Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie PDF

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Material que sirve mucho para prepararse a los certámenes....

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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa R.Geraldo

Departamento de Matem´atica

Coordinaci´ on de Matem´ atica IV (MAT024) Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie A continuaci´on encontrar´ a el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores. Las formas de resolver (la mayor´ıa de) los problemas, casi nunca es u ´nica, por eso es importante que primero intente usted resolver los problemas por si mismo, y posteriormente mirar la soluci´ o n. La mayor parte de estos ejercicios han formado parte de evaluaciones anteriores, ya sea en alg´ un Control o Certamen.

a

x2 ` y 2 encerrado dentro del cilindro x2 ` y 2 “ ay ,

a ą 0, es

do

(Pr. 1). El ? a´rea de la porci´ o n del cono z “ 4π 2. ¿Cu´ al es el valor de a?.

p

PROBLEMAS

(Pr. 2). Sea f px, y, zq “ x y S la superficie correspondiente al trozo olico z “ x2 , limitado por ¨ de cilindro parab´ las planos y ´ z “ 1, y ´ z “ 13 y x ` z “ 2. Calcule f px, y, zq dS. S

rg er al

(Pr. 3). Rotamos la curva y “ f pxq, a ď x ď b, alrededor del eje y. Use integrales de superficie para demostrar que el a´rea de la superficie generada de este modo (superficie de revoluci´ on) est´ a dada por A “ 2π

ˆ

b

a

a |x| 1 ` rf 1 pxqs2 dx

Use lo anterior para calcular el ´area de la superficie obtenida haciendo girar la curva y “ x2 , 0 ď x ď 1, alrededor del eje y . (Pr. 4). La curva pt, 0, et q, con 0 ď t ď 1, se gira en torno al eje z, obteniendo de esta manera una superficie S en R3 ? . Calcule la coordenada z del centro de masa de S, si la densidad en cada punto px, y, zq de la superficie es 1 ` z 2 . ¨ f px, y, zq dS, donde f px, y, zq “ xy ` 1 y S es la parte del paraboloide z “ x2 ` y 2 que est´ a en (Pr. 5). Hallar S

el interior del cilindro x2 ` y 2 “ 4.

(Pr. 6). Considere la superficie S correspondiente a la porci´ o n de esfera x2 ` y 2 ` pz ´ 2q2 “ 4 que se encuentra por deba jo del paraboloide x2 ` y 2 “ 3z . Calcule el a´rea de la superficie S .

(Pr. 7). Sea S la superficie correspondiente al trozo de plano x ` 2y ` 2z “ 4 que queda encerrado entre los planos x “ 0, y “ x ` 2, e y “ 2x.

Calcule el momento de inercia de la superficie S respecto de la recta L, paralela al eje z , que pasa por el punto p0, 2, 0q. Suponga que la densidad de la l´ amina es constante igual a uno.

(Pr. 8). Calcule a el momento de inercia alrededor del eje y de la superficie S correspondiente al trozo de cono z “ x2 ` y 2 que se encuentra dentro de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 6z. Suponga que la densidad es uniforme y constante igual a 1. ¨ Recuerde que el momento de inercia respecto del eje y es Iy “ px2 ` z 2 q ρpx, y, zq dS, siendo ρpx, y, z q la densidad.

MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie)

S

1

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(Pr. 9). Calcule la integral de superficie ¨

S

Ý F ¨Ñ n dS

con normal exterior, siendo F px, y, zq “ p2yz, 0, xyq, y S la superficie S “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y 2 ´ 2z “ 0, 0 ď z ă 1 u (a) Directamente (b) mediante el Teorema de Stokes (c) usando el Teorema de la Divergencia.

p

(Pr. 10). Calcule, utilizando el Teorema de Stokes, la integral de l´ınea ˆ p2x ` y ´ zq dx ` p2x ` zq dy ` p2x ´ y ´ zq dz

do

γ

siendo γ la curva intersecci´ on de las superficies

4x2 ` 4y 2 ` z 2 “ 4 y 2x ´ z “ 0 ¨ F ¨ n dS, siendo Fpx, y, z q “ px3 , y 3 , z 3 q y S la superficie del cono z 2 “ x2 ` y 2 , con 0 ď z ď H (Pr. 11). Calcule S

rg er al

y n con tercera coordenada positiva (a) Directamente

(b) Usando el Teorema de la Divergencia.

