Wolfram Alpha-praktyczny-przewodnik do obliczeń PDF

Preview

Summary

jest to poradnik autorstwa etrapeza, zawierający najpotrzebniejsze funkcje strony wolfram alpha...

Description

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Kilka stron obliczeń jednym kliknięciem

eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning

Spis treści

WolframAlpha – do czego może Ci się to przydać? O mnie I. Wstęp. Formuły matematyczne. II. Macierze.

4 5 6 11

II.1. Wpisywanie macierzy do WolframAlpha ogólnie. II.2. Podstawowe działania na macierzach. II.3. Wyznaczniki macierzy. II.4. Macierz odwrotna. II.5. Rząd macierzy. II.6. Układy równań liniowych. II.7. Inne.

11 12 16 16 17 17 19

III. Liczby Zespolone.

20

III.1. Wpisywanie liczb zespolonych do WolframAlpha ogólnie. III.2. Podstawowe działania na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej/algebraicznej. III.3. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej.

IV. Geometria Analityczna. IV.1. Działania na wektorach. IV.2. Płaszczyzny. IV.3. Proste.

V. Granice. VI. Pochodne funkcji. VII. Badanie przebiegu zmienności funkcji. VIII. Całki nieoznaczone. IX. Całki oznaczone, niewłaściwe izastosowaniacałek. X. Funkcje wielu zmiennych. X.1. Pochodne cząstkowe. X.2. Ekstrema funkcji. X.3. Dziedzina funkcji. X.4. Funkcje uwikłane.

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

20 20 27

34 34 40 41

42 45 47 54 55 64 64 65 66 68

Spis treści

Strona 3

XI. Całki wielokrotne. XI.1. Całki podwójne. XI.2. Całki potrójne.

70 70 72

XII. Elementy teorii pola.

73

XII.1. Gradient. XII.2. Dywergencja. XII.2. Rotacja. XII.3. Laplasjan.

73 74 75 76

XIII. Równania różniczkowe. XIV. Szeregi. XIV.1. Szeregi liczbowe. XIV.2. Szeregi funkcyjne. XIV.3. Szeregi Taylora i Maclaurina.

XV. Prawdopodobieństwo. Streszczenie fraz do wpisywania w WolframAlpha.

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

77 80 80 81 83

85 88

WolframAlpha – do czego może Ci się to przydać?

WolframAlpha to darmowy obliczeniowy silnik wiedzy. Działa w prosty sposób – wpisujesz do niej pytanie, wciskasz ENTER i masz odpowiedź. WolframAlpha radzi sobie doskonale z zapytaniami matematycznymi i to bardzo zaawansowanymi. Może więc posłużyć Ci jako niezawodny kalkulator, którym policzysz wszelkie macierze, całki i równania. Policzysz właściwie wszystko, co potrzebne na studiach! Jak masz to zrobić? 1.

Wchodzisz na stronę www.wolframalpha.com

2.

Wpisujesz, co chcesz policzyć

3.

Masz rozwiązanie

WolframAlpha przyjmuje zapytania w języku angielskim, więc w przypadku bardziej złożonych obliczeń, krok 2 może sprawiać trochę kłopotów. Dlatego właśnie napisałem ebooka „WolframAlpha Praktyczny przewodnik”, dzięki któremu nauczysz się wszystkich komend potrzebnych do tego „kalkulatora”.

UWAGA! Nie można mylić WolframAlpha z Google. Google przeszukuje internet i w odpowiedzi na Twoje zapytanie podaje Ci linki do różnych stron. WolframAlpha nie przeszukuje Internetu, tylko sam podaje Ci gotową odpowiedź, korzystając z własnych zasobów.

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

O mnie

Nazywam się Krystian Karczyński i od wielu lat pomagam studentom z matematyką. Zaczynałem jako korepetytor, później zacząłem tworzyć matematyczne Kursy Video i publikować je w Internecie. Jak się szybko okazało, na moje Kursy jest wśród studentów ogromne zapotrzebowanie i mogłem pomóc już tysiącom z nich w uporaniu się z matematyką na studiach. Prowadzę również bloga z poradami dla studentów, jestem na:

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

I. Wstęp. Formuły matematyczne.

Na początku wejdź na stronę www.wolframalpha.com i wpisz kilkanaście nudnych, rozgrzewkowych przykładów, typu:

2+2

4-6+7-10+0-1

Aby otrzymać wynik kliknij na ENTER lub ikonkę

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

.

