − 4 x + 5) dx

Observando el argumento de la integral, se tiene una función racional de numerador y denominador polinomios. Por lo anterior se concluye que la expresión racional se puede procesar por fracciones parciales. Para aplicar directamente el procedimiento de fracciones parciales, se debe tener el grado del numerador menor que el grado del denominador. Se observa que tanto el numerador como el denominador son de grado 3, por lo anterior y con el objeto de reducir el grado del numerador, se deberá realizar la división algebraica de los términos.

−4x x +5x −12x −7x

x2 x3 x3

x3 − x3

−4x 2 3x 2 − x2

−8x 2 + x 2 +7x −7x2 +7x

−1 −15 −16

x3 1

− x2

+5 +3 +15 +15

−7x

+15

Con base en la operación algebraica anterior, se podrá escribir de otra forma el argumento de la integral:

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ADMINISTRACIÓN FINANCIERA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ILUSTRACIÓN INTEGRACIÓN FRACCIONES PARCIALES 1 Manizales, 19 de noviembre de 2014

x3 − 8 x2 − 1  ( x + 3) x2 − 4x + 5 dx =

(

)

 −7 x 2 + 7 x − 16 =  1 +  ( x + 3) x2 − 4 x + 5 

(

)

  dx =  

 −7 x 2 + 7 x − 16   dx =  (1) dx +   2  ( x + 3) x − 4x + 5     − 7 x 2 + 7 x − 16  x3 − 8x 2 − 1  ( x + 3) ( x 2 − 4 x + 5) dx =  (1) dx +   ( x + 3) ( x 2 − 4x + 5)  dx  

(

)

Solucionare cada integral de forma individual:

 (1) dx = x + C

1

La segunda integral la deberé procesar por fracciones parciales:

 −7 x 2 + 7 x − 16    ( x + 3) x2 − 4 x + 5  dx   −7 x 2 + 7 x −16 A Bx + C = + 2 2 + x 3 ) ( x − 4 x + 5) ( x + 3) ( x − 4 x + 5) (

(

−7 x + 7 x −16 = 2 ( x + 3) x − 4 x + 5 2

(

)

(

)

) ( x + 3) ( x

A x 2 − 4 x + 5 + ( Bx + C )( x + 3 )

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2

)

− 4x + 5

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−7 x2 + 7 x −16 Ax2 − 4 Ax + 5 A + Bx2 + Cx + 3 Bx + 3C = 2 ( x + 3) ( x − 4x + 5) ( x + 3) ( x 2 − 4x + 5)

x 2 ( A + B ) + x ( −4 A + C + 3B ) + (5 A + 3C ) −7 x 2 + 7 x −16 = 2 ( x + 3) x − 4x + 5 ( x + 3) x 2 − 4 x + 5

(

)

(

)

Para que la anterior igualdad se cumpla, a nivel de funciones racionales, deberán ser iguales los numeradores y los denominadores. Con base en la aseveración, podre igualar los coeficientes de los numeradores de ambas funciones:

 A + B = −7  − 4 A + C + 3B = 7  5A + 3C = − 16  Solucionando este sistema de ecuaciones por el método de Gausss Jordan:

 1 1 0 −7    4 f1 + f 2 → f 2  − 4 3 1 7  − 5f + f → f 1 3 3  5 0 3 −16   

 1 1 0 −7   1 − 0 7 1 21   7 f2 → f2  0 −5 3 19    1 1 0 −7    − f 2 + f1 → f1  0 1 1 7 −3  5 f + f → f 3 3  0 −5 3 19  2   Página 3 de 7

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 1 0 −1 7 −4    7 − 0 1 1 7 3   26 f 3 → f 3  0 0 26 7 4     1 0 −1 7 −4  1 f + f → f 1 1   7 3  0 1 1 7 −3  1 0 0 1 14 13 − f3 + f2 → f2  7  1 0 0 − 50 13 A = − 50 13   − 0 1 0 41 13   → B = − 41 13  0 0 1 14 13  C = 14 13   −7 x 2 + 7 x −16 −50 13 −41 13 x + 14 13 = + 2 x 2 − 4x + 5 ( x + 3) x − 4 x + 5 ( x + 3)

