Práctico - práctica 6. wolfram alpha mathematica PDF

Preview

Summary

Práctica 6. Wolfram Alpha Mathematica...

Description

PRÁCTICA 6: INTEGRACIÓN I

Gru-

pos 111-112-113-114 Eléctricos Sección 3.5 Integración Para calcular primitivas Integrate[f[x],x]

Ejemplo 1 Página 45 Integratex ^k, x x1k 1k

¿Y en el caso que k = -1?

Ejemplo 3 Página 45 Integratex ^ 1, x Logx

Al resultado obtenido tenemos que sumarle la constante arbitraria! Para calcular integrales definidas Integrate[f[x],{x,a,b}]

Ejemplo 4 Página 46 Integratex Sinx ^ 2, x, 0, Pi 2 Sin 2



2

Para obtener el valor aproximado con n cifras significativas N[expresion,n] 2 NSin

2

 , 10 2

0.9513426810

También se puede calcular el valor aproximado (6 cifras significativas) de una integral definida con NIntegrate[f[x],{x,a,b}] Muy útil cuando la integral EXACTA es difícil de calcular. NIntegratex Sinx ^ 2, x, 0, Pi 0.951343

EJERCICIO 13 Página 48 Integratex ^ 3 b ^ a  x, x ba x  6  6 a x Logb  3 a2 x2 Logb2  a3 x3 Logb3  a4 Log b4

EJERCICIO 14 Página 48 IntegrateSinx ^ 2, x, 0, Pi  2

FresnelS 2  

NIntegrateSinx ^ 2, x, 0, Pi 0.772652

2

Práctica 6.nb

IntegrateSinx ^2, x, 0, Pi  2

NIntegrateSinx ^2, x, 0, Pi 1.5708

Sección 5.2 y 5.3 Gráficas 2D Ejemplo 5.2.1 Página 65 ContourPlotx ^ 2  9  y ^ 2  4  1, x,  3, 3, y,  3, 3 3

2

1

0

1

2

3 3

2

1

0

1

2

3

ContourPlotx ^ 2  9  y ^ 2  4  1, x,  3, 3, y,  2, 2 2

1

0

1

2 3

2

1

0

1

2

3

Parece una circunferencia. Es porque las escalas de los ejes no son iguales. Se resuelve con el comando AspectRatioAutomatic ContourPlotx ^ 2  9 y ^ 2  4  1, x, 3, 3, y,  2, 2, AspectRatio  Automatic 2

1

0

1

2 3

2

1

0

1

Ejemplo 5.3.1 Página 66

2

3

Práctica 6.nb

RegionPlotx ^ 2  y ^ 2  9 && x ^2 2  y ^ 2  8  1, x,  4, 4, y,  4, 4

Ejercicio 5.10.1 Página 79 ContourPloty  3 Cos5 x, x  2 ^2  25  y  1 ^2  16  1, x,  3, 7, y,  5, 3, AspectRatio  Automatic 2

0

2

4

2

0

2

4

6

Sección 12.1 Cálculo de integrales y 12.2 Aplicación: Cálculo de áreas planas Ejemplo 1 Página 164

PlotSinx,  Sin2 x, x, 0, Pi, Filling  1  2

Apartado a) SolveSinx   Sin2 x, x Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. 

x  0 , x  

2 3

, x 

2 3



NSolveSinx   Sin2 x, x NSolve::ifun : Inverse functions are being used by NSolve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. 

x   2.0944,  x  0., x  2.0944

3

4

Práctica 6.nb

IntegrateSinx  Sin2 x, x, 0, 2 Pi  3 9 4

Apartado b) IntegrateSinx  Sin2 x, x, 0, 2 Pi  3  Integrate Sin2 x  Sinx, x, 2 Pi  3, Pi 5 2

EJERCICIO 1 Página 172 f1x_  Which0  x  1, 3 Sqrtx, 1  x  2, 4  x^ 2 Which0  x  1, 3

x , 1  x  2, 4  x2

O también como (da igual una forma u otra) f2x_  Piecewise3 Sqrtx, 0  x  1 , 4  x ^ 2, 1  x  2 3 x 4  x2 0

