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SERIE CORONEL 03

(C) Serie Coronel, 2017 (C) 2017. Pedro Pablo CoRonEl PéREz / Pablo Josué CoRonEl lóPEz

DEPóSITo lEGAl: If07620153703627 ISBn: 978-980-12-8561-8 DIAGRAmACIón InTERnA : Editorial Infinito, 2017 (Prof. Pedro P. Coronel P.) DISEño DE PoRTADA: Elkin J. Calle Cortés EDIToR lITERARIo: magister / lcdo. Pedr o Alberto Coronel lópez ASESoRA mEToDolóGICA : magister /lcda. Yuraima Coronel Pér ez ImPRESIón: Editorial Infinito, San Cristóbal [junio, 2017] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPo DE SoPoRTE: Papel Bond base 20 gr/cm

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las obser vaciones, sugerencias y cor respondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes cor reos electrónicos: [email protected] / [email protected]

Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela

las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Proto colo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos.

A Srinivasa Ramanujan, matemático autodidac

“Una ecuación no tiene para mí ningún significado a m

expr ese un pensamiento de

S ri ni va S a ra man uj an (1887-1920) / matemático autodida

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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFI

CONTENIDO

Comentario de los autores

Fundamento Teórico para la integración indefinida

Bibliografía

Encontrar la integral y verificar el resultado mediante la derivación

El cálculo integral y problemas como crecimiento poblacional, entre o

Encontrar la integral aplicando la técnica de sustitución (cambio de var

Encontrar la integral aplicando la técnica de integración por partes

Encontrar la integral aplicando la técnica de integración de funciones trigonométricas

Encontrar la integral aplicando la técnica de sustitución trigonométric

Encontrar la integral aplicando la técnica de funciones racionales

Encontrar la integral de funciones racionales de seno y coseno

Encontrar la integral de funciones cuadráticas

Encontrar la integral de funciones irracionales

Estrategias para iniciar la resolución de integrales indefinidas

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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Con APlICAC

C O M E N TA R I O D E L O S A U T O R E S

¡Bienvenidos a la primera edición de 250 EJER CICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL

DEFINIDAS! la Editorial Infinito se enorgullece en presentar a la comunidad e

profesoral el libro antes mencionado. El propósito de este libro es presentar a q

estudios universitarios, unas series de ejercicios sobre integrales indefinidas, muy r

ativas y resueltas en forma detallada. Evidentemente, será de gran utilidad para e

de carrera vinculadas a la ingeniería, las ciencias, la tecnología o cualquier especia

el cálculo matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estu

El número de ejercicios incluidos permite que el libro pueda ser utilizado tam

texto tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este impor cálculo.

los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos util resolución de cada uno de los problemas. los ejercicios han sido seleccionados

de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que e adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificulta normalmente se tropieza el principiante. Se espera que disfruten de la primera edición de 250 Ejercicios Resueltos de I indefinidas. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias pa mejorando la obra.

Pedro Pablo Coronel Pérez Autor

Pablo Josué Coronel López Autor

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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Con APlICAC

FUNDAMENTO TEÓRICO PARA L A INTEGRA CIÓN INDEFINIDA

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250 EJERCIOS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

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Notación de la integral indefinida

Anti derivadas o primitivas En el fundamento teórico para la derivación se hizo referencia únicamente al problema básico siguiente: Dada una función f encontrar su derivada f´. En el presente fundamento teórico de este libro, se verá que un problema igualmente importante es: ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀, ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀. Esto es, para una función dada f, se desea encontrar otra función F para la cual F´(x) = f(x) para todo x en cierto intervalo. Definición Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de una función f si F´(x)= f(x) en algún intervalo. Ejemplo

Una antiderivada o primitiva de f(x) = 2x es ฀฀ (฀฀) = ฀฀ 2 , puesto que F´(x)= 2x.

