Ayudantia 12 Pauta - ejercicios de macroeconomía resueltos PDF

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Universidad Católica del Norte Escuela de Ingeniería Ingeniería Civil Industrial Pauta Ayudantía N°12 Economía Ayudantes: Cristian Farías, Christian Sotelo, Alonso Pizarro, Katherine Pérez, Evelyn Soto, Francisca Torres. Semestre: 2-2018 Suponga a un individuo representativo con la siguiente función...

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Universidad Católica del Norte Escuela de Ingeniería Ingeniería Civil Industrial

Pauta Ayudantía N°12 Economía Ayudantes: Cristian Farías, Christian Sotelo, Alonso Pizarro, Katherine Pérez, Evelyn Soto, Francisca Torres. Semestre: 2-2018 Suponga a un individuo representativo con la siguiente función de utilidad: 1−σ 1−σ C1 1 C2 U ( C1 ; C2 ) = + 1−σ ( 1+δ ) ( 1−σ )

Suponga además que

Y 1=100 ; Y 2=1000 ; σ =0,5 ; δ =0,5 ; r =0,2

1) Si el individuo no puede prestar ni pedir prestado ¿Cuánto consume en cada periodo? ¿A Cuánto asciende su bienestar?

r . Determine una expresión algebraica para el Y 1 ,Y 2 , σ , r , δ ¿Cuánto consume en cada periodo? ¿A

2) Si el individuo puede prestar y pedir prestado a la tasa

consumo en cada periodo en función de Cuánto asciende su bienestar? ¿Está mejor o peor que antes?

τ =50 % a los ingresos financieros, tal que los que piden y los que prestan reciben r ( 1−τ ) ¿Cuánto consume en cada

3) Si el gobierno decide aplicar un impuesto

prestado pagan ahora r ( 1+ τ ) periodo? ¿A Cuánto asciende su bienestar? ¿Está mejor o peor que antes respecto al inciso a y b? ¿A cuánto asciende la recaudación fiscal? Desarrollo:

1) De la teoría de consumo podemos determinar que si el individuo no puede ni pedir prestado, el consumo de cada periodo será igual al ingreso de cada periodo. Por lo tanto:

Y 1=C 1+ S 1 ; como S 1=0 → Y 1=C1 Y 2=C 2+S 1 (1+r); como S 1=0 → Y 2=C 2 U ( 100 ; 1000 ) =

1−0,5 100 1−0,5 1 1000 + =62,16 1−0,5 ( 1+0,5 ) (1−0,5 )

2) Para el segundo caso dado que el individuo puede prestar y pedir prestado, se debe establecer la restricción presupuestaria que maximiza el bienestar del individuo, por lo tanto:

C1 =Y 1−S 1 (1) C2 =Y 2+S 1 (1 +r )(2) Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) , obtenemos la recta presupuestaria : C2 =Y 2+( Y 1−C 1) ( 1+r ) /( 1+r ) 1

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Y2 C2 Y2 C2 =0 = +Y 1−C 1 → C1 + −Y 1− (1+r ) ( 1+r ) ( 1+ r ) ( 1+ r )

Maximizamos el consumo utilizando el siguiente Lagrangiano:

Lagrangiano:

(

1−σ C 11−σ C Y 1 C2 −λ C1 + 2 −Y 1− 2 + 1−σ ( 1+ δ ) ( 1−σ ) ( 1+r ) ( 1+r ) 1−σ −1

dL (1−σ)C1 : 1−σ d C1

)

−λ ( 1 )=0 → λ= 1σ (3) C1

1−σ−1

( )

( 1+r ) 1 dL (1−σ) C 2 : −λ =0 → λ= σ (4) (1+r ) d C 2 (1+ δ ) (1−σ ) C 2 ( 1+δ ) C Y dL :C1 + 2 −Y 1− 2 =0(5) dλ ( 1+r ) ( 1+r) Igualando (3) y (4), tenemos que:

λ=λ →

(1+r) 1 = σ σ C 1 C2 (1+δ)

∴C 1=C 2

√ σ

√

(1+δ) σ ( 1+ r ) (6); C2=C 1 (7) (1+r ) ( 1+ δ )

Por último, reemplazando en (6) y (7) en (5) por separado, obtendremos el consumo que maximiza el bienestar del individuo.

