Ejercicios Tarea 8 Resolución PDF

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LÓGICO NUMÉRICO APLICACIÓN DE VECTORES

EJERCICIOS RESUELTOS TAREA 8

Solución tarea 8 1.- Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son: (𝟐, 𝒚)𝒚 (𝒓, 𝟑𝟎°) respectivamente. Determinar 𝒚 , 𝒓.

A) B) C) D)

(2; 1,15), (2,3; 30°) (2; 1), (3; 30°) (2; 2,15), (2,3; 30°) (2; −1,15), (−2,3; 30°)

Resolución: Para las coordenadas rectangulares se tiene que: 𝑦 tan 30° = 𝑥 𝑦 tan 30° = 2 y = 2 tan 30° y = 1,15 Para las coordenadas polares se tiene que 𝑥 cos 30° = 𝑟 2 cos 30° = 𝑟 2 𝑟= cos 30° 𝑟 = 2,3 Por lo tanto: Las coordenadas rectangulares son: (2; 1,15) Las coordenadas polares son: 2,3; 30°

2.- Hallar el simétrico del punto A (7,4) respecto de 𝑴(𝟑, −𝟏𝟏).

A’

M A

A) (−1, −26) B) (7, −11)

C) (7, −26) D) (4, −3)

Resolución: Primero debemos plantear la siguiente igualdad

󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝑀 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑀𝐴′

Después debemos remplazar los datos proporcionados por el ejercicio: 󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍 = (3, −11) − (7, 4) 𝐴𝑀

Ahora solo nos queda despejar 𝐴󰇍 ′󰇍

󰇍󰇍𝐴𝑀 󰇍󰇍 󰇍 = (−4, −15)

(−4, −15) = 󰇍󰇍󰇍 𝐴′ − (3, −11)

󰇍𝐴󰇍′ = (−4, −15) + (3, −11) 󰇍󰇍 𝐴󰇍′ = (−1, −26)

∴ 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑒𝑠 (−1, −26)

3.- Calcule un vector unitario ortogonal a 𝒖󰇍 = (𝟑, 𝟏, −𝟏) 𝒚 󰇍𝒗 = (𝟐, 𝟑, 𝟒). 7 −14 7 󰇍 =( A) 𝑤 , , ) √294 √294 √294 4 −14 5 , , ) √294 √294 √294 1 −14 1 ) ( 294 , 294 , √ √ √294 9 −12 9 ) ( 294 , 294 , √ √ √294

B) 𝑤 󰇍 =( 󰇍 = C) 𝑤 D) 𝑤 󰇍 =

Resolución: El producto cruz 𝑢󰇍 ∗ 𝑣 nos da un vector perpendicular a ambos vectores 𝑖 𝑗 𝑘 1 −1 | 𝑖 − |3 −1 | 𝑗 + 3 1 | |𝑘 󰇍𝑢 ∗ 𝑣 = | 3 1 −1 | = | 2 4 3 4 2 3 2 3 4 󰇍𝑢 ∗ 𝑣 = 7𝑖 + 14𝑗 − 7𝑘 Ahora, calculamos la norma del vector resultante 󰇍 ∗ 𝑣| = √(7)2 + (−14)2 + (7)2 |𝑢 |𝑢 󰇍 ∗ 𝑣| = √294 Finalmente, dividimos el vector ortogonal por su norma para así obtener un vector 󰇍 unitario ortogonal y lo llamaremos 𝑤 −14 7 7 , , ) 𝑤 󰇍󰇍 = ( √294 √294 √294

4.- Calcule el área de un paralelogramo que se define por los vectores 𝒂󰇍 = (𝟏, 𝟑, 𝟐) 𝒚 󰇍𝒃 = (𝟓, 𝟒, 𝟏). A) B) C) D)

√227 √127 √27 √22

Resolución: El área viene dada por la norma del producto cruz 𝑎 ∗ 𝑏 󰇍 𝑜 𝑏󰇍 ∗ 𝑎

Procedemos a calcular𝑎 ∗ 𝑏󰇍

𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 ∗ 𝑏󰇍 = 1 3 2 3 2 | 𝑖 − |1 2 | 𝑗 + |15 34| 𝑘 | |=| 4 1 5 1 5 4 1 󰇍 𝑎 ∗ 𝑏 = −5𝑖 + 9𝑗 − 11𝑘

La norma del vector resultante es el área del paralelogramo 𝐴 = |𝑎 ∗ 𝑏󰇍 | = √(−5)2 + (9)2 + (−11)2 𝐴 = √227

5.- Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (𝟐, 𝟏)𝒎. ¿Qué tan lejos está de la esquina del cuarto? A) B) C) D)

𝑑 𝑑 𝑑 𝑑

= 2,24𝑚 = 3,54𝑚 = 4,20𝑚 = 1,56

Resolución:

Coordenadas polares: (𝑟, 𝜃) 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑟 = √22 + 12 𝑟 = √5 𝑑 = 2,24𝑚 R: La mosca se encuentra a 2,24 m de la esquina del cuarto

Bibliografía:

Superprof. (2021) Vectores. Recuperado de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/ejerci cios-de-vectores.html Rubiños. (2021) Vectores. Recuperado de: https://matematicasn.blogspot.com/2017/04/vectores-ejercicios-resueltos-dellibro.html...