Siempre hay más de una antiderivada de una función. En el caso del ejemplo anterior, ฀฀1 (฀฀) = ฀฀ 2 − 1 ฀฀ ฀฀2 (฀฀) = ฀฀ 2 − 10 son también antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que ฀฀1 ´(฀฀) = ฀฀2 ´(฀฀) = ฀฀(฀฀). En efecto, si F es una antiderivada de una función f entonces G(x) = F(x)+C también lo es, para cualquier constante C. Esto es una consecuencia del hacho de que:

฀฀ (฀฀(฀฀) + ฀฀) = ฀฀´(฀฀) + 0 = ฀฀´(฀฀) = ฀฀ (฀฀). ฀฀´(฀฀) = ฀฀฀฀ Entonces, ฀฀(฀฀) + ฀฀ representa la familia de antiderivadas del cual cada miembro tiene una derivada igual a ฀฀(฀฀). Siendo ฀฀(฀฀) + ฀฀ la antiderivada más general de ฀฀(฀฀).

10

Por conveniencia introduzcamos una notación para una antiderivada o primitiva función. Si ฀฀´(฀฀) = ฀฀ (฀฀), la antiderivada más general de f se representará media

∫ ฀฀(฀฀) ฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀) + ฀฀

Al símbolo ∫ se le llama símbolo de la integral, y a la notación ∫ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ s integral indefinida de ฀฀(฀฀) con respecto a ฀฀. La función ฀฀(฀฀) se denomina inte proceso de encontrar una antiderivada o primitiva recibe el nombre de antidiferen o intrgración. Al número C se le conoce como constante de integración. Así como el sí ฀฀

฀฀฀฀

( ) denota diferenciación con respecto a ฀฀, el símbolo ∫ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ denota integ

respecto a ฀฀.

La integral indefinida de una potencia Al diferenciar la potencia ฀฀ ฀฀ , el exponente n se pone como factor y se disminuye valor del exponente original. Para hallar una antiderivada o primitiva de ฀฀ ฀฀ , la opu la regla de diferenciación sería: aumentar el exponente en 1 y dividir entre el exponente n+1. La regla análoga, para la integral indefinida, según la regla de diferen de una potencia, es como sigue: Si n es un número racional, entonces para n ≠ -1

+ ฀฀ ∫ ฀฀ ฀ ฀ ฀฀฀฀ = ฀฀+1 ฀฀ ฀฀+1

Ejemplo 2

Evaluar ∫ ฀฀ 6 ฀฀฀฀

Con n = 6, y aplicando la integral indefinida de una potencia se tiene

∫ ฀฀ 6 ฀฀฀฀ =

฀฀ 6+1

6+1

+ ฀฀ =

฀฀ 7 + 7

฀฀

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฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀)฀฀฀฀

La siguiente propiedad de las integrales indefinidas es una consecuencia inmediata del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Teorema

฀฀´(฀฀) = ฀฀ (฀฀) ฀฀ ฀฀´(฀฀ ) = ฀฀(฀฀ ), ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

∫[฀฀(฀฀) ± ฀฀(฀฀)]฀฀฀฀ = ∫ ฀฀ (฀฀)฀฀฀฀ ± ∫ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀ ) ± ฀฀(฀฀ ) + ฀฀

La operación para encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación o integración indefinida. La solución general se denota mediante: ฀฀ = ∫ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ = ฀฀ (฀฀) + ฀฀. Condiciones iniciales y soluciones particulares.

Observe que no hay razón para usar dos constantes de integración, puesto que ∫[฀฀(฀฀) ± ฀฀(฀฀)]฀฀฀฀ = (฀฀ (฀฀) + ฀฀1 ) ± (฀฀(฀฀) + ฀฀2 ) = ฀฀(฀฀) ± ฀฀ (฀฀) + (฀฀1 ± ฀฀2 ) = ฀฀(฀฀ ) ± ฀฀(฀฀ ) + ฀฀

en donde se ha reemplazado ฀฀1 ± ฀฀2 por la constante única ฀฀.

Resolución de una ecuación diferencial Una ecuación diferencial en ฀฀ y ฀฀ es una ecuación que incluye a ฀฀ y ฀฀ a las derivadas de

฀฀. Por ejemplo, ฀฀´ = 3฀฀ y ฀฀´ = ฀฀ + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales. 2

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial ฀฀´ = 3.