C1 C1 +

C2

√

σ

√

( 1+r ) Y Y (1 +r )+Y 2 ( 1+δ ) −Y 1 − 2 =0→ C 1= 1 (1+r ) (1+r ) σ (1+ r ) 1+r + (1+δ ) σ

√

Y (1+δ) C 2 + −Y 1 − 2 =0→ C 2= (1+r) (1 +r ) (1+r )

Y 1 (1+r ) +Y 2

( √ )

(1+r )

(1+δ ) 1 +σ 1+r (1+r )

Con las expresiones encontradas obtenemos lo solicitado:

C1 =

100 ( 1+0,2 ) +1.000 1+0,2+

√

0,5

( 1+0,2) (1+0,5 )

=608,69 ;C2 =

100 ( 1+0,2 ) +1.000 (1+0,2)

(

√

(1+0,5 ) 1 + 0,5 1+0,2 (1+0,2 ) 2

)

=389,56

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El bienestar será:

U ( 608,69 ; 389,56 ) =

389,561−0,5 608,691−0,5 1 + =75,65 1−0,5 ( 1+0,5 ) ( 1−0,5 )

Claramente el individuo esta mejor con el acceso a un mercado de capitales dado que su bienestar aumenta en 13,49.

3) Antes que nada, identifiquemos que tipo de comportamiento tiene el individuo, como se vio en el inciso 2, el individuo consume más que su renta en el primer periodo, por lo que se debe pedir prestado para llegar a esos niveles de consumo, por lo tanto es un individuo que pagará intereses por la deuda adquirida. Por lo que las expresiones de consumo se verán alteradas por el pago del impuesto:

C1 =

Y 1 ( 1+r ( 1+τ ) ) +Y 2 1+r ( 1+τ )+

C1 =550,92 C2 =

( 1+r (1+τ ) ) ( 1+δ )

1+0,2 ( 1+0,5 )+

√

0,5

(1+0,2 (1+0,5) ) (1+0,5 )

Y 1 ( 1+r ( 1+τ )) +Y 2

( 1+r ( 1+ τ) ) C2 =

√

σ

100 ( 1+0,2 (1+0,5) )+1.000

=

(

√

(1+δ ) 1 +σ 1+ r ( 1+ τ ) ( 1+r ( 1+ τ ) )

)

100 ( 1 +0,2(1 + 0,5) ) +1.000

(

( 1+0,2 ( 1+0,5)) U ( 550,92 ; 413,80) =

√

(1+0,5) 1 + 0,5 ( 1 +0,2(1 +0,5) ) 1 +0,2(1 + 0,5)

=413,80

)

1−0,5 1 413,80 550,921−0,5 + =74,06 1−0,5 ( 1+ 0,5 ) ( 1−0,5 )

Podemos notar que el individuo estaría mejor que en la situación del inciso 1, pero disminuye su bienestar respecto al inciso 2 pues la aplicación del impuesto disminuye su nivel de consumo en el presente dado que debe guardar más para el futuro. La recaudación fiscal asciende a:

Prestamo=P=C 1−Y 1=550,92 −100= 450,92 Recaudaciónfiscal = P∗r∗τ =450,92∗0,2∗0,5 =45,092

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2. En la economía de un país se ha reportado en el gobierno una deuda de 500 US al inicio de un mandado, cuyos gastos reportados en un periodo determinado, sea en este caso, el 1er periodo, unos 300 US. Por otro lado, según la Institución Nacional de Estadística (INE), ha reportado que para el inicio del segundo periodo, la deuda es de 400 US, sin embargo, la candidatura del gobierno promete pagar toda deuda que deba al final del periodo 2. Y los gastos para el segundo periodo es de 450 US. Suponiendo que la función de utilidad Inter periódica de un chileno promedio sigue la siguiente estructura:

U ( C1 , C2) =ln ( C1) +

ln ( C 2) , donde ρ> 0 es la tasa de descuento . 1+ ρ

a) Calcular los impuestos que se cobran.

G1 t1

d0

d1

G2 t2

d2

Donde d0, d1 y d2 son deudas correspondientes al inicio del periodo i (1,2) o al final del periodo (1,2). De aquí se desprende que:

d 1=d 0 (1+r ) +G 1−t 1 d 2=d 1 (1+ r ) +G 2−t 2 400 =500 ( 1+10 %) +300−t 1 0=400 ( 1+10 %)+450−t 2 t 1 =450, t2=890 b) Calcular el óptimo del consumo entre los periodos 1 y 2, suponiendo que la candidatura solo dura 2 periodos netos, la tasa de interés es del 10% y es la misma para el gobierno y para el privado, la renta que obtiene un chileno promedio crece 20% entre un periodo y otro. Además se considera que para la renta del primer periodo, se tuvo una media de 1000 US y la tasa de descuento igual a la tasa de interés.

