Integrales Iteradas PDF

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Ejercicios y ejemplos...

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982

CAPÍT ULO 15

INT EGRALES MÚLT IPLES

dividir a R en subrectángulos. Sean L y U las sumas de Riemann calcu ladas por medio de las esquinas inferiores izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente. Sin calcular los números V, L y U, dispóngalos en orden creciente y explique su razonamiento.

24

20 16

28

32 44 44

24 32

40 3236

16

8. En la figura se muestran las curvas de nivel de una función f en

el cuadrado R ! [0, 2] ! [0, 2]. Use la regla del punto medio con m ! n ! 2 para estimar xxR f !x, y" dA . ¿Cómo podría mejorar su estimación?

44

48

28 56 52

y 4

5

32 36 40 44

20 24 28

2 6 7

48 5256

3

1

11-13 Evalúe la integral doble identificándola primero como el

2

volumen de un sólido.

1

0

1

2

x

11.

xxR 3 dA,

12.

xxR !5 # x" dA,

13.

xxR !4 # 2y" dA,

$ #2 $ x $ 2, 1 $ y $ 6% R ! #!x, y" $ 0 $ x $ 5, 0 $ y $ 3%

R ! #!x, y"

R ! &0, 1' ! &0, 1'

9. Se muestra un mapa de contorno para una función f sobre el

cuadrado R ! [0, 4] ! [0, 4]. a) Use la regla del punto medio con m ! n ! 2 para estimar el valor de xxR f !x, y" dA . b) Estime el valor promedio de f.

14. La integral xxR s9 # y 2 dA , donde R ! [0, 4] ! [0, 2],

representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido.

15. Use una calculadora programable o computadora (o el coman do sum en un SAC) para estimar

yy s1 " xe

y 4

#y

dA

R

10

0

0

2

10 20 30

donde R ! [0, 1] ! [0, 1]. Use la regla del punto medio con los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1, 4, 16, 64, 256 y 1 024.

10

16. Repita el ejercicio 15 para la integralxxR sen( x

20

17. Si f es una función constante, f (x, y) ! k, y R ! [a, b] ! [c, d],

30

0

2

sy ) dA .

demuestre que

yy k dA ! k!b # a"!d # c"

4 x

R

10. En el mapa de contorno se muestra la temperatura, en grados

Fahrenheit, a las 16:00 del 26 de febrero de 2007, en Colorado. (El estado mide 388 millas de este a oeste y 276 millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con m ! n ! 4 para estimar la temperatura promedio en Colorado a esa hora.

15.2

18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que

yy sen px cos py dA

0

R

donde R

[0, ] [ , ] . 1 4

1 1 4 2

1 32 .

Integrales iteradas Recuerde que usualmente es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de los primeros principios es aún más

SECCIÓN 15.2

INT EGRALES IT ERADAS

983

difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como una integral iterada, que se puede evaluar calculando dos integrales simples. Suponga que f es una función de dos variables que es integrable sobre el rectángulo R ! [a, b] ! [c, d]. Se usa la notación xcd f !x, y" dy para indicar que x se mantiene fija y f (x, y ) se integra respecto a y a partir de y ! c hasta y ! d. Este procedimiento se llama integración parcial respecto a y. (Observe su similitud con la derivación parcial.) Ahora xcd f !x, y" dy es un número que depende del valor de x, así que define una función de x: A!x" ! y f !x, y" dy d

c

Si ahora se integra la función A respecto a x a partir de x ! a hasta x ! b, se obtiene

y

1

b

a

A! x" dx ! y

(y

b

a

d

c

)

f !x, y" dy dx

La integral del lado derecho de la ecuación 1 se llama integral iterada. Por lo común, se omiten los corchetes. Así,

yy b

2

a

d

c

f !x, y" dy dx ! y

(y

b

a

d

c

)

f !x, y" dy dx

indica que primero se integra respecto a y a partir de c hasta d, y luego respecto a x desde a hasta b. De manera similar, la integral iterada

yy d

3

c

b

a

f !x, y" dx dy ! y

(y

d

c

b

a

)

f !x, y" dx dy

significa que primero se integra respecto a x (manteniendo fija y ) desde x ! a a x ! b y después se integra la función resultante de y respecto a y de y ! c hasta y ! d. Observe que en las ecuaciones 2 y 3 se trabaja de dentro hacia fuera. EJEMPLO 1 Evalúe las integrales iteradas.

