Integrales Superficie PDF

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´ Universidad Tecnica Federico Santa Mar´ ıa ´ Centro Integrado de Aprendizaje de Ciencias Basicas Campus Santiago 2019-2

Integrales de Superficie

Problema 1. El ´area de la porci´ on del cono z = √ es 4π 2.¿C´ ual es el valor de a?.

√ x2 + y2 encerrado dentro del cilindro x2 + y2 = ay, a > 0,

Problema 2. Sea f (x, y, z) = x y S la superficie correspondiente al trozo de cilindro parab´ olico z = x2 , limitado por los planos y − z = 1, y − z = 13 y x + z = 2. Calcule ∬ f (x, y, z)dS. S

Problema 3. Rotamos la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje y. Use integrales de superficie para demostrar que el ´area de la superficie generada de este modo(superficie de revoluci´ on) est´a dada por A = 2π ∫

b a

√ ∣x∣ 1 + ∣f ′ (x)∣2 dx

Use lo anterior para calcular el a´rea de la superficie obtenida haciendo girar la curva y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1,alrededor del eje y. Problema 4. La curva (t, 0, et ), con 0 ≤ t ≤ 1, se gira entorno a eje z,obteniendo de esta manera una superficie S en R3 .√Calcule la coordenada z del centro de masa de S, si la densidad en cada punto (x, y, z ) de la superficie es 1 + z 2 . Problema 5. Hallar ∬ f (x, y, z)dS, donde f (x, y, z) = xy + 1 y S es la parte del paraboloide z = x2 + y2 S que est´a en el interior del cilindro x2 + y2 = 4. Problema 6. Cosidere la superficie S correspondiente a la porci´ on de esfera x2 + y2 + (z − 2)2 = 4 que se encuentra por debajo del paraboloide x2 + y2 = 3z . Calcule el ´area de la superficie S . Problema 7. Sea S la superficie correspondiente al trozo del plano x + 2y + 2z = 4 que queda encerrado entre los planos x = 0, y = x + 2 2 y = 2x. Calcule el momento de inercia de la superficie S respecto de la recta L, paralela al eje z, que pasa por elpunto (0, 2, 0). Suponga que la densidad de la l´amina es constante e igual a uno.

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Problema 8. √ Calcular el momento de inercia alrededor del eje y de la superficie S correspondiente al trozo de cono z = x2 + y2 que se encuentra dentro de la esfera x2 + y2 + z 2 = 6z. Suponga que la densidad es uniforme y constante igual a 1. Recuerde que el momento de inercia respecto al eje y es Iy = ∬ (x2 + z 2 )ρ(x, y, z )dS, siendo ρ(x, y, z) S la densidad.

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