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Prácticas de Matemáticas con Mathematica . Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil. Práctica nº 13. Area de una superficie no plana. Departamento de Matemática Aplicada. E.P.S. de Zamora Universidad de Salamanca Ejemplo 1: Halle el área de la parte del cilindro y2 = a Hx + aL que ...

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Prácticas de Matemáticas con Mathematica . Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil. Práctica nº 13. Area de una superficie no plana.

Departamento de Matemática Aplicada. E.P.S. de Zamora Universidad de Salamanca Ejemplo 1: Halle el área de la parte del cilindro y2 = a Hx + aL que está dentro del cilindro x2 + z2 = a2 . Para dibujar la región cuya área nos piden, tomamos a = 1.

c1 = ParametricPlot3DB:t^2 - 1, t, :t, -

2,

2 >, PlotStyle ® 8Red, [email protected],

1 - Ht^2 - 1L2 >,

2 >, PlotStyle ® 8Red, [email protected]>F, :t, -

1 - Ht^2 - 1L2 >, :t^2 - 1, t, 2 + 0.00001,

2 , 0.05>F>F;

2

13 FM III (10-12-2013) Ejemplo área superficie.nb

Show@c1, c2, lineas, PlotRange ® All, AxesOrigin ® 80, 0, 0, a > 0F

2 a4 + 7 a2 z - 4 z2 -

7 a2 - 8 z

81 a4 ArcTanB 4

2

a4

+7

a2

z-4

z2

F

Comprobamos que la primitiva obtenida es correcta, para ello derivamos, y vemos que la derivada coincide con el integrando.

D@int, zD  Simplify 2 a4 + 7 a2 z - 4 z2

Expand@H2 a^2 - zL H4 z + a^2LD 2 a4 + 7 a2 z - 4 z2 Hay que tener cuidado al evaluar, pues en el punto z = 2 a2 el denominador se anula, y el arcotangente será Pi/2 o - Pi/2. Tomando el límite por la izquierda en ese punto se resuelve el problema.

2  a^2 HHLimit@int, z ® 2 a^2DL - Hint . z ® 0LL  Simplify H* valor incorrecto *L 1 64

56

2

a4 - 81 a2 Π + 162 a2 ArcTanB

7 4

a4 2 a2

F

3

4

13 FM III (10-12-2013) Ejemplo área superficie.nb

2  a^2 HHLimit@int, z ® 2 a^2, Direction ® 1DL - HLimit@int, z ® 0DLL  Simplify H* valor correcto *L 1

56

a4 + 81 a2 Π + 162 a2 ArcTanB

2

64

7 4

SimplifyB

1

56

2

a4 2 a2

a4 + 81 a2 Π + 162 a2 ArcTanB

64 1

a2 56

F 7 4

7

2 + 81 Π + 162 ArcTanB

64

4

2

a4 2 a2

F , a > 0F

F

Otra forma de resolver el problema es calculando el área de la superficie y = f Hx, zL = a Hx + aL dentro del cilindro cuya circunferencia base es x2 + z2 = a2 . Por la simetría de la región consideramos únicamente la parte de la superficie cuya proyección corresponde al semicírculo en el semiplano y = 0, z > 0, y la multiplicamos por 4.

c1 = ParametricPlot3DB:t^2 - 1, t, :t, -

2,

1 - Ht^2 - 1L2 >,

2 >, PlotStyle ® 8Red, [email protected],

2 >, PlotStyle ® 8Red, [email protected]>F,

13 FM III (10-12-2013) Ejemplo área superficie.nb

5

Show@c1, c2, c3, lineas2, PlotRange ® All, AxesOrigin ® 80, 0, 0 0F

>, :t, 0, a

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1.0

a2 -

a =.;

t^2

1.5

2.0

2.5

2

-a

a

DB

1

2t

+ a ArcSinhB

a2

4

1+

1+

4 t2

4 t2 a2

2 t2 -

a

a2

1+

4 t2 a2

32

a2 I28

F , tF  Simplify

t4

SimplifyB4 IntegrateB 1

2t

2 t2 -

t4 a2

2 + 81 ä Log@9D - 81 ä LogA-7 + 4 ä

, :t, 0, a 2 EM

2 >F, a > 0F

13 FM III (10-12-2013) Ejemplo área superficie.nb

7

Aunque aparecen complejos, en realidad es un número real, simplificando resulta :

1

ComplexExpandB

32

a2 J28

2 + 81 ä Log@9D - 81 ä LogB-7 + 4 ä

2 FN,

TargetFunctions ® 8Re, Im 0F

0 Nótese que aunque el Mathematica al realizar directamente la integral nos muestra una solución con números complejos, en realidad corresponde al mismo valor que hemos obtenido anteriormente. De hecho, la integral anterior es la misma que la integral que se obtenía con el primer método, y por tanto el resultado final es igual que el obtenido con cualquiera de los otros dos métodos.

FullSimplifyB

1

a2 56

64 1 32 0

a2 J28

7

2 + 81 Π + 162 ArcTanB

2 + 81 ä Log@9D - 81 ä LogB-7 + 4 ä

4

2

F -

2 FN, a > 0F...