Rodział I. Wstęp. Formuły matematyczne.

Mnożenie wpisujesz znakiem

Strona 7

:

*

3*(-11)

Do dzielenia używasz znaku

/

:

100/10

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział I. Wstęp. Formuły matematyczne.

Potęgi oznaczasz znakiem

^

Strona 8

:

3^7

Pierwiastki drugiego stopnia wpisujesz jako

sqrt(…)

(gdzie w miejsce trzech kropek

wpisujesz, z czego chcesz policzyć pierwiastek), a wyższych stopni jako odpowiednią potęgę (jakwiesz, np.

);

sqrt(2)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział I. Wstęp. Formuły matematyczne.

16^(1/4)

W ułamkach dziesiętnych używasz koniecznie KROPKI, a nie przecinka:

(2.5+4.7)/1.78

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Strona 9

Rodział I. Wstęp. Formuły matematyczne.

Strona 10

W przypadku wpisywania bardziej złożonych formuł zwracaj wielką uwagę na nawiasy, które decydują o kolejności działań, np. jeśli chcesz wpisać w WolframAlpha

DOBRZE

sqrt(x/y)

ŹLE

sqrt(x)/y

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

:

II. Macierze.

II.1. Wpisywanie macierzy do WolframAlpha ogólnie.

Macierze generalnie wpisujemy do WolframAlpha korzystając ze znaczków

{…}

{{ELEMENTY WIERSZA 1 PRZEDZIELONE PRZECINKAMI}, {ELEMENTY WIERSZA 2 PRZEDZIELONE PRZECINKAMI },…}

Np. aby wpisać do WolframAlpha macierz

{{2,3,4},{-1,10,0}}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

wpisujemy:

:

Rodział II. Macierze.

Strona 12

II.2. Podstawowe działania na macierzach. Aby dodać macierze używasz po prostu znaku

+

:

{{5,1,-1},{0,7,11},{2,8,14}}+{{3,4,-17},{2,9,0},{3,-3,-3}}

Aby odjąć macierze używasz znaku

-

:

{{3,1},{6,7},{0,0},{4,-6}}-{{1,1},{4,-3},{-1,-1},{0,2}}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział II. Macierze.

Strona 13

Aby pomnożyć macierz przez liczbę używasz znaku

:

*

2*{{1,0,2},{0,1,0},{3,-1,0}}

Aby pomnożyć macierz przez macierz używasz znaku

{{-1,2,4},{0,5,5}}*{{1,1,1,0},{2,1,-1,-2},{0,2,6,7}}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

*

:

Rodział II. Macierze.

Strona 14

Tutaj trochę gorzej i wchodzi angielski. Trzeba użyć słowa

transpose(…)

:

transpose({{2,-4,7},{-5,1,8},{-3,2,-1},{0,-3,5}})

Aby podnieść macierz do potęgi używasz znaku

^

:

{{1,3},{8,5}}^2

W WolframAlpha możesz oczywiście wpisywać złożone formuły, pamiętając jednak o nawiasach wodpowiednich miejscach.

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział II. Macierze.

Strona 15

Liczymy

:

({{4,3},{-1,2}}*transpose{{-2,-1},{0,2}}-{{3,-1},{2,1}})*{{2,5},{4,-1}}-{{2,-2},{1,

Liczymy

:

transpose({{-1,3,7},{2,-3,4}}*{{2,-4},{0,3},{1,2}})

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział II. Macierze.

Strona 16

II.3. Wyznaczniki macierzy. Wyznacznik macierzy policzysz używając frazy

det

det{{2,-1,4},{0,3,1},{5,5,5}}

II.4. Macierz odwrotna. Korzystasz z frazy

inv

:

inv{{1,0,2},{0,-1,-2},{3,4,1}}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

:

Rodział II. Macierze.

Strona 17

II.5. Rząd macierzy.

Używasz frazy

:

rank

Chcesz obliczyć rząd macierzy

:

rank{{-1,2,3,-1,4},{2,2,0,-2,3},{1,1,2,3,-1},{4,4,0,-4,6}}

II.6. Układy równań liniowych.

Równania przedzielone przecinkiem wpisujemy w nawiasy

używając słowa

{…}

solve

solve{RÓWNANIE 1, RÓWNANIE 2,…}

Zmienne x1, x2, x3,... wpisujemy jako x1, x2, x3,...