Solución: Inicialmente, consiste en determinar una función cuya derivada sea 3. Una función de esta característica es: ฀฀ = 3฀฀

3฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 3

Sea la siguiente ecuación diferencial ฀฀฀฀

฀฀฀฀

= 3฀฀ 2 − 1

Al reescribir se tiene:

฀฀฀฀ = (3฀฀ 2 − 1)฀฀฀฀

Donde la solución general es:

฀฀ = ∫(3฀฀ 2 − 1)฀฀฀฀

฀฀(฀฀) = ฀฀ 3 − ฀฀ + ฀฀

Solución general.

฀฀(฀฀) = ฀฀ 3 − ฀฀ − 2

Solución particular.

Para determinar una solución particular considérese que la curva pasa por el punt Esta información recibe el nombre de condición inicial. Utilizando esta condición solución general, es posible determinar: ฀฀(2) = 8 − 2 + ฀฀ = 4, lo que significa q −2. Por tanto, se tiene:

Ahora bien, la solución general es: ฀฀ = 3฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀.

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma ฀฀฀฀

฀฀฀฀ 12

= ฀฀(฀฀)

En la siguiente tabla se presenta un resumen de reglas básicas de integración. Tant fórmulas de derivación como de integración.

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Integración por sustitución (cambio de variable)

Con un cambio de variables formal se puede reescribir por completo la integral en té de ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ (o cualquier otra variable conveniente). La técnica del cambio de variab la notación de Leibniz para la diferencial. Esto es, si ฀฀ = ฀฀(฀฀), entonces ฀฀฀฀ = ฀฀´( Teorema

Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función conti I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I, entonc ∫ ฀฀(฀฀ (฀฀ ))฀฀´(฀฀ )฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀ (฀฀)) + ฀฀

Si ฀฀ = ฀฀(฀฀), ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀´(฀฀)฀฀฀฀ ฀฀ ∫ ฀฀(฀฀ ) ฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀ ) + ฀฀

Estrategias para realizar un cambio de variable

1. Elegir una sustitución ฀฀ = ฀฀ (฀฀). Usualmente, es mejor elegir la parte interna función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia. 2. Calcular ฀฀฀฀ = ฀฀´(฀฀)฀฀฀฀. 3. Reescribir la integral en términos de la variable ฀฀. 4. Encontrar la integral resultante en términos de ฀฀. 5. Reemplazar ฀฀ por ฀฀(฀฀) para obtener una antiderivada o primitiva en términos 6. Verificar la respuesta por derivación.

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Otra situación que a menudo se les presentan a los lectores es la selección tanto de u

Integración por partes En esta área de estudio se analizará una técnica importante de integración llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como ∫ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀,

∫ ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀

∫ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀

dv. Ya que dependiendo de la selección de u y dv puede ser más fácil la evaluació

segunda integral que la original. Los matemáticos han definido reglas que nos pe tener una guía para la selección de u y de dv. Una de ellas es la regla de ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una d letras de esta palabra

Para deducir la fórmula que corresponde a la integración por partes se debe tener en cuenta lo siguiente: Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para integración por partes.

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente) L: Logaritmos P: Potencias (de exponente numérico)

Se sabe que la derivada de un producto entre dos funciones es ฀฀(฀฀฀฀) = ฀฀฀฀฀฀ + ฀฀฀฀฀฀

E: Exponenciales S: Seno y coseno

Donde u y v son funciones derivables de x.

Al integrar ambos lados de la ecuación se tiene:

∫ ฀฀(฀฀฀฀) = ∫ ฀฀฀฀฀฀ + ∫ ฀฀฀฀฀฀

Despejando ∫ ฀฀฀฀฀฀

฀฀฀฀ = ∫ ฀฀฀฀฀฀ + ∫ ฀฀฀฀฀฀

∫ ฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ∫ ฀฀฀฀฀฀

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

Convendrá utilizar el método de integraci ón por partes cuando tengamos enfren

integral de una función arco solamente , un logaritmo solamente o un producto d funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos. En el primer caso, sólo una función arco, llamaremos

Esta fórmula expresa la integral original (integral que se quiere resolver) en términos de otra integral. Una de las situaciones que los lectores se preguntan es ¿Cómo me aprendo la fórmula? Pues bien existen una serie de expresiones que nos permiten recordar la fórmula, una de ellas nuestra favorita es: Un Día Vi Un Valiente soldado Vestido De Uniforme. La idea es quedarse con la primera letra (mayúscula) para ir reconstruyendo la fórmula.

