Practica 2 Mathematica 14 15 PDF

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Práctica 2 Funciones de varias variables El estudio de funciones y el cálculo diferencial es uno de los aspectos de mayor importancia del Cálculo, con multitud d aplicaciones prácticas, sobre todo a la hora de interpretar resultados. El objetivo de esta práctica es introducir al alumno en e estudio de funciones de varias variables. En esta práctica, veremos cómo definir funciones de varias variables y cóm Mathematica permite realizar operaciones elementales como una extensión directa de lo conocido para funciones de un variable. Además aprenderemos a realizar derivadas parciales y a representar gráficos de funciones.

1. Definición de funciones. Una función real de una variable real es una aplicación que asocia a cada elemento de su dominio en R uno y sólo u elemento de R. Como regla general, las funciones suelen denotarse como f(x). Mathematica tiene internamente definidas algunas de las funciones más conocidas. Así por ejemplo, citamos las siguiente funciones: è Sin[x], Cos[x], Tan[x], ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x] (las funciones trigonomértricas y sus inversas). è Exp[x] ó E^x (la función exponencial). è Log[x] (el logaritmo neperiano) y Log[a,x] (el logaritmo en base a). è Abs[x] (el valor absoluto de x). Sin embargo, en ocasiones necesitamos trabajar con otras funciones. Mathematica permite hacerlo de la siguiente manera: èfuncion[variable]:=expresion De esta forma, si queremos definir la función f(x) =x2 - 4x + 8, escribiremos lo siguiente f:R®R f@x_D := x ^ 2 - 4 x + 8

NOTA: Observa la barra de subrayado justo detrás de la x y los dos puntos antes del igual. También date cuenta que el operador ^ se ha utilizado para representar una potencia. Ahora, si queremos saber qué valor tiene la función en un determinado punto, por ejemplo en x=4, haremos f@4D

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La definición de funciones de varias variables es una extensión natural de la definición de funciones de una variable. Las funciones definidas en Rn que toman valores reales, es decir f: Rn ® R, n > 1, son llamadas Campos escalares. Campo escalar en R2 : f : R2 ® R f@x_, y_D := 3 * x + y + 2 - x * y

2

Ma t h e m a t ica 2 . n b

f@4, 3D

5

Campo escalar en R3: f : R3 ® R f@x_, y_, z_D := 3 x * z + y ^ 5 + 2 - x * y

f@4, 3, 2D

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f@a, b, cD

2 - a b + b5 + 3 a c

2. Operaciones con funciones. Si tenemos varias funciones podemos operar con ellas, sumándolas, restándolas, multiplicándolas o dividiéndolas. As vamos a definir cuatro nuevas funciones con las que luego haremos diversas operaciones. f1@x_ D :=

f2@x_ D :=

x4 + 5 x2 4x+3

x 2x+1

x4 + 5 x2 g1@x_, y_D := 4y

x g2@x_, y_D := 2y

Para sumar las funciones f1 y f2, basta escribir f1@xD + f2@xD 5 x2 + x4

x + 1+2x

3+4x

Observamos que el resultado es justo lo que queríamos. Ahora bien, si lo que queremos es dar con la expresión simplificad de esa suma esto puede conseguirse con la función Factor. Esta función lo que hace es factorizar el resultado anterior poniendo las dos fracciones como una única con denominador común y simplificando el resultado, si es que es posible.

Ma t h e m a t ica 2 . n b

3

Factor@f1@xD + f2@xDD x I3 + 9 x + 10 x2 + x3 + 2 x4 M H1 + 2 xL H3 + 4 xL

Para restar las funciones f1 y f2 se procede de la misma forma que con la suma, lo único que ahora utilizando el operador en lugar del operador +. Podemos hacer las mismas operaciones con funciones de varias variables. Veamos: g1@x, yD + g2@x, yD 5 x2 + x4

x + 2y

4y

Para simplificar el resultado usaremos la función Simplify, que trata de buscar la forma más sencilla de expresar el resultado Simplify@%D

x I2 + 5 x + x3 M 4y

Además de sumar y restar, podemos multiplicar las funciones f1@xD * f2@xD x I5 x2 + x4 M H1 + 2 xL H3 + 4 xL

Simplify@%D

x3 I5 + x2 M 3 + 10 x + 8 x2

g1@x, yD * g2@x, yD x I5 x2 + x4 M 8 y2

Simplify@%D

x3 I5 + x2 M 8 y2

4

Ma t h e m a t ica 2 . n b



Para dividir funciones se utiliza el operador / o la opción equivalente de la paleta BasicInputs. f1@xD f2@xD H1 + 2 xL I5 x2 + x4 M x H3 + 4 xL

H1 + 2 xL I5 x2 + x4 M x H3 + 4 xL

Simplify@%D

x H1 + 2 xL I5 + x2 M 3+4x

x H1 + 2 xL I5 + x2 M 3+4x

Nótese que sólo hemos hallado la expresión correspondiente a la suma, la resta, la multiplicación o la división para determi nadas funciones. Lo que no hemos hecho ha sido crear funciones específicas que tengan dichas expresiones. Esto es impor tante porque si ahora quisiéramos saber cuánto vale por ejemplo f1+f2 cuando x vale 4, tendríamos que hacer f1@4D + f2@4D

3100 171

La otra opción pasa por definirnos la función suma sf y luego evaluar en 4. Observa la diferencia con respecto al procedimiento anterior. sf@x_ D := f1@xD + f2@xD

sf@4D

3100 171

3. La derivada. El cálculo de derivadas tiene múltiples aplicaciones. Como sabemos, existen reglas bien definidas para realizar una derivad y, de hecho, podemos encontrar la derivada de cualquier función que pueda expresarse en términos de las funciones elemen tales conocidas. Mathematica nos permite obtener la derivada de una función con la instrucción èD[f,x] donde f, es la función que queremos derivar y x la variable de la que depende la función.

Ma t h e m a t ica 2 . n b

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D@Sin@xD, xD

Cos@xD

Si tenemos definida una función f[x] podemos hallar su derivada utilizando la comilla simple ' en la expresión f'[x], como s hace habitualmente en la notación matemática. f@x_D := Sin@xD

f '@xD

Cos@xD

Hay ocasiones en las que interesa calcular derivadas de orden superior a 1. Mathematica lo hace con la orden èD[f,{x,n}] donde f indica la función, x la variable de la que depende la función y n el orden de derivación. D@E ^ x Sin@xD, 8x, 2...