Notas de polinomio resuelto PDF

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Facultad de matemáticas-UADY M.C. Isabel Tuyub

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Definición: Un polinomio es una expresión de la forma

a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn Donde

a 0 , a1 , a 2 ,..., an ∈ C

, son números complejos

Al símbolo x se le llama indeterminada

a0 , a1 , a2 ,..., an

son los coeficientes.

Se llama término de un polinomio a cada uno de los elementos formados por un signo operatorio (± ), un

≠ 0 ) y una indeterminada elevada a un exponente (x i ) . ai x Nota: En un polinomio, la x no puede aparecer en el denominador ( i ), como exponente (+ ai ) ni dentro x 1/ 2 de un radical ( + ai x ). coeficiente distinto de cero ( ai

Ejemplos de polinomios:

# Términos (cuyos coeficientes son distintos de cero)

x2 + 5 7x 3 + ix 2 + (i − 1) x + (− 2i )

2 4

8i

1 porque

8i = 8ix 0

Nota: En la práctica se pueden hacer las siguientes simplificaciones al escribir un polinomio: 0 a) Escribir a0 en lugar de a0 x

b) Escribir x en lugar de c) Escribir d) Escribir

x1 x k en lugar de 1xk − ak x k en lugar de + (− ak ) xk

e) Omitir los términos cuyos coeficientes sean cero. Ejemplo: En lugar de escribir Se acostumbra escribir

− 3x 0 + 4x1 + 0x 2 + 1x3 + ix 4 + (− 2) x5 − 3 + 4x + x 3 + ix 4 − 2 x 5

Definición: El polinomio cuyos coeficientes son todos cero se llama polinomio cero o polinomio nulo (0). Definición. El grado de un polinomio no nulo grad(p) es el mayor exponente de todos los términos diferentes de cero. Ejemplo: Grad( 7 x − 5ix − i )= 3 3

El grado de

2x

es 1

El grado de − i es 0 por que se puede escribir como − i = −ix POLINOMIOS COMO FUNCIONES Podemos considerar a los polinomios como funciones:

f ( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an x Entonces

n

2 f ( c) = a0 + a1c + a2 c + ... + an cn , ∀ c ∈ C

0

2

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Facultad de matemáticas-UADY M.C. Isabel Tuyub Por ejemplo: Sea

f ( x ) = x 2 + (2 + i ) x − 1

Entonces:

f (0) = 0 2 + (2 + i)0 −1 = −1 ∈ C f (1) = 12 + (2 + i)1 − 1 = 2 + i ∈ C f ( i) = i2 + ( 2 + i) i −1 = −3 + 2 i ∈ C

SUMA Y PRODUCTO DE POLINOMIOS Sean loa polinomios n

f ( x) = a 0 + a 1x + a 2x2 + ... + an x n Î f ( x ) = ∑ ak x k k =0

n

g( x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn

Î g (x )

= ∑ bk x k k =0

Se define la suma por Visto de manera intuitiva:

( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) = (a 0 + a 1x + a 2x 2+ ...+ a n x n ) + (b0 + b1x + b2 x 2 + ... + bn x n )

f ( x) + g ( x) = ( a 0 + b0) + ( a 1 + b1) x + ( a 2 + b2) x2 +... + ( an + bn ) x n Visto de manera formal: n

n

( f + g)( x) = ∑ ak xk + ∑ bk xk k= 0

k= 0

n

f (x ) + g (x ) = ∑ (ak + bk )x k k =0

Ejemplo:

f (x ) = x 2 + ( 2 + i )x − 1Î f (x ) = 0x 3 + x 2 + (2 + i ) x − 1 3 2 ( f + g )( x) = (0 + 1) x + (1 + 0) x + (2 + i − i) x + (−1 + 4) g (x ) = x 3 − ix + 4 Î g (x ) = x 3 + 0x 2 − ix + 4

= x 3 + x 2 + 2x + 3 Se define el producto por Visto de manera intuitiva:

fg ( x ) = f ( x) g ( x ) = (a0 + a1x + a2 x 2 + ... + an x n )(b0 + b1x + b2 x 2 + ... + bn x n ) fg (x ) = f (x )g (x ) = (a 0b0 ) + (a 0b1 + a1b 0 )x + (a 0b2 + a1b1 + a 2b0 )x 2 + ... Visto de manera formal: Sean

n

f ( x) = ∑ ak x k k =0

y

m

g ( x) = ∑ bk xk k= 0

n n ( fg )(x ) = ⎛⎜ ∑ ak x k ⎞⎟⎛⎜ ∑ b k x k ⎞⎟ ⎝ k=0 ⎠⎝ k = 0 ⎠ como ak y bk ∈ C, por distributi va n

