Integral Ganda(Double Integrals) PDF

Preview

Summary

PENYELESAIAN TUGAS 4 MATEMATIKA II (TKE-100) INTEGRAL GANDA/LIPAT DUA (DOUBLE INTEGRALS) Dosen Pengampu: Ir. Bonar Sirait, M.Sc, IPM Fitriah, S.T., M.T JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2021 MATEMATIKA II (TKE-100) PENYELESAIAN TUGAS 4_INTEGRAL GANDA Hitung Int...

Description

PENYELESAIAN TUGAS 4 MATEMATIKA II (TKE-100) INTEGRAL GANDA/LIPAT DUA (DOUBLE INTEGRALS)

Dosen Pengampu: Ir. Bonar Sirait, M.Sc, IPM Fitriah, S.T., M.T

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2021

MATEMATIKA II (TKE-100) PENYELESAIAN TUGAS 4_INTEGRAL GANDA

Hitung Integral berikut: 2

3

1. a) ∫ ∫ (𝑥 2 + √𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1

0

2

4

b) ∫ ∫ 𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

1

2. Tentukan ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 jika: 𝐷

a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 2,dan y = 2x b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan y = x2

3. Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. 𝑎) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥} b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x = 1, x = 3, dan y = x + 3.

4. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9x 2 + 4y 2 − 36 = 0 dan bidang 9x + 4y − 6z = 0.

5. Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2x + y + 2z − 4 = 0 dengan bidang koordinat.

3

3𝑦 3

6. ∫ ∫ 𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1

−𝑦

𝜋 sin 𝑥 2

7. ∫ ∫ 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1

0 2

8. ∫ ∫ 0

0

𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 + 1

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

2

𝜋 𝜋 2 2

9. ∫ ∫ sin(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

0 1

1 2

10. ∫ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 4

𝑥 1 3

11. ∫ ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

2

√𝑦 √4−𝑥 2

∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

12. ∫ 0

0

𝜋 cos 𝑥 2

13. ∫ ∫ 𝑦 sin 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

0

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

3

PENYELESAIAN

2

3

1. a) ∫ ∫ (𝑥 2 + √𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1

0

Jawab: 2

3

2

𝑥3 3 ∫ ∫ (𝑥 + √𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ([ + 𝑥 √𝑦] ) 𝑑𝑦 0 3 1 0 1 2

2 33 03 = ∫ [( + 3√𝑦) − ( + (0)√𝑦)] 𝑑𝑦 3 3 1 2

=∫ [ 1

27 + 3√𝑦] 𝑑𝑦 3

2

1

= ∫ [9 + 3𝑦 2 ] 𝑑𝑦 1 3

2 (3𝑦 2 ) 2 = [9𝑦 + ] 1 3 2 = [9𝑦 + 2𝑦√𝑦] 1 = 9(2) + 2(2)√(2) − (9(1) + 2(1)√(1)) = 18 + 4√2 − 11 = 𝟕 + 𝟒√𝟐 2

4

b) ∫ ∫ 𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

1

Jawab: 2 4 2 𝑥𝑦 3 4 ∫ ∫ 𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ([ ] ) 𝑑𝑥 3 1 0 1 0 2

𝑥(4)3 𝑥(1)3 =∫ [ −( )] 𝑑𝑥 3 3 0 2

=∫ [ 1

2 63𝑥 ] 𝑑𝑥 = ∫ 21𝑥 𝑑𝑥 3 1

21𝑥 2 2 =[ ] 2 0 21(2)2 21(0)2 = − = 𝟒𝟐 2 2 MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

4

2. Tentukan ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 jika: 𝐷

a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 2, dan y = 2x. Jawab: 2 2𝑥

𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥} → ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷

