Informe previo 1, Laboratorio de Telecomunicaciones PDF

Preview

Summary

INFORME DE LABORATORIO DESISTEMA DE COMUNICACIONES I –EE 430UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICADOCENTE: ING. VIRGINIA ROMERO F.ALUMNO: Tesén Romero Jose FernandoCICLO: 6°ESPECIALIDAD: L2021-Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicacione...

Description

INFORME DE LABORATORIO DE SISTEMA DE COMUNICACIONES I – EE 430

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

DOCENTE: ING. VIRGINIA ROMERO F. ALUMNO: Tesén Romero Jose Fernando CICLO: 6° ESPECIALIDAD: L3

2021-1

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________

INFORME PREVIO N° 1

SIMULACIÓN DE LA SERIE DE FOURIER MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB Docente: Ing. Virginia Romero Fuentes Alumno: Tesén Romero Jose Fernando Email alumno: [email protected]

_____________________________________________________________________________________________ I.

OBJETIVO Esta experiencia de laboratorio tiene como finalidad hallar gráficamente la aproximación de una onda por medio de la sumatoria de “n términos” de la serie de Fourier.

II.

INTRODUCCION ¿Qué es una serie de Fourier? Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente auna función peródica y continua a trozos(o por partes). La forma de la serie de Fourier es:

Donde ao, an, y bn se dennominan coeficientes de Fourier que toma valores de:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

1

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________

Forma compacta:

Donde:

Forma exponencial o compleja:

Donde:

¿Qué son espectros de frecuencia? Son gráficas que especifican la función periódica en el dominio de la frecuencia. Espectro de amplitud: La gráfica de la magnitud de coeficientes complejos c n (|c n|) versus la frecuencia angular ωn = nωo. Espectro de fase: La gráfica del ángulo de fase ϕn de cn (|cn|) versus la frecuencia angular ωn. ¿En qué áreas de aplicación podemos encontrarlas?  Generación de ondas de corriente o tensión por medio de la superposición de sinusoides generadas por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.  Análisis en el comportamiento armónico de una señal.  Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en la teoría de la transmisión de calor, la teoría de placas, etc.  Optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

2

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________  

Procesamiento de imágenes y señales. Compresión de datos.

III. RESPUESTAS A PREGUNTAS 1. ¿La función seno y coseno son funciones periódicas? Anteriormente, usábamos la variable ϴ para mostrar un ángulo en la posición estándar, y también nos referimos a las funciones seno y coseno como y=sen(ϴ) y y=cos(ϴ) respectivamente. Normalmente las funciones seno y coseno se usan en aplicaciones que no tienen nada que ver con triángulos o ángulos, y usamos ϴ en lugar de x para la entrada(así como para etiquetar al eje horizontal). Sabemos que las gráficas de las funciones seno y coseno tienen un patrón de lomas y valles que se repiten. La longitud de este patrón es 2π. Esto es, la gráfica de y=sen(ϴ) o y=cos(ϴ) en el intervalo [0;2π] se parece a la gráfica en el intervalo [2π; 4π] o [4π;6π] o [-2π; 0]. El patrón continúa infinitamente en ambas direcciones. La gráfica siguiente muestra cuatro repeticiones del patrón de longitud 2π. Cada una contiene exactamente una copia completa del patrón “loma y valle”.

Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o coseno, se llama función periódica. El periodo es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. Entonces el periodo de y=sen(ϴ) y y=cos(ϴ) es 2π. 2. Detallar: a) Las propiedades de los coeficientes par o impar de Fourier Sea f y g funciones par y h y u funciones impar, entonces: 

El producto de f * g da como resultado una función par.



El producto de h * u da como resultado una función par.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

3

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________ 

Los productos de funciones par e impar (ejemplo: f * h o f * u o g * h o g * u) da como resultado una función impar.



f ± g es par.



h ± u es impar.



∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, ( f es función par).



∫−𝑎 ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = 0, (h es función impar).

𝑎

𝑎

𝑎

b) Identidad de Parseval Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a lasseries de Fourier, tnato en forma compleja como real. Forma compleja (o exponencial):

Forma real (o trigonométrica):

Siento T el periodo y cn, an, b n los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. c) Relación entre coeficientes de Fourier y su derivada Fourier se planteó, entr otros, desarrollos del tipo: ∞

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑛=1

Para funciones 𝑓 que en principio supuso que eran impares y desarrollables en series de potencias y para valores de la variable x comprendidos entre 0 y π. Su objetivo era lograr una fórmula parael cálculo de los coeficientes 𝑓𝑛 , n ∈ N que permitiese afirmar que la anterior ecuación es verdad. Como 𝑓 es impar, las derivadas de orden par de 𝑓 en el origen son cero, es decir 𝑓 (2𝑘 )(0) = 0, ∀ 𝑘 ∈ N ∪ {0} . Por tanto: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

4

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________ ∞

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑛=0

𝑓 (2𝑛+1) (0) 2𝑛+1 𝑥 (2𝑛 + 1)!