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział II. Macierze.

Strona 18

solve{5x1+7x2-4x3=8, 3x1+4x2+x3=0, 7x1+2x2-3x3=0}

solve{x+y=7, x-3y=11, 2x+y=0}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział II. Macierze.

Strona 19

II.7. Inne. Wpisując samą macierz w WolframAlpha otrzymamy automatycznie dane o jej:

{{-14,-2},{7,3}}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

III. Liczby Zespolone.

III.1. Wpisywanie liczb zespolonych do WolframAlpha ogólnie.

Liczby zespolone wpisujesz do WolframAlpha „normalnie” w postaci kartezjańskiej/ algebraicznej, tzn. np.: 2+5i.

III.2. Podstawowe działania na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej/algebraicznej.

Dodajesz i odejmujesz wpisując liczby zespolone w nawiasie i używając znaków: +

i

-

(6-4i)+(-3+10i)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 21

(-3-8i)-(-1+i)

Mnożysz lub dzielisz wpisując liczby zespolone w nawiasie i używając znaku: *

lub

/

(-1+4i)*(2+2i)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 22

(3-3i)/(-1-9i)

Potęgujesz liczby zespolone używając znaku

^

(3+(1/2)i)^4

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

:

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 23

Pierwiastki drugiego stopnia liczysz podnosząc do potęgi ½, czyli

lub formułą

sqrt(…)

^(1/2)

:

sqrt(3-4i)

Pierwiastki wyższych stopni liczysz podnosząc do odpowiedniej potęgi

(1+i)^(1/4)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 24

UWAGA! WolframAlpha pokazuj tylko jeden pierwiastek z liczby, a tych, jak wiadomo, jest tyle, ile stopni pierwiastka. Aby WolframAlpha obliczył wszystkie możliwe pierwiastki, zamiast pierwiastka można wpisać równoważne mu równanie zespolone, używając frazy Zamiast Zamiast

solve(…)

czyli:

wpisać: wpisać:

Moduł liczby zespolonej Wpisujesz liczbę zespoloną w pionowe nawiasy klawiaturze), lub używając frazy

|...|

modulus(…)

modulus(7+4i)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

:

(możesz je znaleźć u siebie na

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 25

Sprzężenie liczby zespolonej Używasz frazy

conjugate(...)

:

conjugate(2+10i)

Równania zespolone w postaci kartezjańskiej Wpisujesz równanie wraz z frazą (jeśli jest taka potrzeba) frazami

. Części rzeczywiste i urojone oznaczasz

solve(…) Re(…)

i

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Im(…)

.

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 26

solve(|z|+z=1+2i)

solve(z^2+conjugate(z)=-i*Im(z))

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 27

III.3. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej.

Przekształcanie na postać trygonometryczną Aby przekształcić liczbę na postać trygonometryczną, wpisujesz ją po prostu do WolframAlpha iodczytujesz moduł (oznaczony znakiem

) i argument liczby (oznaczony jako

) z rozdziału

„Polar coordinates”.

-1-sqrt(3)i

Wiadomo, że liczba zespolona ma postać: przekształcić odpowiednie kąty (np.

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

, musisz też odpowiednio ).

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 28

Działania na liczbach w postaci trygonometrycznej

Używasz tych samych znaków pamiętając o nawiasach. Liczbę

+-*/^

, co w postaci kartezjańskiej/algebraicznej,

wpisujesz jako

pi

. Wynik otrzymujesz w postaci

kartezjańskiej, ale możesz odczytać współczynniki do postaci trygonometrycznej z pola „Polar coordinates”:

2(cos((pi)/6)+isin((pi)/6)*4(cos((pi)/4)+isin((pi)/4)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 29

Bardziej złożone działania

Wpisujesz działanie po prostu w WolframAlpha. Np. kiedy chcesz policzyć

((-sqrt(3)-i)^13)/((-1+sqrt(3)i)^4)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

wpisujesz:

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 30

Równania wielomianowe Wpisujesz równanie w WolframAlpha i rozwiązania równania odczytujesz z pól „Real solutions” i „Complex solutions”.

z^2-4z+13=0

(1+i)z^2-(5+i)z+10=0

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 31

x^4+5x^3+4x^2-24x-24=0

Liczby zespolone na płaszczyźnie Żeby zobaczyć reprezentację geometryczną liczby zespolonej na płaszczyźnie wystarczy wpisać ją i sprawdzić pole „Position in complex plane”:

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 32

7-10i

Postać wykładnicza liczby zespolonej Aby odczytać postać wykładniczą liczby zespolonej wpisujesz ją i odczytujesz moduł (oznaczony znakiem

) i argument liczby (oznaczony jako

) z rozdziału „Polar coordinates”.

