Ejercicios 1 - tarea PDF

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1. Carlos es un ingeniero Civil y ha recibido el cuadro de requerimientos para construir viviendo tipo familiar (F) y residencial (R) en diferentes distritos, así como también los requerimientos de personal (horas – hombre) y materiales por distritos los que se muestran en las matrices A y B 𝑆𝐽𝑀 𝐿𝑖𝑛𝑐𝑒 𝐿𝑢𝑟𝑖𝑛 𝐴 = 𝐹𝑎𝑚 2 1 1 ] [ 3 3 2 𝑅𝑒𝑠.

ℎ𝑟𝑠 − ℎ 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑆𝐽𝑀 1600 1320 𝐵= 𝐿𝑖𝑛𝑐𝑒 [ 2400 1460 ] 𝐿𝑢𝑟𝑖𝑛 2000 2520 Carlos necesita un reporte de los gastos por requerimientos y tipo de vivienda para lo cual les solicitar presentar dicho reporte. Solución. Debido a que los gastos por requerimientos están en una matriz de 3 x 2; y los tipos de vivienda en una matriz de 2 x 3, realizamos el producto C = AB 𝐶 = 𝐴𝐵

1600 1320 3200 + 2400 + 2000 2640 + 1460 + 2520 1 ] [ 2400 1460] = [ ] 2 4800 + 7200 + 4000 3960 + 4380 + 5040 2000 2520 7600 6620 ] 𝐶=[ 16000 13380 Mas precisamente: 𝐶=[

2 3

1 3

Respuesta:

ℎ𝑟𝑠 − ℎ 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐶 = 𝐹𝑎𝑚 7600 6620 ] [ 16000 13380 𝑅𝑒𝑠.

Interpretando la matriz obtenida se puede afirmar que el tipo de vivienda familiar requiere 7 600 horas – hombre y 6620 unidades de material; de igual manera, la vivienda tipo residencial requiere 16 000 horas – hombre y 13380 unidades de material. 2. Martín es un importador de vehículos que luego comercializa en la ciudad. En su último embarque adquiere 120 vehículos entre autos, motos y camiones. Asimismo, se sabe que ha invertido 5820 (en miles de soles) y que del total entre autos y motos suman como el triple de la cantidad de camiones. Martín desea conocer la cantidad exacta de autos, motos y camiones para lo cual le solicita a Ud. Considere el precio unitario (en miles de soles) de autos, motos y camiones igual a 45, 12 y 114 respectivamente. a.

Formular un sistema de ecuaciones que represente la información.

b. Solución del sistema aplicando el método de Gauss. c. Calcula la solución utilizando la regla de Cramer. d. Utiliza Symbolab para resolver el sistema y comparar los resultados. Solución. a.

Según los datos, considere las siguientes variables: 𝑋: Número de autos

𝑌: Número de motos

𝑍: Número de camiones Establecemos las informaciones en forma de ecuaciones: •

Adquirío 120 vehículos, es decir, la suma de las unidades del número de autos, motos y camiones es 120:

•

𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 120

Ha invertido 5820, es decir, que lo que ha pagado por todos los vehículos suma 5820, para conseguir dicha monto, multiplicamos el precio de cada vehículo por su respectivo número de unidades y luego sumamos:

•

45𝑋 + 12𝑌 + 114𝑍 = 5820

Del total entre autos y motos suman como el triple de la cantidad de camiones: 𝑋 + 𝑌 = 3𝑍

Finalmente, el sistema de ecuaciones que representa la información es: 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 120

45𝑋 + 12𝑌 + 114𝑍 = 5820 b. Método de Gauss:

𝑋 + 𝑌 − 3𝑍 = 0

Expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Usando el método de Gauss:

𝑋 120 1 1 1 (45 12 114 ) ( 𝑌 ) = (5820) 1 1 −3 𝑍 0

120 1 1 1 1 1 𝐹2 = 𝐹2 − 45𝐹1 → → 45 12 114 5820 0 −33 𝐹3 = 𝐹3 − 𝐹1 1 1 −3 0 0 0 1 1 1 1 1 120 1 0 −33 69 420 → 𝐹3 = − 𝐹3 → 0 −33 4 0 0 −4 −120 0 0 1 1 1 120 𝐹 = 𝐹 − 69𝐹 1 1 2 3 0 −33 69 420 → 2 → 0 −33 𝐹1 = 𝐹1 − 𝐹3 0 0 1 0 0 30 1 1 90 1 1 0 1 𝐹 → → 𝐹 = − 0 1 0 −33 0 −1650 2 33 2 0 0 0 0 1 30 1 1 0 90 1 0 0 0 1 0 50 → 𝐹1 = 𝐹1 − 𝐹2 → 0 1 0 0 0 1 30 0 0 1

Por lo tanto:

120 1 69 420 −4 −120 1 120 69 420 1 30 90 0 0 −1650 1 30 0 90 0 50 1 30 40 50 30

𝑋 = 40 𝑌 = 50 𝑍 = 30

La cantidad exacta de vehículos importados fue de 40 autos, 50 motos y 30 camiones.

c. Regla de Cramer:

Considere el sistema de ecuaciones en forma matricial: 𝐴𝑥 = 𝑏, donde 1 1 1 𝐴 = (45 12 114

Notemos que

1

1

𝑌 5820 𝑋 120 ) ) ; 𝑥 = ( ) ; 𝑏 = ( 0 −3 𝑍

1 1 1 det 𝐴 = | 45 12 114 | = 132 ≠ 0 1 1 −3 Luego, podemos usar la regla de Cramer:

1 5280 1 120 1 | 5820 12 114 | = = 40 132 132 0 1 −3 1 120 1 1 6600 = 50 | 45 5820 114 | = 𝑌= 132 132 1 0 −3 1 1 120 1 3960 | 45 12 5820 | = 𝑍= = 30 132 132 1 1 0 La cantidad exacta de vehículos importados fue de 40 autos, 50 motos y 30 camiones. 𝑋=

d. Usando Symbolab: Primero ingresamos las ecuaciones, diferenciadas por comas, dentro de Symbolab:

Figura 1. Pantalla de bienvenida de Symbolab: https://es.symbolab.com. A continuación, presionamos el botón Ir, y observamos el desarrollo paso a paso:

Figura 2. Resolución del sistema de ecuaciones por Eliminación de Gauss según Symbolab.

Figura 3. Resolución del sistema de ecuaciones por Regla de Cramer según Symbolab.

Figura 4. Regla de Cramer según Symbolab.

Figura 5. Resultados obtenidos en Symbolab usando Regla de Cramer.

Observamos que el software obtiene las mismas respuestas encontradas en el presente trabajo, y además para el uso de la Regla de Cramer, Symbolab realiza cada paso de sustitución y el cálculo de los determinantes inmersos en la regla, cada uno paso a paso. 1 2 3 3. Dada la matriz 𝐴 = [2 1 1] determina la matriz inversa utilizando el método de la adjunta de la matriz. 3 2 2 Solución. 1 2 3 Sea la matriz 𝐴 = [2 1 1], calculamos su determinante: 3 2 2 1 2 3 2 1 2 1 1 1 | = 0 − 2(1) + 3(1) = 1 | +3| | −2| det 𝐴 = |2 1 1| = | 3 2 3 2 2 2 3 2 2 Entonces 1 1 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 1 det 𝐴 Calculamos la adjunta de la matriz A: 𝐴−1 =

1 | 2 2 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = − | 2 2 [ |1 Por lo tanto

1 | 2 3| 2 3 | 1

2 1 𝑡 2 1 | | | 𝑡 3 2 3 2 0 2 −1 0 −1 1 1 3 1 2 | | = [ 2 −4 4 ] = [ −1 −7 5 ] | −| 3 2 3 2 −1 5 −3 1 4 −3 1 2 1 3 | ] | | −| 2 1 2 1

−|

0 2 −1 𝐴−1 = [ −1 −7 5 ] 1 4 −3...