Ejercicios de integrales definidas PDF

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Dichos ejercicios incluyen el cálculo de áreas, el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow
No aparece la resolución completa de dichos ejercicios, únicamente el resultado final...

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Tema 5. La Integral Definida

Matemáticas II

1.

Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: 2

(a) ∫0 (d)

𝑥 √𝑥 2 +1

√3 𝑥 2 ∫−√3 𝑥 2+1 𝜋2

4 𝑥−1

𝑑𝑥

(b) ∫1

𝑑𝑥

(g) ∫0 𝑠𝑒𝑛 √𝑥 𝑑𝑥 (j) 2.

3 𝑥 3+2

∫2

𝑥 2−1

𝑑𝑥

𝜋 4

√𝑥

4.

(c) ∫1 2 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑒

(e) ∫0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

(f)

(h) ∫0 𝑥 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 1

(i)

(k) ∫0 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 3

(l)

2

1

∫0 [ 𝑥+1 − 3 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥)] 𝑑𝑥 ∫−1(𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 𝑑𝑥 1

∫1 √𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒

Halla el valor medio de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica, y di en qué punto se alcanza este: (a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 en [−4, −1]

3.

𝑒

𝑑𝑥

(b) 𝑔(𝑥) =

𝑥

√1+𝑥 2

en [0, 1]

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 y ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −4, ¿cuál es el Si 𝑓(𝑥) es una función continua en el intervalo [1, 4], tal que ∫ 1 2

4

valor de ∫2 5 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥? Enuncia las propiedades de la integral definida que utilices. 4

−𝑥 Razona cuál de las dos integrales siguientes es mayor sin calcularlas: ∫ 𝑑𝑥 y ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 . 0 𝑒 1

1

2

5.

Sabiendo que ∫0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥 2 (1 + 𝑥), con 𝑓 función continua en todos los puntos de la recta real, calcula 𝑓(2).

6.

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

𝑥

(b) 𝐺(𝑥) = ∫1 (𝑡 2 − 1) 𝑑𝑡

(a) 𝐹(𝑥) = ∫5 √𝑒 𝑡 + 1 𝑑𝑡 𝑥

𝑥3

2𝑥

(c) 𝐻(𝑥) = ∫1 (𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑙𝑜𝑔 𝑡) 𝑑𝑡 𝑥3

(e) 𝐹(𝑥) = ∫𝑥 7.

𝑥2

(d) 𝐹(𝑥) = ∫1 𝑙𝑛 𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑡

1+𝑡 2

(f)

𝑥4

𝐹(𝑥) = ∫2𝑥 3√𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡

Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:

(a) 𝐹(𝑥) = ∫0 (𝑡 2 − 𝑡) 𝑑𝑡 𝑥

𝑥

(b) 𝐺(𝑥) = ∫1 (𝑙𝑛 𝑡 − 2) 𝑑𝑡 𝑥

(c) 𝐻(𝑥) = ∫04 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 en [0, 2𝜋] 8. 9.

En el intervalo [−4, 4] se define la función 𝐹(𝑥) = ∫0 √16 − 𝑡 2 𝑑𝑡. Calcula 𝐹 ′ (2). 𝑥

3

Dada la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| ∙ |𝑥 − 2|, calcula ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

10. De una función integrable 𝑓: [−1, 1] ⟶ ℝ se sabe que cumple la desigualdad |𝑓(𝑥)| ≤ 1 + 𝑥 2 , para cada valor 𝑥 ∈ [−1, 1]. De los números −3, −2, −1, 2′ 5 y 2′75, ¿cuáles pueden ser el valor de la integral 1

∫−1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥?

11. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 9𝑥, y las rectas 𝑦 = 20, 𝑥 − 𝑦 + 15 = 0 12. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2 y su recta normal en el punto (3, 0). 13. Calcula el área limitada por la función 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 y sus tangentes en los puntos en los que corta al eje de abscisas.

2º Bachillerato de Ciencias

1

14. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1, su recta tangente en el punto (3, 4) y el eje 𝑂𝑋. 15. Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 4𝑥.

(a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad de 𝑓 . (b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y la bisectriz del primer cuadrante.

16. Dada la curva 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2, calcula el área limitada por ella, la recta tangente en el punto donde la función tiene un extremo y la tangente a la curva con pendiente 6. 17. Dibuja el recinto plano limitado por la parábola 𝑦 2 − 𝑥 = 1 y por la recta paralela a 𝑦 = 𝑥 que pasa por el punto (1, 0). Calcula el área de dicho recinto. 18. Determina el área comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 y las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. 19. Calcula el área del recinto limitado por 𝑥𝑦 + 8 = 0, 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 1.