a)

y y 3

0

2

1

x 2y dy dx

yy 2

b)

1

3

0

x 2 y dx dy

SOLUCIÓN

a) Si se considera x como una constante, se obtiene

y

2

1

( )

x 2 y dy ! x 2

y2 2

y!2

! x2 y!1

*+ *+ 22 2

12 2

# x2

3

! 2 x2

Así, la función A en la explicación anterior está dada por A! x" ! 32 x 2 en este ejemplo. Ahora integramos esta función de x de 0 a 3:

yy 3

0

2

1

x 2 y dy dx ! y

3

0

!y

(y

3 3 2 0

1

2

x 2 y dy

x 2 dx !

) )

x3 2

dx 3

! 0

27 2

984

CAPÍT ULO 15

INT EGRALES MÚLT IPLES

b) Aquí se integra primero respecto a x:

y y 2

1

3

0

x 2 y dx dy ! y

(y

2

3

0

1

)

y

x 2 y dx dy !

! y 9y dy ! 9 2

1

y2 2

2

1

)

2

( )

x!3

x3 y 3

dy x!0

27 2

! 1

Observe que en el ejemplo 1 se obtiene la misma respuesta si se integra primero respecto a y o x. En general, resulta (véase el teorema 4) que las dos integrales iteradas de las ecuaciones 2 y 3 son siempre iguales; es decir, no importa el orden de integración. (Esto es similar al teorema de Clairaut en la igualdad de las derivadas parciales mixtas). En el siguiente teorema se da un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada (en cualquier orden).

El nombre del teorema 4 es en honor al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien demostró una versión muy general de este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy tenía conocimiento de la versión para funciones continuas.

4

Teorema de Fubini Si f es continua en el rectángulo

R ! #!x, y"

$

a $ x $ b, c $ y $ d %, entonces

yy f !x, y" dA ! y y b

a

d

c

f !x, y" dy dx ! y

d

c

y

b

a

R

f !x, y" dx dy

En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada sobre R, f es discontinua sólo en un número finito de curvas suaves y las integrales iteradas existen. z

La demostración del teorema de Fubini es muy difícil para incluirla en este libro, pero al menos se puede dar una indicación intuitiva de por qué se cumple para el caso donde f (x, y ) % 0. Recuerde que si f es positiva, entonces se puede interpretar la integral doble xxR f !x, y" dA como el volumen V del sólido S que está arriba de R y debajo de la superficie z ! f (x, y ). Pero se tiene otra fórmula que se usó para el volumen en el capítulo 6, a saber,

C 0 x x

a

A(x) y

b

V ! y A!x" dx b

FIGURA 1

a

TEC Visual 15.2 ilustra el teorema de Fubini mostrando una animación de las figuras 1 y 2.

donde A(x) es el área de una sección transversal de S en el plano que pasa por x y es perpendicular al eje x. De la figura 1 se puede ver que A(x) es el área bajo la curva C cuya ecuación es z ! f (x, y ), donde x se mantiene constante y c & y & d. Por tanto, A!x" ! y f !x, y" dy d

c

z

y tenemos

yy f !x, y" dA ! V ! y

b

a

0

R

c

y

FIGURA 2

b a

y

c

d

f !x, y" dy dx

d y

x

A!x" dx ! y

Un argumento similar, con secciones transversales perpendiculares al eje y como en la figura 2, muestra que

yy f !x, y" dA ! y y d

c

R

a

b

f !x, y" dx dy

SECCIÓN 15.2

v

Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no SOLUCIÓN 1 hay nada malo con eso. La función f en ese ejemplo no es una función positiva, así que su integral no representa un volumen. De la figura 3 se ve que f es siempre negativa en R, así que el volumen de la integral es el negativo del volumen que yace arriba de la gráfica de f y debajo de R.