Obs: cos4 pxq ` sen4 pxq “ 1 ´ 2 sen2 pxq cos2 pxq

(Pr. 12). Verifique que se satisface el Teorema de Stokes para el campo vectorial Fpx, y, zq “ px ` y, 2x ´ z, y ` zq y la superficie S correspondiente al tri´ angulo determinado en el primer octante por el plano 3x ` 2y ` z “ 6, orientada con normal alej´ a ndose del origen. (Pr. 13). Sea S la porci´ on del paraboloide z “ x2 ` y 2 , con z ď 1, situada en el primer octante, y sea F px, y, zq “ py ´ z, z ´ x, x ´ y q. ˆ (a) Calcular directamente la integral de l´ınea F ¨ dr, donde γ es la curva frontera de S (la proyecci´on γ

de la curva en el plano xy est´ a orientada positivamente).

(b) Comprobar el c´ alculo anterior usando el Teorema de Stokes. (Pr. 14). Calcular la integral de superficie, por el Teorema de la Divergencia, del campo vectorial ˘ ` Fpx, y, zq “ xy 2 ` z 2 , x2 y ` z 2 , z px2 ` y 2 q sobre el trozo de paraboloide tz “ x2 ` y 2 , negativa.

1 ď z ď 4u, con vector normal cuya tercera coordenada es

(Pr. 15). Sea S la parte del cilindro parab´ olico z “ 3 ´ 2x2 que queda en el interior del paraboloide z “ x2 ` 3y 2 , y sea γ la curva intersecci´ on de ´estas dos superficies. Considere el campo Fpx, y, zq “ p´yz, xz, xy q. Calcule la integral de l´ınea del campo F a lo largo de γ, si esta curva est´ a orientada de manera tal que al mirarla desde un punto el el eje z, con z ą 3, se recorre en sentido antihorario. (a) Directamente

(b) Usando el Teorema de Stokes.

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2 2 (Pr. 16). Sea S la superficie ? dada por: la parte del cilindro x ` y2 “ 42 comprendida entre el plano XY y la superficie z “ 3 ´ y, , m´ as la tapa dada por el disco x ` y ď 4 en el plano XY (es decir, S es el trozo de cilindro con tapa en la parte de aba jo, pero sin tapa en la parte de arriba). ˙ ˆ ¨ 1 3 1 3 1 2 y z, x z, z Calcule el flujo hacia afuera de la superficie S del campo F, F ¨ n dS, donde Fpx, y, zq “ 3 3 2 S ˆ 1 Ayuda: sen3 puq du “ ´ p2 ` sen2 puqq cospuq 3

(Pr. 17). Considere la superficie S “ tpx, y, zq P R3 : px ´ 1q2 ` y 2 “ 1, 0 ď z ď 9 ´ x2 u

p

y el campo vectorial Fpx, y, zq “ pxy, z, xy q. ¨ Calcule F ¨ n dS

ď tpx, y, 0q : px ´ 1q2 ` y 2 ď 1u

do

S

(Pr. 18). Sea S “ S1 Y S2 , siendo * " 1 S1 “ x2 ` y 2 “ 1, ď z ď 1 , 2

S2 “ x2 ` y 2 ` pz ´ 1q2 “ 1, z ě 1

(

rg er al

y sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ pzx ` z 2 y ` x, z 3 yx ` y, z 4 x2 q. ¨ Calcular rot F ¨ n dS , con n apuntando hacia afuera, utilizando el teorema de Stokes. S

˛

(Pr. 19). Calcular

C

F ¨ dα,

donde

F px, y, zq “

ˆ

x ´y ,z , x2 ` y 2 x2 ` y 2

˙

y

C es:

a) La intersecci´ on entre el cilindro px ´ 2q2 ` y 2 “ 1 y el plano x ` z “ 1

b) La intersecci´ on entre el cilindro x2 ` y 2 “ 1 y el plano x ` z “ 1

(Pr. 20). Considere el s´ olido Q acotado por el paraboloide x “ y 2 ` 3z 2 y por el cilindro parab´ o lico x “ 3 ´ 2y 2 . Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ px2 y, 1 ´ xy 2 , 2zq. Calcule ¨

BQ

Ý Fpx, y, zq Ñ n dS

Ý n es el normal a la superficie que apunta hacia afuera. donde BQ es la frontera de Q y Ñ (Pr. 21). Sea S la porci´ on del elipsoide x2 `2y 2 `4z 2 “ 1 con z ě 0 y sea Fpx, y, zq “ pP px, y, z q, Qpx, y, z q, Rpx, y, z qq un campo vectorial que satisface BQ BP ` “ 3, Bx By

Rpx, y, zq “ x2 ` y 2

en una regi´ on de R3 que contiene a S . ¨ Calcule F ¨ n dS siendo n la normal unitaria que apunta hacia afuera del elipsoide. S

(Pr. 22). Calcule

ˆ

γ

py ´ zq dx ` pz ´ xq dy ` px ´ yq dz, donde γ es la intersecci´ on del cilindro x2 ` y 2 “ a2 con

x z ` “ 1 , con a ą 0 y b ą 0. La proyecci´ on de γ sobre el plano x y es recorrida en sentido el plano a b antihorario.

