Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de linea PDF

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Mate 3...

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Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial e Integrales de línea. 1.- Determine el valor de

Solución:

, si

y

.

2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza partícula desde el punto

Solución:

al

a lo largo de la curva

, para mover una .

3.- Sea la trayectoria

Solución:

. Demuestre que que pasa por dos puntos dados.

es independiente de

4.- Verifique el Teorema de Green para

, donde

tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas

Solución:

es la frontera, y

.

5.- Demuestre que:

Solución:

6.- Sea el valor de la integral.

Solución:

, donde

y

. Determinar

7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:

Donde con

consiste del segmento de recta que va desde .

Solución: Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

Aquí:

Se tiene:

a

y de la curva

8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.

Donde

es cualquier trayectoria que va desde –

hasta

.

Solución:

Es decir, existe

con

Integrando con respecto a

Se tiene:

. Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:

se tiene:

9.- Sea

un campo escalar y

un campo vectorial dado por

. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son continuas. Demuestre que:

Solución:

10.- Sea a) Demuestre que

es un campo conservativo

Solución:

b) Encuentran el potencial escalar

Solución:

c) Calcule

Solución:

donde

está dada por:

11.- Calcule gráficas de

Solución:

, donde y

.

es la frontera de la región situada entre las

12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:

Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.

Solución: Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

13.- Calcule la integral de línea

∫ ye

xy

dx + xe xy dy , donde C es la curva formada por los

C

siguientes segmentos de rectas: Punto Inicial

(2,1) → (1,2) → ( −1,2) → ( −2,1) →( −2, −1) →( −1, −2) →(1, −2) →(2, −1)

Punto Final

Solución: Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que

∂ ∂ ( xexy ) = exy + xyexy = ( ye xy ), se tiene que la integral de línea es independiente de la ∂x ∂y trayectoria, y por lo tanto:

∫ ye

xy

dx + xe xy dy =

∫ ye

xy

dx + xe xy dy

C+

C

1

= − ∫ 2e 2 t dt = − e 2 + −1

1 e2

Donde C* : γ ( t) = (2, t), −1 ≤ t ≤ 1

14.- Dado el campo vectorial afirmar que

Solución:

es nula si , definida por

. ¿Es posible es una curva simple cerrada?

15.- Si

calcule el trabajo realizado por

lo largo del segmento de recta que va desde el punto utilizar una función de potencial.

Solución:

al desplazar una particula a al punto

. Evalúe sin...