R

$ 0 $ x $ 2, 1 $ y $ 2%. (Compare con el ejemplo 3 de la sección 15.1).

El teorema de Fubini da

yy !x # 3y

2

" dA ! y

2

0

y

2

!x # 3y 2 " dy dx ! y xy # y 3

[

2

0

1

]

y!2 y!1

dx

R

!y

2

0

x2 !x # 7" dx ! # 7x 2

)

2

! #12 0

SOLUCIÓN 2 Al aplicar de nuevo el teorema de Fubini, pero esta vez integrando primero respecto a x, se obtiene

_4 z _8

yy !x # 3y

z=x-3¥

2

" dA ! y

2

0

0.5

1 y

1.5

2 2

0

1 x

!

y

2

1

FIGURA 3

y

2

0

1

R

_12

(

!x # 3y 2 " dx dy

x2 # 3xy 2 2

)

x!2

dy x!0

! y !2 # 6y 2 " dy ! 2y # 2y 3 1 ! #12

]

2

1

v

EJEMPLO 3 Evalúe

xxR y sen

2

xy dA, donde R ! &1, 2' ! &0, ' '.

SOLUCIÓN 1 Si se integra primero respecto a x, se obtiene

yy y sen xy

y y

dA

0

1

2

y [

y sen xy dx dy

y

cos 2y

0 1 2

cos xy

0

R

sen 2 y

]

x 2 x 1

cos y dy

]

sen y

0

0

SOLUCIÓN 2 Si se invierte el orden de integración, se obtiene

yy y sen xy

dA

yy 2

1

0

y sen xy dy d x

R

Para una función f que tome valores positivos y negativos, xxR f !x, y" dA es una diferencia de volúmenes: V1 # V2, donde V1 es el volumen arriba de R y abajo de la gráfica de f, y V2 es el volumen debajo de R y arriba de la gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo 3 sea 0, significa que estos dos volúmenes son iguales. (Véase la figura 4.)

1 z 0 _1

Para evaluar la integral interior se emplea la integración por partes con

y, por tanto, z=y sen(xy)

0

FIGURA 4

1 x

1

y

2

3 2

985

2 EJEMPLO 2 Evalúe la integral doble xxR !x # 3y " dA , donde

R ! #!x, y"

0

INT EGRALES IT ERADAS

y

0

p

u

y

du

dy

y sen xy dy

sen xy dy

dv

cos xy x

v

y cos xy x

y p

1 x

y 0

y

p

0

cos xy dy

p cos px x

1 sen xy x2

p cos px x

sen px x2

[

]

y p y 0

dy

986

CAPÍT ULO 15

INT EGRALES MÚLT IPLES

Si ahora se integra el primer término por partes con u ! #1,x y dv ! ' cos ' x dx , se obtiene du ! dx,x 2, v ! sen px y

y

En el ejemplo 2, las soluciones 1 y 2 son igualmente directas, pero en el ejemplo 3, la primera solución es mucho más fácil que la segunda. Por tanto, cuando se evalúan integrales dobles, es sabio elegir el orden de integración que da integrales más simples.

cos px x

Por tanto,

y

y entonces

y y

sen px x

dx

cos px x

2

1

sen px x2

y sen xy dy dx

0

sen px x

dx 2

sen px x

p

sen px dx x2

y

1

sen 2 p 2

sen p

0

v EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del sólido S acotado por el paraboloide elíptico x2 " 2y 2 " z ! 16, los planos x ! 2 y y ! 2 y los tres planos coordenados. SOLUCIÓN Primero se observa que S es el sólido que yace debajo de la superficie z ! 16 # x2 # 2y 2 y arriba del cuadrado R ! [0, 2] ! [0, 2]. (Véase la figura 5.) Este sólido se consideró en el ejemplo 1 de la sección 15.1, pero ahora se está en posición de evaluar la integral doble por medio del teorema de Fubini. Por tanto,