0x1 1x2 True

Plotf1x, x, 0, 2, Filling  Axis, Plotf2x, x, 0, 2, Filling  Axis



,



Integrate3 Sqrtx, x, 0, 1  Integrate4 x ^ 2, x, 1, 2 11 3

Integratef1x, x, 0, 2 11 3

EJERCICIO 2 Página 172

Plotx ^ 3  2 x, 3 x  1 ,  x, 0, 2, Filling  1  2

NSolvex ^ 3  2 x  3 x  1, x x   0.662359  0.56228 , x   0.662359 0.56228 , x  1.32472 NSolvex ^3  2 x  3 x  1, x, Reals x  1.32472

Práctica 6.nb

Integrate3 x  1  x ^ 3  2 x, x, 0, 1.32472  Integratex ^ 3  2 x  3 x  1, x, 1.32472, 2 2.86452

EJERCICIOS ADICIONALES - Integrales racionales 1) Integrate2 x ^ 3  x ^ 2  x  4  x ^ 2  4 x ^ 2  2 x  5, x 1

 1  x 

ArcTan 2

1 2

Log4  x2 

1 2

Log5  2 x  x2

¿Pero cómo la resolveríamos a “mano”? Factorx ^2  4  Factorizar el denominador   2  x 2  x

Factorx ^2  2 x  5  Irreducible  5  2 x  x2 Solvex ^2  2 x  5  0, x x  1  2 , x  1  2 

Apart2 x ^ 3  x ^ 2  x  4  x ^ 2  4 x ^ 2  2 x  5  Descomposición en fracciones simples  1

1



2  2  x

2 2  x



1x 5  2 x  x2

1  2 Integrate1  x  2, x  1  2 Integrate1 x  2, x   Integrate1  x   x ^ 2  2 x  5, x 1 ArcTan 2

 1  x 

1

Log  2  x 

2

1

Log2  x 

2

1 2

Log5  2 x  x2

2) Solvex ^2  5 x  6  0, x x  2, x  3

Apartx ^ 3  3 x ^ 2  x  10  x ^ 2  4  x ^ 2  5 x  6 1 3  x

1



 2 x

1x 4 x 2

Integrate1  x  3, x  Integrate 1 x  2 , x  Integrate1  x    x ^ 2  4, x 1

x ArcTan

2

2

  Log 3  x  Log 2  x 

1 2

Log4  x2

Integratex ^ 3  3 x ^ 2  x  10 x ^ 2  4  x ^ 2  5 x  6, x 1

x ArcTan

2

2

  Log2  x Log 3  x 

3) Solvex ^2  3 x  2  0, x x  1, x  2

1 2

Log4  x2

5

6

Práctica 6.nb

Apartx  x ^ 2  3 x  2 ^ 2 4  2 

x2

4





2  x

1  1 

4

x2

4



1  x

1 4 , x Integrate     2  x2  2  x  1  x2  1  x 4



1



2  x

4

 4 Log 2  x  4 Log 1  x

1  x

Integratex  x ^ 2  3 x  2 ^ 2, x 65x 2  3 x  x2

 4 Log1  x  4 Log2  x

Simplify

4

1





1  x

2  x

65x 2  3 x  x2

NOTA: Las integrales indefinidas tipo “logaritmo”, como por ejemplo absolutos: 

1 x4

 x  Log x  4  Log x  4  Log4  x.

4)

ApartM x  N  x  a ^2  b ^ 2 N M x a2



b2

 2 a x  x2

IntegrateM x  N  x  a ^ 2  b ^ 2, x 

a M  N ArcTan

ax  b



b

1 2

M Logb2  a  x 2

5)

Integrate1  x ^ 2  2 x  1, x 1



1 x

6)

Integrate1  x 1 x ^ 2  1, x 

ArcTanx 2



1 4

Log 2  2 1  x   1  x2 

1 2

SimplifyIntegrate1  x  1 x ^ 2  1  , x 1 4

 2 ArcTan x  2 Log 1  x  Log1  x2 

7) Solvex ^3  1  0, x x  1, x    1 1 3, x   1 23  ComplexExpandSolvex ^ 3  1  0, x x  1 , x  

1 2



3

 2

, x  

1 2



3

 2



Log 1  x

1 x4

 x , se resuelven utilizando valores

Práctica 6.nb

Apartx  x ^ 3  1 1



3  1  x

1x 3 1  x  x2

1 1x Integrate , x  3  1  x 3 1  x  x2 ArcTan

12 x 3

 

1 3

3

Log1  x 

1 6

Log1  x  x2

Integratex  x ^ 3  1, x ArcTan

12 x 3

 