0 0

2 2𝑥

∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷

0 0 2

𝑦 2 2𝑥 = ∫ [ 𝑥] 𝑑𝑥 0 2 0

2

(2𝑥)2 02 = ∫[ 𝑥 − 𝑥] 𝑑𝑥 2 2 0 2

= ∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 0

=[

2𝑥 4 2 2(2)4 2(0)4 ] =[ − ]=𝟖 4 0 4 4

b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan y = x 2 Jawab: 1

𝑥

𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥} → ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 𝑥2

𝐷 1

𝑥

∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷

0 𝑥2 1

𝑥𝑦 2 𝑥 = ∫[ ] 2 𝑑𝑥 2 𝑥 0 1

1

𝑥(𝑥)2 𝑥(𝑥 2 )2 𝑥3 𝑥5 = ∫[ − ] 𝑑𝑥 = ∫ − 𝑑𝑥 2 2 2 2 0

𝑥4 𝑥6 1 =[ − ] 8 12 0 (0)4 (0)6 14 16 =[ − −( − )] 8 12 8 12 3 2 𝟏 = − = 24 24 𝟐𝟒

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

0

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

5

3. Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. 𝑎) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥} Jawab: 4 √𝑥

∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷

0 𝑥 3

4

2𝑥 2 𝑥 2 4 = ∫(√𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥 = [ − ] 3 2 0 0

3

3

2(4)2 (4)2 2(0)2 (0)2 ) = − −( − 3 2 3 2 =

16 16 − 3 2

=

16 − 24 𝟖 =− 3 𝟑

Karena luas bersifat mutlak,jadi luasnya adalah 8/3

b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x = 1, x = 3, dan y = x + 3 Jawab: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 3} 3 𝑥+3

∬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷

1 0 3

= ∫(𝑥 + 3 − 0) 𝑑𝑥 1

=[

𝑥2 3 + 3𝑥] 1 2

=[

=

(3)2 (1)2 + 3(3) − ( + 3(1))] 2 2

27 7 20 − = = 𝟏𝟎 2 2 2

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

6

4. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9x 2 + 4y 2 − 36 = 0 dan bidang 9x + 4y − 6z = 0 Jawab: ➢ Titik potong permukaan 9x 2 + 4y 2 − 36 terhadap sumbu x → y = 0 9x 2 + 4(0)2 − 36 = 0 9x 2 = 36 → x = 2 ➢ Titik potong permukaan 9x 2 + 4y 2 − 36 terhadap sumbu y → x = 0 9(0)2 + 4y 2 − 36 = 0 4y 2 = 36 → 𝑦 = 3 ➢ 𝑓(𝑥, 𝑦) → 9𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 0 → 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =

9𝑥+4𝑦 6

➢ Untuk area S adalah daerah pada bidang xy, dimana persamaannya adalah: 9𝑥 + 4𝑦 − 6(0) = 0 4𝑦 = −9𝑥 𝑦= −

9𝑥 4

9𝑥 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ − 4 } −

2

9𝑥 4

𝑉=∫∫ 0 0

9𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6

2

9𝑥 1 = ∫ [ (9𝑥𝑦 + 2𝑦 2 )] − 4 𝑑𝑥 6 0 0 2

1 9𝑥 9𝑥 2 1 = ∫ [ (9𝑥 (− ) + 2 (− ) ) − (9𝑥(0) + 2(0)2 )] 𝑑𝑥 6 4 4 6 0

2

2

1 −81𝑥 2 162𝑥 2 1 −324 + 162 2 = ∫[ ( + ) − 0] 𝑑𝑥 = ∫ [ 𝑥 − 0] 𝑑𝑥 6 4 16 6 16 0

0

2

2

−162 2 27 2 27 𝑥 3 2 = ∫[ 𝑥 − 0] 𝑑𝑥 = ∫ [− 𝑥 ] 𝑑𝑥 = [− ( ) ] 0 96 16 16 3 0

= −

0

27 23 27 03 27 8 𝟗 ( )−0= − ( ) − (− ( )) = 16 3 16 3 16 3 𝟐

Karena luas bersifat mutlak,jadi luasnya adalah 9/2

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

7

5. Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2x + y + 2z − 4 = 0 dengan bidang koordinat. Jawab: 2x + y + 2z − 4 = 0 → z =