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(Pr. 23). Calcule, usando el Teorema de Stokes, la integral de l´ınea ˆ y dx ` z dy ` x dz γ

siendo γ la curva intersecci´ on de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 y el plano x ` y ` z “ 0. La curva est´ a orientada de manera que su proyecci´on sobre el plano x y es recorrida en sentido horario. Ayuda: la proyecci´on de la curva sobre el plano x y es una elipse, rotada en 45˝ , cuyos v´ertices del eje mayor se encuentran sobre la recta y “ ´x y los v´ ertices del eje menor sobre la recta y “ x.

2z ` y “ 6, orientada de manera que su

do

siendo γ la curva intersecci´ on entre pz ` 1q2 “ x2 ` y 2 y proyecci´ on sobre el plano xy se recorre en sentido antihorario.

p

(Pr. 24). Use el Teorema de Stokes para calcular la integral de l´ınea siguiente ˆ x`y x´y dx ` 2 dy ` z 2 dz 2 ` y2 2 x x ` y γ

(Pr. 25). Un campo vectorial en R3 es de la forma

F px, y, z q “ pP 1 px, yq ` P 2 px, zq, x ` Qpy, z q, Rpx, y, zq q

rg er al

con P 1 , P 2 , Q, R teniendo primeras derivadas parciales continuas en R3 . Suponga adem´as que Si Γh es la curva intersecci´ on del cilindro x2 ` y 2 “ 1 con el plano z “ h, demostrar que independiente de h.

BP 1 “ x`y. ˆBy Γh

F ¨ dr es

(Pr. 26). Sea R una regi´ on cerrada en R3 acotada por una superficie S. Sea g una funci´ o n de clase C 2 tal que 2 ∇ g “ 0 (esto es ∇ ¨ ∇g “ 0 ), definida en un dominio que contiene a R Y S . Pruebe que

¨

g

S

Bg dS “ B~n

˚

R

}∇g}2 dV

Bg donde ~n es la normal unitaria exterior a S y indica la derivada direccional de g en la direcci´ on del B~n vector unitario ~n. (Pr. 27). Sea S un s´olido, con frontera suave BS. Sea F: A Ď R3 Ñ R3 un campo vectorial de clase C 1 , y f : A Ď R3 Ñ R un campo escalar de clase C 1 . Suponga que S Ď A y que n ~ es la normal exterior a BS Denotemos px, y, zq “ ~x. Demuestre que ˚ ¨ ∇f p~ xq ¨ Fpx ~ q dV “ S

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BS

f p~ xq Fpx ~ q ¨ ~n dS ´

˚

S

f p~ xq ∇ ¨ Fpx ~ q dV

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SOLUCIONES. (Pr. 1). Primero debemos buscar el a´ rea de la superficie. Vemos la proyecci´ o n de la superficie sobre el plano x y ´ a ¯ 2 a2 2 2 u. ď es R “ tpx, yq P R : x ` y ´ 2 4 Una parametrizaci´ o n de la superficie es rpρ, θq “ pρ cospθq , ρ senpθq , ρq,

0 ď θ ď π, 0 ď ρ ď a senpθ q

p

Para esta parametrizaci´ on tenemos rρ ˆ rθ “ p´ρ cospθ q , ´ρ senpθ q , ρq

ApSq “

¨

S

dS “

¨

R

do

As´ı el a´rea de la superficie puede ser calculada mediante }rρ ˆ rθ }dA “

0

π ˆ a senpθq 0

? ? a2 π 2 2 ρ dρ dθ “ 4

rg er al

Para calcular el valor de a:

ˆ

? ? a2 π 2 “ 4π 2 ðñ a “ 4 4 

(Pr. 2). Evidentemente, la proyecci´ on de la superficie sobre el plano x z es (una parte) de z “ x2 . Para determinar los l´ımites de x, hacemos z “ x2 ^ x ` z “ 2 ùñ x “ ´2 ^ x “ 1 y adem´ as notamos que 1 ` z ď y ď 13 ` z . Una parametrizaci´ o n de la superficie es

rpx, yq “ px, y, x2 q,

De esta parametrizaci´ o n se obtiene rx “ p1, 0, 2xq, rx ˆ ry “ p´2x, 0, 1q, La integral que buscamos queda ¨ “ 12

S

ˆ

x dS “ 1

x ´2

a

ˆ

1

ˆ

13`x2

´2 1`x2

x

a

1 ` x2 ď y ď 13 ` x2

´2 ď x ď 1,

ry “ p0, 1, 0q y por lo tanto a }rx ˆ ry } “ 1 ` 4x2

1 ` 4x2 dy dx “

ˆ

1

´2

x

a

1`

4x2

? ? ` ˘3{2 ˇˇ1 1 ` 4x2 dx “ 1 ` 4x2 ˇ “ 5 5 ´ 17 17

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ˆ ˇ 2˙ ˇ13`x yˇ 2 dx 1`x

´2



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(Pr. 3). Una parametrizaci´ on de la superficie es rpx, θq “ px cos θ, x sen θ, f pxqq,

a ď x ď b,

0 ď θ ď 2π

rx “ pcos θ, sen θ, f 1 pxqq,

rθ “ p´x sen θ, x cos θ, 0q

Para Entonces de donde rx ˆ rθ “ p´x f 1 pxq cos θ, ´x f 1 pxq sen θ, xq ùñ }rx ˆ rθ } “

S

dS “

ˆ

2π 0

ˆ

b a

a

x2 p1 ` pf 1 pxqq2 qdx dθ “ 2π

ˆ

b

a |x| 1 ` pf 1 pxqq2 dx

do

ApSq “

¨

x2 p1 ` pf 1 pxqq2

p

Se tiene entonces

a

a

Para calcular el a´rea de la superficie obtenida haciendo girar la curva y “ x2 , 0 ď x ď 1, alrededor del eje y, hacemos 1

¨ ˇ˛ ? ˇ1 a p5 5 ´ 1q π 1 ˇ 2 3{2 ‚ 2 ˝ p1 ` 4x q ˇ “ |x| 1 ` 4x dx “ 2π ˇ 12 6

rg er al

A “ 2π

ˆ

0

0



(Pr. 4). Es evidente que la proyecci´ o n de la superficie sobre el plano x y es el conjunto tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 1 u. Una parametrizaci´ o n de la superficie es

rpρ, θq “ pρ cospθq, ρ senpθq, eρ q ,

0 ď ρ ď 1,

0 ď θ ď 2π

Para esta parametrizaci´ on

a rρ ˆ rθ “ p´ρ cospθ q eρ , ´ρ senpθ q eρ , ρq ùñ }rρ ˆ rθ } “ ρ 1 ` e2ρ

¨ 1 Recordemos que z “ z f px, y, zq dS M S ¨ f px, y, zq dS. La masa es M “ S

M“

ˆ

0

2π ˆ 1

M “ 2π

0

ˆ

1 0

Por otro lado ¨

S

z f px, y, zq dS “

a a ρ 1 ` e2ρ 1 ` e2ρ dρ dθ

˘ ` ˘ π` 3 ` e2 ρ 1 ` e2ρ dρ “ 2

ˆ

2π

0

Se resuelve lo anterior para llegar a

ˆ

1

ρ eρ

0

¨

S

a

1 ` e2ρ

a

1 ` e2ρ dρ “ 2π

z f px, y, zq dS “

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˘ 2π ` 10 ` 2e3 9

ˆ

0

1

` ˘ ρ eρ 1 ` e2ρ dρ dθ

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Por lo tanto π 2 2 3`e 2π 3 9 p10 ` 2e q

`

z“

˘

“

4 9

ˆ

10 ` 2e3 3 ` e2

˙ 

(Pr. 5). Una parametrizaci´ on de la superficie es rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, ρ2 q,

0 ď θ ď 2π

p

0 ď ρ ď 2,

Para esta parametrizaci´ on se tiene

rθ “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, 0q ùñ rρ ˆ rθ “ p´2ρ2 cos θ, ´2ρ sen2 θ, ρq

do

rρ “ pcos θ, sen θ, 2ρq,

a Para este caso entonces dS “ }rρ ˆ rθ } “ ρ 1 ` 4ρ2

Por lo tanto ¨ ˆ pxy ` 1q dS “ S

0

“

ˆ

“

ˆˆ

0

“ 2π

(Pr. 6).