n

n

f (x )g (x ) =a 0 ∑b k x k +a 1x ∑b kx k +... + a nx n ∑ b k x k k =0 n

k =0 n

k =0 n

f (x )g (x ) =a 0 ∑b k x +a 1x ∑b kx +... + a nx ∑ b k x k k =0

k

k =0

k

n

k =0

Asociando los tér min os que corresponden a una misma potencia fg (x ) = a0b0 + (a0b1 + a1b0 )x + (a0b2 + a1b1 + a2b0 )x + .. + anbm x 2

n +m k

Expresado en forma compacta : fg ( x ) = ∑ ∑ a j bk − j x k k= 0 j = 0

n+ m

de x y factorizando :

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Proposición 1: El grado de la suma de dos polinomios no nulos, con grad(f)=n y grad(g)=m es: Si n>m entonces grad(f+g)=n.

Si los grados de los sumando son diferentes, entonces el grado de

Si m>n entonces grad(f+g)=m

la suma será el grado mayor de éstos.

Si n=m entonces grad(f+g)≤n Ejemplo Es de grado 2

f ( x) = − x2 + 5 x − 7 g ( x) = x2 − 5 x + 9 ( f + g )( x) = 2

Es de grado 2

Gradosiguales

Es de grado 1

Proposición 2. El grado del producto de dos polinomios no nulos es la suma de los grados de los factores. Ejemplo

f (x ) = 2x 3 − 5x − 1 g (x ) = x + 1

grad(f)=3 grad(g)=1

f ( x) g ( x) = ( 2 x3 − 5 x −1)( x + 1) = 2 x 4 − 5x 2 − x + 2 x 3 − 5 x − 1

grad (fg)=3+1=4

= 2 x + 2x − 5x − 6 x − 1 4

3

2

POLINOMIO COMO DOMINIO ENTERO (ACTIVIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN)

Teorema. (P,+,*) es un dominio entero

P. D. Si

f ( x ) ≠ 0, g ( x) ≠ 0 ⇒ f (x )g (x ) ≠ 0

Si f ( x) ≠ 0 ⇒ grad( f ) > 0 Si g( x) ≠ 0 ⇒ grad( g ) > 0

grad( fg) = grad( f ) + grad ( g ) Sustituyendo : grad ( fg ) > 0 ⇒ grad ( fg ) ≠ 0 ⇒ f ( x) g ( x ) ≠ 0 ∴ ( P,+ ,.) es un do min io entero. POLINOMIOS COMO ANILLO CONMUTATIVO Si f(x), g(x) y h(x) son polinomios en x con coeficientes en los complejos, entonces Cumple las siguientes propiedades: •

Cerradura de la suma y la multiplicación:

Si f ( x) ∈ P y g( x) ∈ P ⇒ f (x ) + g (x ) ∈ P y f (x )g (x ) ∈ P •

Conmutatividad:

f (x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x) f ( x )g ( x ) = g ( x ) f ( x) •

Asociatividad:

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f ( x ) + ( g ( x ) + h ( x )) = ( f ( x) + g ( x )) + h( x ) f (x )( g ( x )h ( x )) = ( f ( x) g ( x)) h( x) •

Elemento neutro de la suma

Existe un polinomio θ (x ) tal que:

f ( x ) + θ ( x ) = f ( x) •

Elemento inverso de la suma

Existe un polinomio m(x) tal que:

f ( x ) + m( x ) = θ ( x), donde m( x ) = − f ( x ) •

Elemento neutro de la multiplicación

Existe un polinomio I(x) tal que:

f ( x) I ( x) = f ( x) •

Propiedad Distributiva

f ( x )( g (x ) + h ( x )) = f ( x ) g ( x) + f ( x) h( x ) DIVISIBILIDAD EN POLINOMIOS La divisibilidad de los polinomios es parecida a la divisibilidad de los números enteros. Recordemos que b|a si a=bq, para algún q en los enteros, donde a,b son enteros y b≠0. Definición. Se dice que el polinomio

f (x ) | g ( x ) ⇔ g ( x ) = f ( x ) h ( x )

para algún polinomio h(x).

Se dice que g(x) es divisible entre f(x) o bien, g(x) es múltiplo de f(x). Ejemplo: Tenemos que

( x − 2) | ( x 2 − 5 x + 6)

porque

x 2 − 5x + 6 = (x − 2)[x − 3]

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN PARA POLINOMIOS Pero también recuerda que dados dos números enteros, no siempre es posible que sean divisibles, pero siempre es posible encontrar un residuo al utilizar el algoritmo de la división: Si b|a entonces a=bq+r, donde r...