20. Halla el área limitada por la curva 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 y el eje de abscisas. 21. Calcula el área limitada por la gráfica de las siguientes funciones: (a) 𝑦 = (𝑥 − 4)2 , 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2

(b) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑦 = 𝑙𝑛3 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 (c) 𝑦 = 3 − 3𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = {

4𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 − 1 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

22. Calcula el valor de 𝒎 para que el área del recinto limitado por la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 y la curva 𝑦 = 𝑥 3 sea igual a 2 𝑢2 .

23. Calcula el número positivo 𝒌, tal que el valor del área de la región limitada por la recta 𝑦 = 𝑘 y la parábola 𝑦 = (𝑥 − 2)2 sea 36 𝑢2 . 24. Dadas la curva 𝑦 = −𝑥 2 + 1 y la recta 𝑦 = 𝑘, con 𝑘 < 0, determina el valor de 𝒌, de modo que el área entre sus gráficas sea

8 √2 3

𝑢2 .

25. Sea P(x) un polinomio de tercer grado, con un punto de inflexión en (0,5) y un extremo relativo en (1,1), 1

calcular ∫0 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥.

𝑥+2 , 𝑠𝑖 𝑥 < 1 . Calcular el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓(𝑥) y el 26. Dada la función 𝑓(𝑥) = { 3(𝑥 − 2)2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 eje OX.

NOTA: Para dibujar la gráfica de una parábola, siempre hay que indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad de la misma.

Matemáticas II

Tema 5. La integral definida

2

SOLUCIONES

1.

(𝑎) √5 − 1

(𝑏)

(𝑖) 𝜋 2 − 4

(𝑗)

(𝑒)

2. 3.

4. 5. 6.

7.

8. 9.

1 4

8 3

(𝑓) 𝑙𝑛 2

(𝑎) 𝑓(𝑐) = 21; 𝑐 = −√7 4

∫2 5 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −30

5

2

(𝑐)

+ 𝑙𝑛 √6

4 𝑒

(𝑑) 2√3 −

(𝑔) 2𝜋 (𝑘)

15

(𝑏) 𝑔(𝑐) = √2 − 1;

1 4 2 (𝑙) (𝑒 √𝑒 + 2) 9 (ℎ)

116 √2 𝑐 = +√ 2

−1

2𝜋 3

(𝑃𝑟𝑜𝑝. : 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 1

1

∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 > ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 2

𝑓(2) = 16

(𝑎) 𝐹′(𝑥) = √𝑒 𝑥 + 1, ∀𝑥 ∈ [5, +∞) (𝑏) 𝐺′(𝑥) = 2𝑥5 − 2𝑥, ∀𝑥 ∈ [1, +∞) (𝑐) 𝐻′ (𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥) + 𝑙𝑜𝑔(4𝑥 2 ), ∀𝑥 ∈ [1, +∞) (𝑑) 𝐹′ (𝑥) = 3𝑥 2 ∙ 𝑙𝑛(𝑥 3 ), ∀𝑥 ∈ [1, +∞) 3𝑥 2 1 3 (𝑑) 𝐹′(𝑥) = 4𝑥 3 √𝑠𝑒𝑛(𝑥 4 ) − 2 3√𝑠𝑒𝑛(2𝑥) (𝑑) 𝐹′ (𝑥) = − 6 1 + 𝑥2 1+𝑥 (𝑎) 𝐹 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑦 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 1. (𝑏) 𝐺 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑒 2 . (𝑐) 𝐻 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑛 [0,2𝜋]. 𝐹 ′ (2) = 2√3 3

∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

23 3

10. El valor de la integral ∫−1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 puede ser −2, −1 𝑜 2′ 5. 11. 𝐴 =

7 2 𝑢 6

13. 𝐴 =

2 2 𝑢 3

Matemáticas II

1

12. 𝐴 =

500 2 𝑢 81

14. 𝐴 = 2 𝑢2 3

Tema 5. La integral definida

3

15. (𝑎) 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (−∞, ) ∪ (2, +∞) 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (2 , 2). 3 43 4 𝑓 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑒𝑛 (−∞, ) 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑒𝑛 ( , +∞). 3 3 37 2 𝑢 (𝑏) 𝐴 = 12 2

4

16. 𝐴 =

9 2 𝑢 4

18. 𝐴 = 𝑒 2 −

17. 𝐴 =

7 2 𝑢 3

Matemáticas II

9 2 𝑢 2

19. 𝐴 = 8𝑙𝑛4 −

14 2 𝑢 3

Tema 5. La integral definida

20. 𝐴 = 8 𝑢2

21.

8 2 (𝑎) 𝐴 = 𝑢 3

5

21. (𝑏) 𝐴 = 2 𝑢2

21. (𝑐) 𝐴 =

22. 𝑚 = 2

23. 𝑘 = 9

Matemáticas II

21 2 𝑢 2

Tema 5. La integral definida

24. 𝑘 = −1

1

25. ∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥

25

6 26. 𝐴 =

11 2 𝑢 2

Matemáticas II

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