Taller Aplicación DE Mathematica PDF

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Practica de wolfram mathemathica...

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TALLER DE MATHEMATICA SEBASTIAN BENAVIDES CALCULO DIFERENCIAL Utilice comandos de Mathematica como D, Piecewise, Abs, Plot, ContourPlot, Show, Manipulate, Table, Dt. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones : 1. f (x) = 3 x2 + 1 D[3 x ^ 2 + 1, x] deriva

2. g (x) = 1  x3 D1  x^3, x deriva

x4

Evalúe la derivada en el punto dado x : 3. f (x) = (x - 1) (x + 1) en x = 1 Dx - 1 x + 1, x /. {x → 1} deriva

4. g (x) = D x + 1  deriva

x +1

x - 1 en x = 9

x - 1, x /. {x → 9}

4 27

Calcule la derivada de las siguientes funciones : 5. f (x) = | x + 3 |

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D[ Piecewise[{{-x - 3, x < 0}, {x + 3, x ≥ 0}}], x] ⋯ función a trozos -1 x0 Indeterminate True

6. g (x) =

x2 - 4

D[ Piecewise[{{-x^2 + 4, x < 0}, {x^2 - 4, x ≥ 0}}], x] ⋯ función a trozos -2 x x0 Indeterminate True

7. Hallar la ecuación de la recta tangente a x - y 2 = 0 en el punto P(9, -3), y graficar tanto la ecuación como su recta tangente. In[165]:=

f[x_, y_] := x - y^2

In[227]:=

D[f[x, y], x] /. {x → 9, y → - 3} deriva

Out[227]=

In[237]:=

1 Solve1 x - 9 ⩵ y - - 3, y resuelve

Out[237]=

In[238]:=

{{y → -12 + x}} Manipulate[ Plot3D[{x - y^2, x - r^2 + 1 r * (x - r)}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}], {r, -4.9, 4.9}] manipula

representación gráfica 3D

r 0

Out[238]=

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8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y es tangente a la gráfica de y = x 2. Construya un aplicativo con Manipulate que tenga como parámetro la pendiente de la recta y así verifique que el valor hallado sí corresponde. In[207]:=

D[y - x^2, x] /. {x → 2, y → - 3} deriva

Out[207]=

In[208]:=

-4 Solve-4 x - 2 ⩵ y - - 3, y resuelve

Out[208]=

In[206]:=

{{y → 5 - 4 x}} Plot3D[{y - x^2, 5 - 4 x}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}] representación gráfica 3D

Out[206]=

In[224]:=

Manipulate[ Plot3D[{y - x^2, y - r^2 - 4 r * (x - r)}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}], {r, -4.9, 4.9}] manipula

representación gráfica 3D

r 0

Out[224]=

9. Sea f (x) = 1/x.

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9.1. Construya una tabla que muestre sus primera 6 derivadas. In[245]:=

f[x_] = 1  x;

In[241]:=

f'[x]

Out[241]=

In[242]:=

-

1 x2

f''[x] 2

Out[242]=

In[243]:=

Out[243]=

In[244]:=

x3 f'''[x] -

6 x4

f''''[x] 24

Out[244]=

In[246]:=

Out[246]=

In[247]:=

x5 f'''''[x] -

120 x6

f''''''[x] 720

Out[247]=

x7

9.2. Cómo es la décima derivada de f[x]? In[249]:=

f''''''''''[x] 3 628 800

Out[249]=

x11

9.3. Obtenga una fórmula general para la enésima derivada de f[x]. In[257]:=

g[x_] = u / x;

In[259]:=

g'[x]

Out[259]=

In[258]:=

-

u x2

g''[x] 2u

Out[258]=

x3

10. Realice el procedimiento anterior para f[x] = xSin[x]. 10.1. Construya una tabla que muestre sus primeras 6 derivadas. In[261]:=

h[x_] = x Sin[x]; seno

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In[274]:= Out[274]=

In[263]:= Out[263]=

In[264]:= Out[264]=

In[265]:= Out[265]=

In[266]:= Out[266]=

In[267]:= Out[267]=

h'[x] x Cos[x] + Sin[x] h''[x] 2 Cos[x] - x Sin[x] h'''[x] -x Cos[x] - 3 Sin[x] h''''[x] -4 Cos[x] + x Sin[x] h'''''[x] x Cos[x] + 5 Sin[x] h''''''[x] 6 Cos[x] - x Sin[x]

10.2. Cómo es la décima derivada de f? In[268]:= Out[268]=

h''''''''''[x] 10 Cos[x] - x Sin[x]

10.3. Obtenga una fórmula general para la enésima derivada de f. In[291]:=

j[x_] = m[x] * n[x];

In[292]:=

j'[x]

Out[292]=

In[293]:= Out[293]=

n[x] m′ [x] + m[x] n′ [x] j''[x] 2 m′ [x] n′ [x] + n[x] m′′ [x] + m[x] n′′ [x]

2 2 2 11. Grafique x2 + y2  = x - y  + 2, para - 4 ≤ x ≤ 4 y - 4 ≤ x ≤ 4.

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In[318]:=

Show ContourPlotx^2 + y^2^2 ⩵ x^2 - y^2 + 2, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, mues ⋯representación de contornos ContourStyle → Red, ContourPlot[{1 y + 1, -1 y + 1}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}] estilo de contorno

rojo

representación de contornos

4

2

0 Out[318]=

2

-4 -4

-2

0

2

4

La derivada implícita de la función es igualada a cero, ya que las pendientes deben ser cero para que puedan ser horizontales. El resultado es x^2 - 1 = 0 In[319]:=

Solve[x^2 - 1 ⩵ 0, x] resuelve

Out[319]=

{{x → -1}, {x → 1}}

Las tangentes horizontales se ubican en x = -1 y x = 1

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