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ejercicios resueltos wolfram...

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Cálculo de integrales con Wolfram | Alpha Palencia González, Fº Javier, [email protected] García Llamas, Mª Carmen, [email protected] Facultad de CC. Económicas UNED

Cálculo de Integrales con Wolfram | Alpha

Introducción •

Vamos a calcular integrales en la web WolframAlpha cuya dirección es:

www.wolframalpha.com

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Introducción •

Una vez hemos entrado en la mencionada página web, seleccionamos la opción Mathematics, lo cual nos dará acceso a las distintas herramientas matemáticas existentes en la web.

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Introducción •

Seguidamente, y como en este caso queremos realizar el cálculo de integrales, tendremos que seleccionar la opción Calculus & Analysis

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Introducción •

Y a continuación y para finalizar seleccionamos la opción Integrals

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Introducción •

Así finalmente llegaremos a la ventana donde podremos introducir las diferentes funciones que queramos integrar:

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Integrales •

De los diversos tipos que se pueden calcular nos interesan las integrales indefinidas, las integrales definidas, las integrales impropias y las integrales múltiples.

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Integrales •

Podemos calcular algunos de los ejemplos propuestos simplemente pulsando el botón “=“ que hay en la parte derecha de la caja de introducción de expresiones, apareciendo en unos segundos el resultado de la integral:

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Escribir expresiones •

Se ha de tener cuidado con el uso de los paréntesis a la hora de introducir la función de la que queremos calcular el límite. Los símbolos que pueden utilizarse son: “+”, suma “*”, multiplicación “^”, potencia “-”, resta “/”, división “sqrt”, raíz cuadrada

•

Las distintas funciones se escriben en Wolfram Alpha de la siguiente manera: “e” ó “exp”, exponencial “ln” ó “log”, logaritmo neperiano “sin” ó “sen”, seno “cos”, coseno “tan”, tangente

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Integrales indefinidas •

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Para introducir la expresión de una función a integrar deberemos cumplir con una cierta sintaxis. En primer lugar se introduce la palabra reservada “int”, o la palabra “integrate” seguida de la función de la que queremos obtener la integral y finalmente hay que indicar la variable sobre la que se está integrando, dx, dy, etc…: int funcion dx integrate funcion dx Así, por ejemplo, si queremos calcular la integral de la siguiente función,   , escribiremos en la caja: int x^5 dx

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Integrales definidas •

• •

En el caso de integrales definidas, hay que introducir los límites de integración. Se puede hacer con la palabra reservada “from” seguida de la variable igualada al límite inferior, la palabra reservada “to” y el límite superior. int funcion dx from x=lim_inf to lim_sup Con la variable igualada al límite inferior dos puntos y el límite superior int funcion dx, x=lim_inf .. lim_sup Así por ejemplo si queremos calcular la integral de la siguiente función,   , para x entre 0 y 1 escribiremos en la caja: int x^5 dx from x=0 to 1 ó int x^5 dx , x=0..1

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Integrales impropias •

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Para las integrales impropias, tanto de primera especie, uno o los dos límites son infinitos; como para las de segunda especie, la función no es continua en algún punto del intervalo de integración; actuaremos como para las integrales definidas. El resultado de una integral impropia puede ser inexistente, por ser divergente. Si es convergente la integral impropia, entonces se obtiene su valor. int 1/(1+x^2) dx, x=-infinity..infinity int 1/(x-1)^2 dx, x=0..2

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Integrales múltiples • •

Para calcular integrales múltiples se ponen las dos ó tres variables que se quieran integrar y los dos ó tres intervalos de integración. Por ejemplo para calcular la integral de la siguiente función de dos variables,  ,  = , con x entre 0 y 1 e y entre 0 y 2, escribiremos en la caja: int xy dx dy , x=0 .. 1, y=0..2

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Ejemplos 1.- Hallar la integral indefinida de las siguientes funciones 

a)   = (  − 1)

b)   = 

c)   =   (  )

d)   =   + ()

2.- Hallar las siguientes integrales definidas a)

  = cos   , 0 ≤  ≤ 

b)   =

   

,0 ≤  ≤ 4

3.- Hallar las siguientes integrales impropias 

a) () =  , 0 ≤  ≤ ∞

b)   =

 ,1 ()

≤≤2

4.- Hallar las siguientes integrales múltiples a)  ,  =     +  , 0 ≤  ≤ 1, 0 ≤  ≤ 2 b)  ,  =

      

, 1 ≤  ≤ 2, 2 ≤  ≤ 3

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Ejemplos 1.- Hallar la integral indefinida de las siguientes funciones 

a)   = (  − 1) int (x^2-1) dx

b)   = 

c)   =   (  ) int (x^2)sin (x^3) dx

d)   =   + () int e^(5x) +sin(x) dx

int (1 / (x-1)) dx

2.- Hallar las siguientes integrales definidas 

a)   = cos  , 0 ≤  ≤ 

b)   =

int (cos(x))^2, x=0..pi

int x/sqrt(x^2+9) dx, x=0..4

  

,0 ≤  ≤ 4

3.- Hallar las siguientes integrales impropias 

d)   =

c) () =  , 0 ≤  ≤ ∞

 ,1 ()

≤≤2

int 1/(1+x^2) dx, x=0..infinity int e^x/ln(x), x=1..2 4.- Hallar las siguientes integrales múltiples a)  ,  =     +  , 0 ≤  ≤ 1, 0 ≤  ≤ 2 int x^2y(x+y) dx dy, x=0..1, y=0..2 b)  ,  =

      

, 1 ≤  ≤ 2, 2 ≤  ≤ 3

int x^2y(x+y)/(x^2y^2) dx dy, x=1..2, y=2..3 Fco. Javier Palencia y Mª Carmen García Llamas

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