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a esa función arco

en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos resto (también

al

al logaritmo

); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamarem

la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y por

y

). Por ejemplo, la integral

al resto (que ahora será la otra f

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es un producto de , que pertenece a P, y aparece antes que la P, la asignación será

, que entra en L. Como en ALPES la L

Existe otra regla como la ILATE que también funciona. En este libro se utilizará la regla de ALPES. Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental, y en otros casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método.

Integrales Trigonométricas

En esta sección se estudiarán las técnicas para evaluar integrales de los tipos ฀฀

∫ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀

Donde m o n es cualquier entero positivo. Para encontrar la antiderivada o primitiva para estas expresiones, intentar romperlas en combinaciones de integrales a las que puede aplicarse la regla de las potencias. Para separar ∫ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ en formas a las que se puede aplicar la regla de las potencias, usar las identidades siguientes

฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ + ฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ = 1 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀฀฀฀฀฀฀

฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ =

฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ =

1 − cos 2฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ á฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀2 ฀฀ 2

1 + cos 2฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ á฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀2 ฀฀ 2

A continuación, se presentan un conjunto de estrategias que permiten evaluar integrales que contienen senos y cosenos.

1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Luego, se opera y se integra. 2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Luego, se opera y se integra. 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades 18

1−cos 2฀฀

฀฀

฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ =

1+cos 2฀฀

Integrales que contienen potencias de secante y tangente

A continuación, se presentan un conjunto de estrategias que permiten evaluar integ de la forma:

Integrales que contienen potencias de seno y coseno

∫ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀฀2 ฀฀ =

2 Para convertir el integrando a2 potencias impares del coseno. Luego se procede com la estrategia 2.

∫ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀฀ ฀฀฀฀

1. Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor secante cuadr pasar los factores restantes a tangentes. Luego, se opera y se integra. 2. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar un factor secante tang y convertir los factores restantes a secantes. Luego, se opera y se integra. 3. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, conver factor tangente cuadrado a secante cuadrado. 4. Si la integral es de la forma ∫ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ donde m es impar y positiva, integración por partes. 5. Si ninguna de las primeras cuatros guías aplica, intentar de convertir el integran senos y cosenos.

Integración por sustitución trigonométrica Las integrales que contienen radicales de la forma √฀฀ 2 − ฀฀ 2 ,√฀฀ 2 + ฀฀ 2 y √฀฀ 2 − ฀฀ 2

es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica objetivo de la sustitución trigonométrica es eliminar al radical del integrando. Para lo lo anterior se requiere de las identidades pitagóricas.

฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ = 1 − ฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀, ฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ = 1 + ฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ = ฀฀฀฀฀

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Se sustituye ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ en ฀฀ el radical:

Sustituciones trigonométricas (a>0)

2 ฀฀ √฀฀2 + ฀฀2 = √฀฀2 + ฀฀2฀฀฀฀฀฀

Caso 1 Integrales que contienen √฀฀฀ ฀ − ฀฀฀฀

= √฀฀2 (1 + ฀฀฀฀฀฀ 2฀฀)

Se hace ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ , −≤ ฀฀ ≤ 2 2 ฀฀

฀฀

= √฀฀2 ฀฀฀฀฀฀ 2฀฀ = a sec ฀฀

Se sustituye, ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ en el radical

Por tanto se tiene: √฀฀2 + ฀฀ 2 = ฀฀ sec ฀฀

√฀฀2 − ฀฀2 = √฀฀2 − ฀฀ 2 ฀฀฀฀฀฀2 ฀฀

De lo ...