1 (4 − y − 2x) 2

Mencari volume benda z =

1 (4 − y − 2x) dan di atas daerah P 2

Bidang yang diberikan memotong bidang xy di garis 2x + y − 4 = 0. Persamaan ini dapat ditulis: 2x + y − 4 = 0 y = 4 − 2x

2x + y − 4 = 0 dan

1 x=2− y 2

Sehingga P dapat dinyatakan sebagai himpunan y ∶ P = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − 2x}. Atau P dapat dinyatakan sebagai himpunan x ∶ 1 P = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ x ≤ 2 − 2 y, 0 ≤ y ≤ 4}. Apabila P dapat dinyatakan sebagai himpunan y ∶ 2 4−2𝑥

𝑉=∫ ∫ 0

2

0

1 (4 − y − 2x) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2

1 y2 4 − 2𝑥 = ∫ [ (4y − − 2xy)] 𝑑𝑥 0 2 2 0

2

(4 − 2𝑥)2 (0)2 1 1 = ∫ [ (4(4 − 2𝑥) − − 2x(4 − 2𝑥)) − (4(0) − − 2x(0))] 𝑑𝑥 2 2 2 2 0

2

1 16 − 16𝑥 + 4𝑥 2 1 = ∫ [ (16 − 8x − − 8𝑥 + 4𝑥 2 ) − (0)] 𝑑𝑥 2 2 2 0

2

= ∫[4 − 4𝑥 + 𝑥 2 ] 𝑑𝑥 = [4𝑥 − 2𝑥 2 + 0

= 8−8+ =

(2)3 𝑥3 2 ] = 4(2) − 2(2)2 + − (0) 3 0 3

8 3

𝟖 𝟑

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

8

3𝑦

3

3

6. ∫ ∫ 𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1

−𝑦

Jawab: 3

3𝑦

3 3 (3𝑦)2 (−𝑦)2 𝑦 3 𝑥 2 3 3𝑦 3 3 ∫ ∫ 𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ([ 𝑒 𝑦 ] ) 𝑑𝑦 = ∫ [ 𝑒𝑦 − 𝑒 ] 𝑑𝑦 −𝑦 2 2 2 1 1 1 −𝑦

3

3

= ∫ [𝑒 𝑦 ( 1

3 9𝑦 2 𝑦 2 3 − )] 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑦 (4𝑦 2 ) 𝑑𝑦 2 2 1

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙: 𝑢 = 𝑦 3 𝑑𝑢 = 3𝑦 2 𝑑𝑦 4 𝑑𝑢 = 3𝑦 2 𝑑𝑦 3 3

3

4 4𝑒 𝑢 3 4𝑒 𝑦 3 = ∫ 𝑒 𝑑𝑢 = [ ] = [ ] 3 3 1 3 1 1 𝑢

3

3

4𝑒 3 4𝑒 1 4𝑒 27 − 4𝑒 = − = 3 3 3 𝟒(𝒆𝟐𝟕 − 𝒆) 𝟑

=

𝜋 sin 𝑥 2

7. ∫ ∫ 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

0

Jawab: 𝜋 sin 𝑥 2

𝜋 2

∫ ∫ 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ([ 0

0

0

𝑦2 sin 𝑥 cos 𝑥] ) 𝑑𝑥 0 2

𝜋 2

(sin 𝑥)2 02 = ∫ [ cos 𝑥 − cos 𝑥] 𝑑𝑥 2 2 0 = ∫

𝜋 2 (sin 𝑥)2 cos 𝑥

0

2

𝑑𝑥

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙: 𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

