Jenny Perez Tarea 1 - plan de ejercicios PDF

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JENNY PEREZ 52525745 Ejercicios C Tipo 1

Ejercicio c.

∫ (5/ x)−2 √3 x 2 dx Separamos las integrales por integrales inmediatas

∫ (5/ x)dx−∫ 2 3√ x2 dx Podemos sacar los términos enteros de la integral y en la raíz reescribir la potencia 2

5∫ (1/ x)dx−2 ∫ x 3 dx Recordamos dos ecuaciones importantes en la integración

x n+1 1 n dx =ln x ; x dx = ∫ ∫x n+1 Aplicamos dichas formulas

( ) 2 +1 3

5 lnx−2

x 2 +1 3

Simplificamos, pero no olvidamos C como constante de integración indefinida

( ) 5

3 x3 5 lnx−2 5 5

6 x3 5 lnx− 5

∫ (5/ x)−2 3√ x 2 dx =5 lnx − 6 5√ 3

5

+C

https://www.youtube.com/watch?v=Rp94H7KG-oQ TIPO 2 i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una

aproximación del área bajo la curva de la función

2 f ( x )= x − x +1 en el intervalo [1, 5], en donde use una partición de n=6.

∆ x=

b−a 5−1 4 2 = = = n 6 3 6

x i=a+i ∙ ∆ x=1+ n

2i 3

n

(

∑ f ( xi ) ∙ ∆ x=∑ f 1+ i=1

i=1

)

2i 2 ∙ 3 3

f ( x )=x −x +1 2

n

(

n

(

)

2 2i 2i 1+ ) − (1+ )+ 1 ∙ ∑ ( 3 3 3 i=1 2

)

4i 4 i 2i 1+ + −(1+ ) +1 ∑ 9 3 3 i=1 2

n

(

n

(

∙

2 3

) )

(

2 4 i 4 i2 2i − 1+ +1 1+ + ∑ 3 i=1 3 9 3 2 i 4 i2 2 1+ ∑ 3+ 9 3 i=1

)

2 3

∑ 1+∑ 23i +∑ 49i

(

)

2 3

(

)

n

n

n

i=1

i=1

i=1

n

∑ 1+ i=1

n

2

n

2 ∑ i+ 4 ∑ i2 3 i=1 9 i=1

n

n

i=1

i=1

∑ k=kn ∑ i=

n

n (n+1 ) ∑ i2 = n ( n+1 )(62 n+1 ) 2 i=1

(

)

(

)

2 2 n ( n+1 ) 4 n ( n+1 ) ( 2n+1 ) + 1 n+ ∙ 3 6 9 2 3 N=6

2 2 6( 6+1 ) 4 6 ( 6 +1) ( 2(6)+1 ) + 6+ ∙ 3 9 2 6 3

(

)

2 2 4 6+ ∙3( 7 )+ (7 ) ( 2(6)+1 ) 9 3 3

(

2 2 4 6+ ∙3( 7 )+ ( 7)( 13 ) 9 3 3

(

2 4 2 6+ ∙(21)+ (91) 3 3 9

(

)

(

)

2 42 364 6+ + 3 9 3 2 364 6+14+ 9 3

)

)

1088 =40.29 u2 27 Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f ( x ) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f (x) .

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una

aproximación del área bajo la curva de la función 2 en el intervalo [1, 5], en donde use una f ( x )=x −x +1 partición de n=12 4 1 ∆ x= = 12 3 i x i=1+ 3 n

n

i=1

i=1

( i3) ∙ 31

∑ f ( xi ) ∙ ∆ x=∑ f 1+ f ( x )=x 2−x +1

( ∑( ∑( n

)

1 i i 1+ ) −( 1+ ) +1 ∙ ∑ ( 3 3 3 i=1 n

( ) )

1+

2 i i2 i 1 + − 1+ +1 ∙ 3 9 3 3

1+

2 i i2 i 1 + − ∙ 3 9 3 3

i=1 n

i=1

2

)

(

n

2

∑ 1+ 3i + i9 i=1

1 3

(

n

1 3

(

n

)∙ 13

n

n

2

i i 1+ ∑ + ∑ ∑ i=1 i=1 3 i=1 9

∑ 1+ i=1

n

)

n

1 ∑ i+ 1 ∑ i2 3 i=1 9 i=1

n

n

i=1

i=1

∑ k=kn ∑ i=

) n

n (n +1 ) n ( n+1 )( 2 n+1 ) ∑ i2 = 2 i=1 6

(

1 1 n ( n+1 ) 1 n( n+1) ( 2 n+1) + 1 n+ ∙ 3 9 2 6 3

)

N=12

(

1 1 12( 12 + 1 ) 1 12 (12 + 1 )(24 + 1 ) + 12+ ∙ 3 3 9 2 6

(

1 1 156 1 3.900 + 12+ ∙ 3 2 9 6 3

( (

1 1 1 12+ ∙ 78+ . 650 9 3 3 1 1 12 + 23 + . 650 9 3

)

)

)

)

965 =35.74 u2 27 Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f ( x ) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f (x) .

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar

el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. 5

∫ x 2−x +1 dx 1 5

5

5

5

1

1

∫ x −x +1 dx=∫ x dx−∫ xdx +∫ dx 2

1

2

1

( x3 ) −( x2 ) +( x) ∫ x −x +1 dx=( 53 − 13) −( 52 − 12 ) +( 5−1) 5

∫ x 2−x +1 dx=

3 5

2 5

1

1

1 5

2

1 5

3

5

1

5 1

2

5

5 1

1

25 1 1 − −( − )+ 4 ∫ x 2−x +1 dx= 125 2 2 3 3 1

5

24 −( ) +4 ∫ x 2−x +1 dx= 124 3 2 1 5

∫ x 2−x +1 dx=33.3 1

Conclusión: Ha mayor números de n es más exacto el valor, ya que la integral define el valor exacto del área bajo la curva https://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY

TIPO 3 Ejercicio c. x

2

F ( x ) =∫ x

dt 1+ √1−t

Hallar F ' ( x )

Tenemos que

g(x)

F ( x ) = ∫ f ( t ) dt h (x)

Con g y h son funciones derivables en los reales. Entonces, F es derivable en el interior.

F ´ ( x )=f ( g ( x ) ) g´ (x ) −f ( h ( x ) ) h´ (x ) Hallamos las derivadas de cada función. g ( x) =x2 g ´ ( x ) =2 x h ( x ) =x h ´ ( x ) =1

Remplazamos F ´ ( x )= F ´ ( x )=

1 1+ √ 1−x

2

2x 1+ √ 1−x

2

1− √ (1+ x )(1−x ) ¿ 2x ¿ F ´ ( x )=¿

(2 x )− −

1 .1 1+√ 1−x

1 1+√ 1−x

Como solución tenemos que F ´ ( x )=

1−2 √ (1+ x ) ( 1−x ) +√ 1−x x

TIPO 4 Ejercicio c.

Calcular la siguiente integral definida:

π

∫ [ Sen( x +π ) +1] dx 0

Separamos las integrales π

π

0

0

∫ Sen ( x +π ) dx +∫ 1 dx Sea u=x + π entonces du=dx y se cambia desplazamiento de la funcion 2π

π

π

0

π =2 π 0=π

por el

∫ Sen ( u ) d u+∫ 1 dx integramos π 2π |−cos (u)|π +|x|0

−cos ( 2 π ) +cos ( π ) +π −2+π 1,14159265 ….

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida

https://www.youtube.com/watch?v=CavjhBTYma8...