Pauta Tarea 8 - Ejercicios resueltos sobre electromagnetismo. PDF

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Ejercicios resueltos sobre electromagnetismo....

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Pauta Tarea 8 Fecha de entrega: Paralelos 5,6,7 y 10: Jueves 15 de Noviembre Paralelos 8, 9 y 11: Miércoles 14 de Noviembre. Problema 1 En la figura se muestra un alambre que inicialmente es recto y conduce una corriente I. Luego éste se divide en dos alambres curvos (arcos de circunferencia) de distinto largo. La resistencia de un alambre está asociada a su resistividad (condición dada por el material) y a su geometría (grosor y largo). Dado que en este caso el largo de los alambres curvos es distinto, entonces sus resistencias son distintas. Esta diferencia en resistencia produce que las corrientes por cada alambre curvo sean distintas: I1 e I2. Finalmente, los alambres vuelven a unirse en un alambre recto que conduce una corriente I. Toda la configuración está contenida en el plano xy. a ) Encuentre el campo magnético en el punto P en función de las corrientes dadas, la información geométrica dada en la figura y las constantes físicas necesarias. b ) Encuentre la relación entre I1 e I2 para la cual el campo magnético es cero en el punto P.

𝑟1 𝑟2

a) Campo magnético en P El campo magnético en el punto P es la suma de los campos de los arcos de circunferencia. 1. Calculamos el campo magnético generado por I1.

1.1 Vectores importantes: 𝑟1 = 𝑅 sin 𝜃 𝑖 − 𝑅 cos 𝜃 𝑗 𝑟1 = 𝑅 𝑟1 = sin 𝜃 𝑖 − cos 𝜃 𝑗 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃( cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗)

Una manera de verificar el vector dl, es que en este caso debe ser perpendicular al vector r, por lo tanto, el producto punto entre ambos es cero.

1.2 Producto cruz

𝑖 𝑗 𝑘  𝑑𝑙 × 𝑟1 = | 𝑅𝑑𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅𝑑𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 0| 𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑑𝑙 × 𝑟1 = (−𝑅𝑑𝜃𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑅𝑑𝜃𝑠𝑖𝑛 2 𝜃)𝑘 = −𝑅𝑑𝜃𝑘

1.3 Ley de Biot Savart

𝜇0 𝐼 𝑑𝑙 × 𝑟 ∫ 4𝜋 𝑟2 𝜇0 𝐼 −𝑅𝑑𝜃𝑘 ∫ 𝐵󰇍 = 4𝜋 𝑅2 𝐵󰇍 =

𝜃

𝜇 𝐼 󰇍  = − 0 1 ∫ 𝑑𝜃 𝑘 𝐵 4𝜋𝑅 0

𝜇 𝐼 󰇍1 = − 0 1 𝜃𝑘 𝐵 4𝜋𝑅

2. Calculamos el campo magnético generado por I2. El campo magnético generado por I2 tiene la misma forma, pero la corriente es I2, el ángulo es 2𝜋 − 𝜃 , y apunta hacia afuera de la hoja, + 𝑘. 󰇍2 = 𝐵

𝜇0 𝐼2 (2𝜋 − 𝜃)𝑘 4𝜋𝑅

b) Relación entre I1 y I2 Campo total cero en el punto P:

󰇍𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐵󰇍1 + 𝐵 󰇍2 𝐵 𝜇0 𝐼1 𝜇0 𝐼2  𝐵󰇍𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = − 𝜃𝑘 + 4𝜋𝑅 (2𝜋 − 𝜃)𝑘 4𝜋𝑅 𝜇0 𝐼1 𝜇0 𝐼2 0=− 𝜃+ (2𝜋 − 𝜃) 4𝜋𝑅 4𝜋𝑅 𝐼1 2𝜋 − 𝜃 = 𝐼2 𝜃

Problema 2 i) En las figuras que se indican a continuación, circula una corriente eléctrica “I” (cuyo valor se indica en cada figura) por un alambre de largo L en todos los casos. Este alambre genera un campo magnético en el punto P situado a una distancia “x” (cuyo valor se indica en cada figura) de dicho alambre. a) Para cada caso encuentre el campo magnético en el punto P, considerando que L no es muy largo. b) Ordene la magnitud de los campos encontrados de menor a mayor, c) Para cada caso encuentre el campo magnético en el punto P, considerando que L es muy largo (infinito). d) Ordene la magnitud de los campos encontrados de menor a mayor. e) Compare sus respuestas de (b) y (d) y justifique en palabras su resultado. 1

I=I0

x=a

2

I=2I0

x=a

3

I=I0

x=a/2

a) L no es muy largo, por lo que ocupamos la ley de Biot Savart Determinamos el caso general de campo magnético de un alambre recto y luego reemplazamos con las variables de cada caso.

0. Campo magnético de un alambre recto

0.1 Vectores importantes: 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑙 = 𝑑𝑦(𝑗) 0.2 Producto cruz 𝑑𝑙 × 𝑟 = |

0.3 Ley de Biot Savart

𝑖 0 𝑥

𝑗 𝑑𝑦 𝑦𝑗

√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 𝑑𝑙 × 𝑟 = − 𝑑𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝜇0 𝐼 𝑑𝑙 × 𝑟 ∫ 4𝜋 𝑟2 𝑥 2 𝜇 𝐼 √𝑥 + 𝑦 2 󰇍𝐵 = − 0 ∫ 𝑑𝑦 4𝜋 𝑥2 + 𝑦2 𝜇 𝐼 𝑥 󰇍 = − 0 ∫ 𝑑𝑦 𝐵 2 4𝜋 (𝑥 + 𝑦 2 )3⁄ 2 𝐵󰇍 =

𝐿

2 𝜇0 𝐼 𝑦 𝐵󰇍 = 𝑥[ ] 1 4𝜋 𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ⁄2 𝐿

𝐵󰇍 =

𝜇0 𝐼 4𝜋

𝐿

2 𝑥 √𝑥 2 + (𝐿 ⁄2 ) 𝜇0 𝐼 𝐿 𝐵󰇍 = 2𝜋 𝑥√4𝑥 2 + 𝐿2

−2

𝑘 0 0

|

1. Caso 1: I=I0, x=a 󰇍 𝐵 2. Caso 2: I=2I0, x=a

3. Caso 3: I=I0, x=a/2

=

󰇍 = 𝐵

󰇍 = 𝐵

𝜇0 𝐼0 2𝜋

𝑎√4𝑎𝐿2 + 𝐿2

𝜇0 𝐼0 𝐿 𝜋 𝑎√4𝑎2 + 𝐿2 𝜇0 𝐼0 𝐿 2 𝜋 𝑎√𝑎 + 𝐿2

b) Los campos encontrados tiene el siguiente orden de menor a mayor: B1...