Wiesz, że liczba zespolona ma postać: odpowiednie kąty (np.

, musisz też odpowiednio przekształcić ).

Równania wpisujemy w nawiasie z frazą

solve(…)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

:

Rodział III. Liczby Zespolone.

Strona 33

solve((conjugate(z))^6=8z*(conjugate(z))|z|)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

IV. Geometria Analityczna.

Uwagi ogólne o wpisywaniu wektorów Wektory

generalnie

wpisujesz

w

nawiasach

{…}

np.

{-1,2,3}

.

W niektórych przypadkach (odejmowanie) możesz trochę pomóc WolframAlpha, wpisując frazę

, np.

vector{…}

vector{-1,2,3}

.

IV.1. Działania na wektorach.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez stałą wpisujesz normalnie w WolframAlpha przy pomocy symboli

+

,

-

wektory trzeba użyć dodatkowo frazy

i

*

. Jedynie w przypadku odejmowania wpisując

vector

vector{10,-4,2}-vector{2,5,1}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

, żeby WolframAlpha „zrozumiał”:

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 35

Mnożenie skalarne oznaczasz znakiem

.

.

Mnożenie wektorowe oznaczasz znakiem

x

:

{-4,5,11}.{2,1,3}

{0,2,1}x{-2,3,1}

Mnożenie mieszane to (z definicji) mnożenie skalarne iloczynu wektorowego przez inny wektor, musisz tylko uważać, gdzie dajesz nawiasy (najpierw musi być wektorowe, później skalarne). Na przykład jeśli chcesz policzyć iloczyn mieszany wpisujesz:

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

, gdzie

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 36

{3,3,-3}.({5,-2,11}x{2,2,0})

Możesz również, jak wiesz, wpisać jego współrzędne w wyznacznik:

det({3,3,-3},{5,-2,11},{2,2,0})

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 37

Długość wektora Fraza:

length vector{…}

length vector{3,4,10}

Kąt pomiędzy wektorami Używasz frazy

VectorAngle {…} {…}

i współrzędnych wektorów w nawiasach:

VectorAngle {3,3,1} {4,5,-12}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 38

Wektor kierunkowy Używasz frazy

unitvector {…}

i podajesz współrzędne wektora, do którego

kierunkowy chcemy wyliczyć:

unitvector {-1,-2,-4}

Rzut wektora na inny wektor (lub oś o kierunku wektora) Używasz frazy:

UWAGA! projection {wektor KTÓRY RZUCAMY} onto {wektor NA KTÓRY RZUCAMY}

projection {1,-2,0} onto {7,8,-2}

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

Kolejność wpisywania frazy ma znaczenie

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 39

Dane o trójkącie Wpisujemy frazę

triangle (…) (…) (…)

punktów-wierzchołków. Z wyniku możemy odczytać:

triangle (2,3,-1) (-4,5,10) (2,-2,4)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

i w zwykłych nawiasach współrzędne

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 40

IV.2. Płaszczyzny.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty lub wektory Używasz frazy

plane

. Współrzędne wektora wpisujesz razem z frazą

współrzędne punktów w nawiasach, albo – jeśli trzeba – z frazą

plane (2,2,4) (-1,3,5) (5,10,0)

plane vector{3,4,-1} vector{5,5,2} through(0,0,1)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

through

vector

:

,

Rodział IV. Geometria Analityczna.

Strona 41

IV.3. Proste.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty Używasz frazy

line

. Współrzędne punktów wpisujesz w nawiasach

Otrzymujesz wynik w postaci parametrycznej.

line (3,2,4) (-1,4,10)

www.etrapez.pl

edukacja przyszłości dzisiaj

(…)

V. Granice.

Wpisujesz frazę:

limit {DOLNY INDEKS GRANICY (TO, CO JEST POD lim) } WYRAŻENIE, Z KTÓREGO GRANICĘ LICZYMY

Zamiast pisać „n dąży do nieskończoności” używasz strzałki ze znaków albo frazy

to

. Nieskończoność to

infinity

...