2

ˆ

ρ3

0

2π

a

1 ` 4ρ2 sen θ cos θ dρdθ `

sen θ cos θdθ

0

“0¨

0

` 2 ˘ a ρ sen θ cos θ ` 1 ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ 2π

rg er al

2π

2π ˆ 2

ˆˆ

0

ˆ

2

ρ3

a

˙ ˆˆ

1 ` 4ρ2 dρ

˘3{2 1 ` 1 ` 4ρ2 12

ˆ

0

2

3

ρ

0

˙

a

1`

ˆˆ

4ρ2 dρ 2

˙

ˆ

`

2

0

a ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ

ˆˆ

2π

dθ

0

a ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ

` 2π ¨ 0 ˙ ˇ ¯ π ´ ? ˇρ“2 “ 17 17 ´ 1 ˇ ρ“0 6

˙

˙ ˆˆ

2

0

a ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ

˙



Vamos a encontrar la proyeci´ on de la superficie sobre el plano x y : * “ 4 ùñ 3z ` pz ´ 2q2 “ 4 ùñ z “ 0 _ z “ 1 “ 3

x2 ` y 2 ` pz ´ 2q2 x2 ` y 2

Reemplazando z “ 1 en x2 ` y 2 “ 3z se obtiene que la proyecci´ on sobre el plano x y es el conjunto P “ tpx, yq : x2 ` y 2 “ 3u Daremos cuatro parametrizaciones diferentes: ¯ ´ a (i) rpx, yq “ x, y, 2 ´ 4 ´ x2 ´ y 2 , px, yq P P ¯ ´ a ? (ii) rpρ, θq “ ρ cospθq , ρ senpθq , 2 ´ 4 ´ ρ2 , 0 ď ρ ď 3, (iii)

0 ď θ ď 2π

Haciendo

x “ ρ cospθq senpφq y “ ρ senpθq senpφq z “ ρ cospφq

y reemplazando en la ecuaci´on de la esfera, encontramos que la ρ “ 4 cospφq es la ecuaci´ o n de dicha esfera y entonces una parametrizaci´ on en estas coordenadas es: MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie)

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` ˘ rpθ, φq “ 4 cospφq cospθq senpφq , 4 cospφq senpθq senpφq , 4 cos2 pφq 0 ď θ ď 2π,

(iv) Haciendo

π 3

ďφď

π 2

x “ ρ cospθq senpφq y “ ρ senpθq senpφq z ´ 2 “ ρ cospφq

y reemplazando en la ecuaci´on de la esfera, encontramos que ρ “ 2 es la ecuaci´ on de dicha esfera y entonces una parametrizaci´ on en estas coordenadas es: rpθ, φq “ p2 cospθq senpφq , 2 senpθq senpφq , 2 cospφqq 0 ď θ ď 2π, 2π 3 ď φ ďπ

p

Para calcular el a´rea de la superficie usaremos la parametrizaci´ o n dada en (ii). Recordamos que ¨ ApSq “ }rρ ˆ rθ } dρ dθ

do

R

Para esta parametrizaci´ on tenemos rρ ˆ rθ “

˜

rg er al

En este caso lo anterior queda

¸ ´ρ2 cospθ q ´ρ2 senpθq a , a ,ρ 4 ´ ρ2 4 ´ ρ2

ApSq “

ˆ

2π

ˆ

0

?

3

a

0

2ρ dρdθ “ 4π 4 ´ ρ2 

(Pr. 7). La proyecci´ o n de la superficie sobre el plano xy es la que se muestra a continuaci´on: 5

4

y“x`2

3

2

R

y“2x

1

-1

2

3

4

Por otro lado, resulta evidente que la distancia desde cualquier punto del plano x ` 2y ` 2z “ 4 a la recta L :“ a p0, 2, zq, no depende de z, y es equivalente a la distancia desde px, yq a p0, 2q. Esto es δpx, y, zq “ x2 ` py ´ 2q2 . La integral que debemos resolver para encontrar el momento de inercia respecto de L es: IL “

¨

R

δ 2 px, y, zq ¨ 1 dS “

Una parametrizaci´ o n de la superficie es ˙ ˆ 1 rpx, y q “ x, y, 2 ´ x, y , 2 MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie)

¨

R

px2 ` py ´ 2q2 q dA

0 ď x ď 2,

2x ď y ď x ` 2 8

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R.Geraldo

Para esta parametrizaci´ on rx ˆ ry “

ˆ

...