S0

C1 Y 1−t 1

S1

C2

S2

Y 2−t 2 5

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De aquí se desprende que:

S 1=S0 (1+r ) +(Y 1−T 1) −C1 S 2=S1 (1+ r ) +(Y 2−T 2) −C 2 C1 +

(

)

Y C2 t S =Y 1 + 2 − t 1+ 2 +S 0 (1+r )− 2 1+r 1+r 1+r 1+r

Como S 0=S 2=0, se tiene que

C1 +

(

C2 t2 Y =Y 1 + 2 − t 1+ 1+r 1+r 1+r

)

Realizamos el Lagrangiano;

L=ln ( C 1) +

[

(

)

ln (C 2) Y t C + λ Y 1 + 2 − t 1 + 2 −C 1− 2 1+r 1+r 1+ ρ 1+r

]

∂L 1 1 = −λ=0→ λ= C1 ∂C 1 C 1 1 ∂L λ 1 λ = =0 → = − 1+r C 2( 1+ρ ) ∂C 2 C 2 ( 1+ ρ ) 1+r C 2 1+r = , comor =ρ →C 2=C 1 C 1 1+ ρ

(

t2 Y C ∂L =0 → C1 + 2 =Y 1 + 2 − t 1+ 1+r 1+ r ∂λ 1+r C 1 =C 2 =

[

(

)

)]

1+r Y + Y 2 − t + t 2 =435,71 US 1 2+r 1 1+r 1+r

y por último U ( C 1 ,C 2 )=11,601 c) ¿Cuál es el valor del ahorro entre periodos?

S 1=S0 (1+r ) +( Y 1−T 1) −C1=( Y 1−T 1) −C1 =114,29US

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3. Considere una familia que gana $100 en el primer período y $220 en el segundo período, siendo la tasa de interés de 10% entre ambos periodos. a) Determine la restricción presupuestaria de esta familia. b) Si las preferencias de esta familia son tales que desea consumir exactamente el mismo monto en ambos períodos, ¿cuál será el valor de su consumo y ahorro en cada período? Desarrollo: a) Ahora, en el modelo de consumo de dos periodos la restricción presupuestaria intertemporal de la familia viene dada por:

Expresión que puede reformularse como:

Reemplazando datos tenemos:

b) De acuerdo con el modelo de dos períodos las preferencias de las familias pueden ser expresadas en términos de una función de utilidad. Así, para el caso de una familia que desee consumir exactamente el mismo monto en ambos períodos la función de utilidad será:

la cual se maximiza siempre que se esté sobre la “senda de expansión”, es decir, cuando: 8

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De lo cual, resolviendo, se obtiene el consumo de cada período:

Dado esto, no es difícil hallar el ahorro. Siendo el ahorro la parte del ingreso que no se consume el mismo vendrá determinado por la expresión:

De este modo, para el 1er periodo, dado que el ingreso disponible es igual al generado en la producción, tendremos que:

En cambio, para el 2do periodo, donde hay ganancia (o pérdida) por intereses, tendremos que:

4. José es vegetariano, su nueva función de utilidad con respecto al consumo es la siguiente: ∝ U ( C1 , C2) =C1 +C2

1−∝

José vivirá solo 2 periodos, en el primero se dedicará a recolectar verduras y el segundo periodo se dedicará a envejecer tranquilamente. Si solo recibe una renta medida en paltas (Y) en el primer periodo y lo que ahorra para consumir en su vejez se pudre en una proporción δ. Considere α = 0,5. a) Plantee el problema de maximización al que se enfrenta el querido José y calcule las expresiones para su consumo en ambos periodos. Primer Periodo: Consume una parte de su renta y el resto lo ahorra

C1 =Y −S 10

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Segundo periodo: Solo consume lo que ahorro en el primer periodo menos lo que se le pudre.

C2 =S (1−δ) Despejando “S” en la segunda ecuación y reemplazándolo en la primera, obtenemos la restricción presupuestaria inter-temporal de José.

Y =C 1+

C2 1−δ

Entonces podemos plantear el problema de maximización como:

MAX U (C 1 ,C 2) =C 1 +C 2 ∝

Y =C 1+

1−∝

C2 1−δ

Para encontrar las expresiones para ambos consumos debemos aplicar lagrangiano:

(

L=C 1∝+C 21−∝+ ƛ Y −C 1−

C2 1−δ

)

dL ∝−1 =αC 1 −ƛ d C1 dL ƛ =(1−α)C 2−∝ − 1−δ d C2

Igualando ƛ y trabajando la igualdad despejando primero

C1 =

C1 obtenemos que:

C2

( 1−δ)

2

Reemplazando este valor en la restricción presupuestaria y trabajando la igualdad obtenemos que

C2 =

C2

será:

Y ( 1−δ ) 2 2−δ

b) Se sabe que a José se le pudre el 30% de las verduras que guarda y que cosecha 150 paltas por el primer periodo. Calcule el bienestar de José

C2 = C1 =

Y ( 1−δ ) 2 150 ( 1−0,3 )2 = =43,23 2−δ 2−0,3 C2

( 1−δ)

2

=

43,23 =88,23 2 (1−0,3 ) 11

Universidad Católica del Norte Escuela de Ingeniería Ingeniería Civil Industrial 1−∝ MAX U (C 1 ,C 2) =C∝ 1 +C 2 0,5 0,5 MAX U (88,23 ; 43,23) =88,23 + 43,23 =15,96 ≈ 16

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