Integrales trigonométricas PDF

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Integrales con potencias de seno y coseno, evaluación, ejemplos resueltos. ...

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02-junio-2020 Integrales trigonométricas Integrales que implican potencias de seno y coseno Se estudiarán las técnicas para evaluar integrales de la forma: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥𝑑𝑥

y

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑚 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝑥𝑑𝑥

Donde 𝑚 o 𝑛 es un número entero positivo. Para encontrar antiderivadas o primitivas de estas formas, se debe de tratar de separarlas en combinaciones de las integrales trigonométricas a la que se puede aplicar la regla de la potencia. Por ejemplo, puede evaluar: ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 Con la regla de la potencia al hacer que 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Entonces, 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 y obtiene: ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 5 𝑑𝑢 =

𝑢6 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 +𝐶 +𝐶 = 6 6

Para separar ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥𝑑𝑥 en formas a las que se puede aplicar la regla de la potencia, utilice las siguientes identidades: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1

Identidad pitagórica

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =

Identidad de medio ángulo para: 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =

1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2

1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2

Identidad de medio ángulo de: 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

Directrices para la evaluación de integrales que implican potencias de seno y coseno 1. Cuando la potencia del seno es impar y positiva, separe un factor de seno y convierta los factores restantes a cosenos. Después, desarrolle e integre: ∫ 𝑠𝑒𝑛

𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟

⏞ 2𝑘+1 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑛

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 ⏞ 2 𝑥)𝑘 (𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥

𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑢

⏞ 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛

=∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥)𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 2. Cuando la potencia del coseno es impar y positiva, separe un factor coseno y convierta los factores restantes a senos. Luego desarrolle e integre:

02-junio-2020

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚

𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟

⏞ 2𝑘+1 𝑥

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑢 ⏞2 𝑥)𝑘 ⏞ 𝑥𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑚

=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 3. Cuando las potencias tanto del seno como del coseno son pares y no negativas, use repetidamente las identidades: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =

1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2

y

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =

1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2

Para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Después, proceda como en la segunda directriz.

Ejemplo 31 Potencia del seno es impar y positiva Encuentre: ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥𝑑𝑥 Solución: La regla de la potencia 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, separe un factor del seno para formar 𝑑𝑢 y convierta los factores del seno restantes en cosenos: ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 )𝑑𝑥

Reescriba

=∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥

Identidad trigonométrica

=∫(𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥

Multiplique

=∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥

Reescriba

=− ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠6 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠7 𝑥 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + +𝐶 =− 5 7

Integre

En el ejemplo 31, ambas potencias de 𝑚 y 𝑛 se convi rtieron en enteros positivos. Esta estrategia funciona siempre y cuando 𝑚 o 𝑛 sea impar y positivo....