(

)

(

)

−7 x 2 + 7 x − 16

− 50 13 − 41 13 x + 14 13  ( x + 3) ( x2 − 4 x + 5) dx =  ( x + 3) dx +  ( x2 − 4 x + 5) dx Para la realización de los cálculos de una forma ordenada, solucionare cada una de las integrales de forma individual.

u = x + 3 50 1 −50 13  ( x + 3) dx = − 13  ( x + 3) dx  du = dx Reemplazando la sustitución:

−

50 1 50 ln u + C2 = − du  13 u 13 Página 4 de 7

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ADMINISTRACIÓN FINANCIERA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ILUSTRACIÓN INTEGRACIÓN FRACCIONES PARCIALES 1 Manizales, 19 de noviembre de 2014 Realizando la sustitución hacia atrás:

−50 13 50 dx = − ln x + 3 + C2  ( x + 3) 13 −41 13 x + 14 13 − 41 13 x 14 13 = + dx dx  ( x2 − 4x + 5)  ( x2 − 4x + 5)  ( x2 − 4x + 5) dx Aparecen dos nuevas integrales, realizo completar cuadrados del denominador: 2 2 2

x − 4 x + 5 = x − 4 x + 5 −1 +1 = ( x − 2 ) +1

x 41 14 1 −41 13 x + 14 13 dx dx dx = − + 2 2  x2 − 4x + 5   13 ( x − 2) + 1 13 ( x − 2) + 1

(

)

Solucionando la primera de dos integrales:

u = x − 2 x  dx  ( x − 2 )2 + 1  x = u + 2  du = dx  1 x u+2 u 2 dx dx dx = = +  ( x − 2 )2 + 1  u 2 + 1  u 2 + 1  u 2 + 1 dx Resolviendo individualmente estas dos nuevas integrales:

 v = u2 + 1 u  dx  u 2 + 1 dv = 2udu → du = dv 2u  Reemplazando la sustitución:

u u dv 1 1 1 = = = dx dv ln v + C3  u 2 + 1  v 2u 2  v 2 Página 5 de 7

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u 1 2 dx ln u = + 1 + C3  u2 +1 2 1  u 2 +1 dx = arctan u + C4 u+ 2 1 2 ln = + 1 + 2 arctan u + C5 dx u  u 2 +1 2 Haciendo la sustitución hacia atrás de u:

x

 ( x − 2)

2

+1

dx =

1 2 ln ( x − 2) + 1 + 2 arctan ( x − 2) + C5 2

Solucionando la segunda de dos integrales:

u = x − 2 dx  ( x − 2 )2 + 1  du = dx 1 1  ( x − 2 ) 2 +1 dx =  u 2 +1 du = arctan u + C6 1

Haciendo la sustitución hacia atrás de u:

1

 ( x − 2)

2

+1

dx = arctan ( x − 2 ) + C 6

Concluyendo con el problema:

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x3 − 8x 2 −1 50 = + − dx x C ln x + 3 + C 2 − 1  ( x + 3) x 2 − 4 x + 5 13

(

)

41  1 2  x x C ln 2 1 2 arctan 2 − + + − + ( ) ( )  5 + 13  2  14 + ( arctan ( x − 2 ) + C6 ) 13 50 41 x3 − 8 x2 − 1 2 dx x x x ln 3 ln 2 = − + − − +1 − ( )  ( x + 3) ( x 2 − 4 x + 5) 13 26 −

−

82 14 arctan ( x − 2 ) + arctan ( x − 2 ) + C 13 13

x3 − 8x 2 − 1 50 41 2 ln 3 ln 2 = − + − − dx x x x ( ) +1 −  ( x + 3) ( x 2 − 4 x + 5) 13 26 −

68 arctan ( x − 2) + C 13

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