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ejercicios resueltos wolfram...

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Polinomio de Taylor con Wolfram | Alpha Palencia González, Fº Javier, [email protected] García Llamas, Mª Carmen, [email protected] Facultad de CC. Económicas UNED

Polinomio de Taylor con Wolfram | Alpha

Introducción •

Vamos a calcular el polinomio de Taylor para una función f(x) en la web WolframAlpha cuya dirección es:

www.wolframalpha.com

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Introducción •

Una vez hemos entrado en la mencionada página web, seleccionamos la opción Mathematics, lo cual nos dará acceso a las distintas herramientas matemáticas existentes en la web.

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Introducción •

Seguidamente, y como en este caso queremos calcular el polinomio de Taylor, tendremos que seleccionar la opción Calculus & Analysis

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Introducción •

Y a continuación y para finalizar seleccionamos la opción Series Expansions

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Introducción •

En esta ventana seleccionamos las distintas opciones que permiten realizar el cálculo del Polinomio de Taylor:

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Polinomio de Taylor •

De los diversos tipos que se pueden calcular nos interesa la última opción donde hay que especificar el orden del polinomio y en qué punto está centrado.

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Polinomio de Taylor •

Podemos calcular algunos de los ejemplos propuestos simplemente pulsando el botón “=“ que hay en la parte derecha de la caja de introducción de expresiones, apareciendo en unos segundos el resultado del polinomio:

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Escribir expresiones •

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Para introducir la expresión necesaria para calcular el polinomio de Taylor de una función deberemos cumplir con una cierta sintaxis. En primer lugar se introduce la palabra reservada “series”, seguida de la función de la queremos obtener el polinomio, luego la palabra reservada “at”, la variable de la función, seguida del signo “=”, el punto en el que se centra el polinomio, las palabras reservadas “to order” y el orden del polinomio a calcular: series funcion at x=0 to order 5 Así por ejemplo si queremos calcular el polinomio de Taylor de orden 5, centrado en el punto 0 para la siguiente función,  (), escribiremos en la caja: series (sin x) at x=0 to order 5

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Escribir expresiones Otras formas de introducir la expresión de una función para la que se quiere calcular el Polinomio de Taylor son: • Mediante las palabras reservadas “Taylor series”, seguida de la función de la que queremos obtener el polinomio, en este caso se toma como punto el 0 y el orden calculado lo ajusta internamente la herramienta: Taylor series sin x •

Mediante la palabra reservada “series”, seguida de la función de la que queremos obtener el polinomio, y el punto donde queremos centrar el polinomio, y el orden lo ajusta internamente la herramienta: series sin x at x=0

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Mediante la palabra reservada “series”, seguida de la función de la que queremos obtener el polinomio, y el orden deseado del polinomio, el punto en que lo centra es el 0: series sin x to orden 5

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Polinomio de McLaurin •

Como es conocido el Polinomio de McLaurin es igual al Polinomio de Taylor centrado en el punto 0.

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Por tanto, para obtener el polinomio de MacLaurin de una función utilizaremos cualquiera de las expresiones anteriores, pero siempre teniendo cuidado de establecer el punto en el que se centra el polinomio en 0, en caso de ser necesario. Taylor series sin x series sin x at x=0 series sin x to orden 5 series sin x at x=0 to orden 5

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Escribir expresiones •

Se ha de tener cuidado con el uso de los paréntesis a la hora de introducir la función de la que queremos calcular el límite. Los símbolos que pueden utilizarse son: “+”, suma “*”, multiplicación “^”, potencia “-”, resta “/”, división “sqrt”, raíz cuadrada

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Las distintas funciones se escriben en Wolfram Alpha de la siguiente manera: “e” ó “exp”, exponencial “ln” ó “log”, logaritmo neperiano “sin” ó “sen”, seno “cos”, coseno “tan”, tangente

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Ejemplos 1.- Hallar el polinomio de Taylor de orden especificado y centrado en los puntos que se indican: a)   = ( − 1) ; x=1 ; orden=5 x=0 ; orden=5 b)   = cos  ; c)   =   (); x=0; orden=4 x=pi; orden=3 d)   =    ; e)   = ln   +   ; x=1; orden=4 2.- Hallar el polinomio de McLaurin, de las funciones anteriores, y de orden el que se especifica.

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Ejemplos 1.- Hallar el polinomio de Taylor de orden especificado y centrado en los puntos que se indican: a)   = ( − 1) ; x=1 ; orden=5 series ((cos x)-1) at x=1 to order 5 x=0 ; orden=5 b)   = cos  ; series (cos x)^2 at x=0 to order 5 c)   =   (); x=0; orden=4 series (e^(5x) sinx) at x=0 to order 5 d)   =    ; x=pi; orden=3 series (e^x (sinx)^2) at x=pi to order 3 e)   = ln   +   ; x=1; 4 series (ln(x^3)+e^ (3x)) at x=1 to order 4

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Ejemplos 2.- Hallar el polinomio de McLaurin del orden que se especifica:

a)   = ( − 1) ; x=1 ; orden=5 b)   c)   d)   e)  

series ((cos x)-1) to order 5 = cos  ; x=0 ; orden=5 series (cos x)^2 at x=0 to order 5 =   (); x=0; orden=4 series (e^(5x) sinx) at x=0 to order 5 =    ; x=pi; orden=3 series (e^x (sinx)^2) to order 3 = ln   +   ; x=1; 4 series (ln(x^3)+e^ (3x)) to order 4

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