9

= ∫

𝜋 21

0

2

𝑢2 𝑑𝑢

𝜋 𝑢3 = [ ]2 6 0 𝜋 sin3 𝑥 = [ ]2 6 0 𝜋 sin3 ( 2 )

=

6

−

sin3 (0) 6

13 03 = − 6 6 𝟏 𝟔

=

2

1

8. ∫ ∫ 0

0

𝑥2

𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +1

Jawab: 1

2

2

1 𝑦 1 ∫ ∫ 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 +1 𝑥 +1 0 0 0

0

1 1 𝑦2 2 ) ] ) 𝑑𝑥 = ∫ ([( 2 𝑥 +1 2 0 0 1

= ∫ [( 0

(2)2 (0)2 1 1 ) ( ) − ] 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 𝑥2 + 1 2

1

1 4 ) − 0] 𝑑𝑥 = ∫ [( 2 𝑥 +1 2 0 1

= ∫ 0

𝑥2

2 𝑑𝑥 +1

= [2 tan−1 𝑥]

Ingat: 1 ∫ 𝑑𝑥 = tan−1 (𝑥) 1 + 𝑥2

1 0

= 2 tan−1(1) − 2 tan−1(0) 𝜋 = 2 ( ) − 2(0) 4 𝝅 = 𝟐 MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

10

𝜋 𝜋 2 2

9. ∫ ∫ sin(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

0

Jawab: misal: 𝑢 = (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 2

𝜋 𝜋 2 2

𝜋 2

𝜋 [− ∫ ∫ sin(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ sin(𝑢) 𝑑𝑢 𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑢]2 𝑑𝑦 0 0 0 0 0 0 𝜋 2

𝜋 = ∫ ([− cos(𝑥 + 𝑦)]2 ) 𝑑𝑦 0 0 𝜋 2

𝜋 = ∫ [(− cos ( + 𝑦) − (− cos(0 + 𝑦))] 𝑑𝑦 2 0 𝜋 2

𝜋 = ∫ − cos ( + 𝑦) + cos(𝑦) 𝑑𝑦 2 0 𝜋 𝜋 = [− sin ( + 𝑦) + sin(𝑦)] 2 2 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 = − sin ( + ) + sin ( ) − (− sin ( + 0) + sin(0)) 2 2 2 2 𝜋 𝜋 = − sin(𝜋) + sin ( ) − (− sin ( ) + sin(0)) 2 2 = 0 + 1 − (−1 + 0) = 1 + 1 = 𝟐

1

1

2

10. ∫ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

𝑥

Jawab: 1

1 2

∫ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

𝑥

→ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 → 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 → maka, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

11

𝑦

1

1 𝑦 2 2 ∫ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ [𝑒 −𝑦 𝑥] 𝑑𝑦 0 0 0 0

1

= ∫ 𝑒

−𝑦 2

(𝑦) − 𝑒

−𝑦 2

1

2

(0) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 −𝑦 𝑦 𝑑𝑦

0

0

misal: 𝑢 = −𝑦 2 1 du = − 𝑦 𝑑𝑦 2 1 − 𝑑𝑢 = 𝑦 𝑑𝑦 2 1 1 = ∫ 𝑒 𝑢 (− ) 𝑑𝑢 2 0

1 1 = [− 𝑒 u ] 0 2 1 2 1 = [− 𝑒 −y ] 0 2 = [− =−

1 2 2𝑒 𝑦

1 1 1 ] = − 12 − (− 02 ) 0 2𝑒 2𝑒

1 1 𝟏 + = (𝒆 + 𝟏) 2𝑒 2 𝟐

1

4

3

11. ∫ ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

√𝑦

Jawab: 1

4

3

∫ ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

√𝑦

→ 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 𝑑𝑎𝑛 √𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1 = 𝑦 ≤ 𝑥 2 ≤ 1 → 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥2 ≤ 1 → maka 0 ≤ 𝑥 2 ≤ 1 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 2 1