16 12 z 8

V ! yy !16 # x 2 # 2y 2 " dA ! y

4

2

0

0 0

R

0 1 y

2 2

1 x

2

0

!16 # x 2 # 2y 2 " dx dy

! y 16x # 31 x 3 # 2y 2x

]

!y

y # 3 y 3 0 ! 48

2

0

FIGURA 5

y

2

0

[

(883

# 4y 2 ) dy !

[

88 3

x!2 x!0

dy 4

]

2

En el caso especial donde f (x, y ) se puede factorizar como el producto de una función de x y una función de y , la integral doble de f se puede escribir en una forma particularmente simple. Para ser específicos, suponga que f (x, y ) ! t(x)h(y ) y R ! [a, b] ! [c, d]. Entonces el teorema de Fubini da

yy f !x, y" dA ! y y d

b

c

a

t!x"h!y" dx dy ! y

d

c

R

(y

b

a

)

t!x" h! y" dx dy

En la integral interior, y es una constante, así que h(y ) es una constante y se puede escribir

(

y y d

c

b

a

)

t!x" h! y" dx dy ! y

d

c

( *y h!y"

a

b

t!x" dx

+)

dy ! y t!x" dx y h! y" dy b

a

d

c

puesto que xab t!x" dx es una constante. En consecuencia, en este caso, la integral doble de f se puede escribir como el producto de dos integrales simples:

5

yy t!x" h!y" dA ! y

b

a

R

t!x" dx y h! y" dy d

c

donde R ! [a, b] ! [c, d]

SECCIÓN 15.2

INT EGRALES IT ERADAS

987

EJEMPLO 5 Si R ! &0, ' ,2' ! &0, ' ,2' , entonces, mediante la ecuación 5,

yy sen x cos y dA y

p 2

0

sen x dx y

R

[

p 2

0

cos y dy

] [sen y] p 2

cos x 0

p 2

0

1 1

1

z La función f(x, y) ! sen x cos y en el ejemplo 5 es positiva sobre R, así que la integral representa el volumen del sólido que está arriba de R y abajo de la gráfica mostrada en la figura 6.

0 y x

FIGURA 6

15.2

Ejercicios

1-2 Determine x05 f !x, y" dx y x01 f !x, y" dy . 1. f !x, y" ! 12x 2 y 3

18.

2. f !x, y" ! y " xe y 19.

yy 4

1

2

0

2

dA , R ! #!x, y"

$

0 $ x $ 1, 0 $ y $ 1%

R

3-14 Calcule la integral iterada. 3.

1 " x2

yy 1 " y yy x sen

y dA,

x

R

0, p 6

0, p 3

R

4.

!6x 2 y # 2x" dy dx

y y 1

0

2

1

!4x 3 # 9x 2 y 2 " dy dx

20.

x

yy 1 " xy dA ,

R ! &0, 1' ! &0, 1'

R

5.

yy 2

0

7.

y y 3

yy

1

yy

p

1

0

13.

1

2

0

0

0

8.

! y " y 2 cos x" dx dy

* +

yy 1

11.

' ,2

2

4

6.

y 3e 2 x dy dx

0

#3

9.

4

0

y x " x y

y' y ' ,2

5

,6

#1

y y 3

1

dy dx

10.

v !u " v 2" 4 du dv

12.

y y

3

y y

1

y y

1

14.

0

1

0

r sen u d u dr

1

1

0

2

5

0

1

0

0

cos y dx dy 21.

yy ye

#x y

R ! &0, 2' ! &0, 3'

dA,

R

ln y dy dx xy

22.

1

yy 1 " x " y dA ,

R ! &1, 3' ! &1, 2'

R

e x"3y dx dy

23-24 Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral

xysx 2 " y 2 dy dx

iterada. 23.

ss " t ds dt

y y

1

y y