Integrales Trigonométricas (Regina Ziziniauskas) PDF

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. Identidades que se utilizan en la resolución de las integrales trigonométricas: 1) sen2x + cos2x = 1

2) 1 + tg2x = sec2x

3) 1 + ctg2x = csc2x

4) sen ( x

5) sen 2x = 2 sen x cos x

6) cos ( x ± y ) = cos x cos y

7) cos 2x = cos2 x – sen2 x

8) cos2x = ½ ( 1 + cos 2x )

9) sen2x = ½ ( 1 – cos 2x ) 11) tg2 x=

2 tgx 1−tg 2 x

13) senxcosx=

± y ) = sen x cos y

± sen y cos ∓ sen x sen y

10)cos 3x = cosx cos2x – senx sen2x 12) tg ( x ± y ) =

tgx ± tgy 1 ∓tgxtgy

sen 2 x 2

ESTRATEGIAS PARA HALLAR INTEGRALES DE SENOS Y COSENOS Se consideran las integrales de la forma, positivos.

∫ senk x cos n xdx

, donde k y n son enteros

1.- Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los demás a cosenos, desarrollar e integrar. Ejemplo:

∫ sen3 x cos 4 xdx=∫ sen2 x cos 4 x ( senx ) dx =∫( 1−cos2 x ) cos 4 xsenxdx

=∫ ( cos 4 x−cos 6 x ) senxdx 2.-Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los demás a senos; desarrollar e integrar. Ejemplo:

∫ cos 3 xsen4 xdx=∫ cos 2 xsen4 x( cos x ) dx

2

=∫ (1−sen2 x ) sen4 xcos xdx 3.-Si las potencias del seno y el coseno son pares y positivas, usar repetidamente las identidades:

sen 2 x=

1−cos 2 x 2

cos 2 x =

y

1+cos 2 x 2

4.- Si la integral es un producto de senos y cosenos con argumentos diferentes, se aplican las formulas siguientes: sen a cos b = ½ sen ( a - b ) + ½ sen ( a + b ) sen a sen b = ½ cos ( a -b ) - ½ cos (a + b ) cos a cos b = ½ cos ( a -b ) + ½ cos (a + b )

ESTRATEGIAS PARA HALLAR INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE TANGENTES Y SECANTES. 1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor sec 2x y pasar los restantes factores a tangentes, desarrollar e integrar. Ejemplo:

∫ sec4 xtg4 xdx =∫ sec 2 xtg4 x sec2 xdx =∫ (tg 2 x+1 ) tg4 xsec 2 xdx 2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva, conservar un factor secxtgx y pasar los restantes factores a secantes. Desarrollar e integrar. Ejemplo: 1

3 − ∫ √tgsecxx dx=∫ (sec2 x ) 2 tg3 xdx −

3

=∫ ( sec x ) 2 (tg 2 x )(sec xtgx ) dx

−

=∫ ( sec x )

3 2

( sec 2 x−1 ) (sec xtgx ) dx

3.- Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, pasar un factor tg2x a la forma sec2x, desarrollar e integrar. 4.- Si la integral contiene solo secante con potencia impar y positiva, integrar por partes

3

EJERCICIOS. 1) ∫sen2x dx

2) ∫ cos2 3x dx

3) ∫sen3x dx

4) ∫cos3x dx

5) ∫ sen4 dx

6) ∫cos42x dx

x

∫ cos3 3 dx

9) ∫cos5x dx

7) ∫sen53x dx

8)

10) ∫sen6x dx

11) ∫cos63x dx

12) ∫senx cosx dx

13) ∫sen2cos2x dx

14) ∫cos41/2 x dx

15) ∫sen7x dx

16) ∫cos6 1/2x dx

17) ∫ sen2x cos5x dx

18) ∫sen3 x cos4 x dx

19) ∫ sen3 x cos3 x dx

20) ∫sen4 x cos4 x dx

21)∫sen 3x cos 2x dx

22) ∫cos 4x sen 3x dx

23) ∫cos 3x cos 2x dx

24) ∫s en5 x cos5 x dx

25) ∫sen 5x sen x dx

26) ∫sen2 3xcos2 3x dx

27) ∫sen5x cos2x dx

cos3 x ∫ √ senx dx

28) ∫cos 6x cos 3x dx

28)

30) ∫sen6 x cos2 x dx

31) ∫cos3x senx dx

32) ∫sen2 2x dx

33) ∫ sen3x cosx dx

34) ∫ sen3xcos5x dx

35) ∫sen7x cos5x dx

35) ∫tg2x dx

36) ∫tg3 x dx

37) ∫tg4 x dx

38) ∫tg5 x dx

39) ∫tg6 x dx

40) ∫tg2x sec2x dx

29) ∫cos4x 4sen6x dx

sec x

41)

∫ tg2 x dx

42) ∫ sec 3x dx

43) ∫sec2(2x – 1) dx

44) ∫sec6 x / 2 dx

45) ∫ sec3 x dx

46) ∫tg5 x / 4 dx

47) ∫sec2 x tg x dx

48) ∫tg3 x sec4 x dx

49)

∫

tg5x sec6x dx

4

50)

∫

tg5x sec5x dx

51)

∫

tg7x sec5x dx

52)

∫

ctg2x dx

53)

∫

ctg3x dx

54)

∫

ctg4 3x dx

55)

∫

ctg5x dx

56)

∫

ctg6 x dx

57)

∫

ctg2 x csc2x dx

58)

∫

ctg3x csc4x dx

59)

∫

ctg5x csc6x dx

60)

∫

ctg5x csc5x dx

61)

∫

ctg7x csc5x dx

5

5

62)

∫ sen2 x dx cos x

63)

∫ √sencosxx dx

5

64)

x

∫ cos 3

√ senx

dx

2 3

cos2 x dx ∫ sen 6 x 65) 3 x dx ∫ cos 4 sen x 68)

4 x dx ∫ cos 6 sen x 66)

∫ cos 8 x 67)

69)

sen x

sen 3 2 x

3

x dx ∫ cos 1−senx

dx

3

70)

∫3

√ cos2 x

VIDEOS: https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=NWhB0JKe3-Y https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=FUZzUalCxlo https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=SV5CiBf_Rpk

dx...