Los razonamientos de Fourier son similares para obtener los coeficientes 𝑓𝑛 , obteniendo: 2 𝜋 𝑓𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁. 𝜋 0 3. Explicar detalladamente las condiciones de DIRICHLET Las condicione que una determinada función f(x) debe cumplirpara poder ser respresentada como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones de Dirichlet, las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos: a) La función f(t) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. b) La función f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo. c) La integral del valor absoluto de f(t) en un periodo es finita, es decir, 𝑇⁄

∫−𝑇⁄2 |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 = finita. 2

4. Explicar el fenómeno de Gibbs Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama Fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto, las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas. Este fenómeno fue observado por el físico experimental Albert Michelson, quien en 1898 costruyó una máquina para sumar series de Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las funciones siempre aparecían saltos, que no se hacían pequeños por mucho que se aumentara el número de sumandos de la serie. El fenómeno fue explicado en 1899 por J. Williard Gibbs, y puede cuantificarse con precisión. Aquí tan solo ilustramos el fenómeno considerando la función que vale 1 entre 0 y 𝜋, y -1 entre - 𝜋 y 0. Las sumas parciales de la serie de Fourier de esta función son: 𝑛

4 𝑠𝑒𝑛(2𝑘 − 1)𝑥 ∑ 2𝑘 − 1 𝜋 𝑘=1

El fenómeno de gibbs para una onda cuadrática será: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

5

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________

5. Desarrolle analíticamente el espectro de frecuencias para la función asignado a su grupo Suponiendo una señal cuadrada impar de amplitud 20Vpp, periodo 20ms, duración 5ms. Por lo tanto, el espectro de frecuencias será:

Gráfica 1: Espectro de frecuencia representado mediante el programa Octave _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

6

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________ IV.

DATA SHEET Y HOJA DE DATOS Para esta experiencia de laboratorio, el Data sheet no será considerado.

V.

EQUIPOS Y MATERIALES 

Laptop Asus modelo X507U (Procesador intel® Core(TM) i5-8250U



Software Octave-6.2.0 (Windows 64 bits)



Acceso a internet



Cámara fotográfica (de celular Poco X3 NFC)



Guía de laboratorio

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

7

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________

VI.

DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA 1. Haciendo uso del software MATLAB u Octave, elabore un programa que permita realizar lo siguiente: a) Dada una función del tiempo, el programa debe permitir visualizar en pantalla la gráfica real. b) Desarrolle analíticamente el espectro de frecuencias para la señal asignada. c) Con el uso de la Serie de Fourier, el programa nos debe permitir visualizar las diferentes aproximaciones, dependiendo de “n”, a la gráfica real. d) Para permitir realizar el paso c), el programa debe solicitar:  La ecuación característica del termino ao.  La ecuación de los términos an.  La ecuación correspondiente a los bn.  En el programa, simule la onda asignada para diferentes valores de n.  Visualice los cambios, si realizamos variaciones en los parámetros de la función; amplitud, periodo, duración del pulso.  Capture la imagen de las gráficas mas significativasanotando el valor de n. 2. Para cada grupo de trabajo se le asignará una función, en nuestro caso: GRUPO

FUNCION

6

Pulso cuadrado impar: amplitud 20 Vpp, periodo 2 ms.

VII. SIMULACIÓN 

Algoritmo

>> n=50; >> hold on >> x=[-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2]; >> y=[0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0]; _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

8

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________ >> plot(5*x,5*y,'b','linewidth',1.5); >> x=linspace(-1,1,100); >> y=zeros(length(x),1); >> for i=1:length(x) y(i)=0; for k=1:2:n y(i)=(y(i)-4*sin(k*pi*x(i))/(k*pi)); end end >> plot(5*x,5*y,'r'); >> title(sprintf('Aproximacion de Fourier: %i terminos',n)) >> xlabel('t'); >> ylabel('f(t)') >> grid on >> hold off



Capturas

Figura 1: Captura de pantalla de la simulación de la señal pedida en Octave

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

9

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones ______________________________________________________________________

VIII. BIBLIOGRAFÍA

IX.

 

Análisis de Fourier – Hwei P. Hsu https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier#Formulaciones



http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/integracion/fourier/fourier.ht m



http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/ondas/fourier/fourier.html

FECHA Lima, 11/05/2021

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ing. Virginia Romero F.

UNI – FIEE

10...