1 3

3

Log1  x 

1 6

Log1  x  x2

8)

Apart1  x  1 x  2 x  3 1 2 1  x

1





2x

1 2 3  x

1 1 1  , x  Integrate 2 1  x 2  x 2 3  x  Log2  x

1 2

Log3  4 x  x2

Integrate1  x  1 x  2 x  3, x  Log2  x

1 2

Log3  4 x  x2

EJERCICIOS ADICIONALES - CÁLCULO DE ÁREAS PROBLEMA 1 Plotx ^ 2  1, x, 0, 2, PlotRange  0, 5 , Filling  Axis

2  x  1  x 2

0

14 3

PROBLEMA 2

7

8

Práctica 6.nb

Plotx ^ 3, x,  1, 1, Filling  Axis

1

2  x3  x 0

1 2

PROBLEMA 3 Plotx ^ 3  x ^2  6 x, x,  2, 3, Filling  Axis

Solvex ^ 3  x ^ 2  6 x  0, x x   2, x  0, x  3 3 2 3 2  x  x  6 x  x   x  x  6 x   x 0

2

3

0

253 12

PROBLEMA 4 Plotx ^ 2  3, 2 x, x, 3, 1, Filling  1  2

Solvex ^2  3   2 x, x x   3, x  1 2    2 x  x  3  x 1

3

32 3

PROBLEMA 5

Práctica 6.nb

Plotx ^2  2, x  4, x,  2, 3, Filling  1  2

Solvex ^2  2  x  4, x x   2, x  3 3

2  x  4  x  2  x 2

125 6

PROBLEMA 6 ContourPlotx ^ 2 16  y ^ 2  9  1, x ^ 2 9  y ^ 2  16  1, y  x, x,  4, 4 , y,  4, 4, Axes  True 4

2

0

2

4 4

2

0

2

4

Solvex ^ 2  16  y ^ 2 9  1, y  x ,  x, y   Puntos de corte, tomaremos los del 1º Cuadrante  x  

12

,y

12

, x 

5

5

3

16  x2 , y 

12

,y

5

12 5



Solvex ^ 2  16  y ^ 2  9  1, y  Despejamos la "y" de la elipse que "va por debajo" en el intervalo  0,125 para integrarla  y  

4

3

16  x2 4



Utilizando simetría. 8 veces “la elipse menos la bisectriz”. 8

125

3

16  x2 4

0

48 ArcSin   N 30.8881

3 5



 x x

9

10

Práctica 6.nb

7) Plotx ^2, Sqrtx, Sqrt1  x ^2, x, 0, 1, AspectRatio  Automatic 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

g1  PlotSqrtx , x ^ 2, Sqrt1  x ^ 2, x, 0, 1, AspectRatio  Automatic g2  PlotSqrtx, x ^ 2, Sqrt1  x ^2, x, 0,

1 2

 1 

5 , AspectRatio  Automatic, Filling  1  2

g3  PlotSqrt1  x ^ 2, x ^ 2, x,

1 2

 1 

5 ,

1 2

 1 

5  ,

AspectRatio  Automatic, Filling 1  2, Axes  False Showg1, g2, g3

Corte de la circunferencia con la parábola. SolveSqrtx  Sqrt1 x ^ 2, x  Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. 

x 

1 2

 1 

5 , x 

1 2

 1 

5 

Corte de la circunferencia con la raíz. Solvex ^ 2  Sqrt1  x ^ 2, x x  

1 2

 1 

5  , x 

1 2

 1 

5  

Calculamos las dos áreas y sumamos. NIntegrateSqrtx  x^ 2, x, 0,

1 2

 1 

NIntegrateSqrt 1  x ^ 2  x ^ 2, x, 0.281115

1 2

5  

 1 

5 ,

1 2

 1 

5  

Práctica 6.nb

IntegrateSqrtx  x^ 2, x, 0, 1

2

5 2

2 

1 2

 1 

5 

5

3 NIntegrateSqrtx  x^ 2, x, 0,

1 2

 1 

5 

0.245223 IntegrateSqrt1  x ^ 2  x^ 2, x, 1

4  2

5 2

2 

5

1

 1 

2

 3 ArcSin2 

6 NIntegrateSqrt1  x ^ 2  x^ 2, x,

1 2

1 2

 1 

5  

5 

 1 

0.035892 0.24522285533783644  0.03589196615264773 0.281115

5 ,

5 ,

1 2

 1 

5  

11...