𝑥2

∫ ∫𝑒 0

0

𝑥3

1

2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [𝑒 𝑥 . 𝑦]𝑥 𝑑𝑥 0 0 1

3

3

= ∫ 𝑒 𝑥 (𝑥 2 ) − 𝑒 𝑥 (0) 𝑑𝑥 0

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

12

1

3

= ∫ 𝑒 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 0

misal: 𝑢 = 𝑥 3 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑥 3 1

1 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 3 0 1 1 𝑢 1 1 = ∫ 𝑒 𝑑𝑢 = [ 𝑒 u ] 0 3 0 3 1 3 1 = [ 𝑒x ] 0 3 =

2

1 (1)3 1 𝑒 1 𝒆−𝟏 3 𝑒 − ( 𝑒 (0) ) = − = 3 3 3 3 𝟑

√4−𝑥 2

∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

12. ∫ 0

0

Jawab: 2

∫ 0

√4−𝑥 2

2

∫ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [𝑦𝑥 + 0

0

𝑦 2 √4 − 𝑥 2 ] 𝑑𝑥 2 0 2

2

(0)2 (√4 − 𝑥 2 ) )] 𝑑𝑥 = ∫ [𝑥√4 − 𝑥 2 + − ((0)𝑥 + 2 2 0 2

= ∫ [𝑥 √4 − 𝑥 2 + 0 2

= ∫ [𝑥 √4 − 𝑥 2 + 0

4 − 𝑥2 − 0] 𝑑𝑥 2 4 − 𝑥2 ] 𝑑𝑥 2

2

0

= ∫ 𝑥√4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 0

0

4 − 𝑥2 𝑑𝑥 2

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙: 𝑢 = 4 − 𝑥 2 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 2 MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

13

2

2

= ∫ 𝑥√4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 0

0

4 − 𝑥2 𝑑𝑥 2

2 2 1 1 = ∫ − √𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 2 2 0 0 2 1 2 1 = − ∫ √𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 2 0 2 0

= [−

12 23

3

(4 − 𝑥2 )2 + 2𝑥 −

11

2 𝑥3 ] 𝑑𝑥 0 23

(4 − 𝑥 2 )√4 − 𝑥 2 𝑥3 2 = [− + 2𝑥 − ] 3 6 0

= (−

(4 − 22 )√4 − 22 23 + 2(2) − ) 3 6

− (−

(4 − 02 )√4 − 02 03 + 2(0) − ) 3 6

= 0+4−

8 8 − (− + 0 − 0) 6 3

=

24 − 8 + 16 6

=

32 𝟏𝟔 = 6 𝟑

𝜋 cos 𝑥 2

13. ∫ ∫ 𝑦 sin 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

0

Jawab: 𝜋 cos 𝑥 2

𝜋 2

𝑦2 cos 𝑥 ∫ ∫ 𝑦 sin 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ([ sin 𝑥] ) 𝑑𝑥 0 2 0 0 0

𝜋 2

(cos 𝑥)2 02 = ∫ [ sin 𝑥 − sin 𝑥] 𝑑𝑥 2 2 0 = ∫

𝜋 2 (cos 𝑥)2 sin 𝑥

0

2

𝑑𝑥

𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙: 𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 −𝑑𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑥 MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

14

𝜋

1 2 = ∫ (cos 𝑥)2 sin 𝑥 𝑑𝑥 2 0 𝜋

1 2 = − ∫ (𝑢)2 𝑑𝑢 2 0 𝜋 1 𝑢3 = [− ]2 2 3 0 𝜋 𝑢3 = [− ] 2 6 0 𝜋 cos 3 𝑥 = [− ]2 6 0 =− =−

𝜋 cos3 (2 ) 6

cos 3 (0) − (− ) 6

03 13 𝟏 + = 6 6 𝟔

MATEMATIKA II - FITRIAH,ST,MT

(UNIVERSITAS TANJUNGPURA)

15...