Kalkulus 3 Lengkap PDF

Preview

Summary

MATERI AJAR KALKULUS 3 (Persamaan Differensial, Fungsi-fungsi khusus, Fungsi Bessel, PD Bessel ) Disusun Oleh: Ir. M. Hamdani, M.Eng. Program Sarjana PS Teknik Elektro Fakultas Teknologi Industri Institut Sains Dan Teknologi Nasional Pengantar Kalkulus 3 merupakan matakuliah wajib bagi Program Sarj...

Description

MATERI AJAR KALKULUS 3 (Persamaan Differensial, Fungsi-fungsi khusus, Fungsi Bessel, PD Bessel )

Disusun Oleh: Ir. M. Hamdani, M.Eng.

Program Sarjana PS Teknik Elektro Fakultas Teknologi Industri Institut Sains Dan Teknologi Nasional

Pengantar Kalkulus 3 merupakan matakuliah wajib bagi Program Sarjana PS Teknik Elektro, di Institut Sains Dan Teknologi Nasional. Materi Ajar ini ditulis untuk digunakan pada perkuliahan Kalkulus 3 dengan membuang beberapa topik yang tidak diperlukan. Dari segi konsep, isi perkuliahan kalkulus 3 dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak banyak mengalami perubahan untuk jangka waktu yang cukup panjang. Bagian yang secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Selain itu soal-soal yang disajikan mulai banyak diaktualkan dengan situasi saat ini, melalui pemecahan problem-problem real sederhana yang dijumpai sehari-hari. Penyusunan materi ajar ini bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran. Pada proses pembelajaran konvensional, biasanya dosen menjelaskan perkuliahan sambil mencatat di papan tulis. Proses pembelajaran lebih banyak mendengarkan ceramah dari dosen. Peran serta mahasiswa sebagai pembelajar sangat terbatas. Melalui materi ajar ini diharapkan proses pembelajaran dapat lebih diefektifkan. Fungsi dari materi ajar ini, bagi dosen untuk dipakai menjelaskan materi kuliah, sedangkan bagi mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran dikelas dapat digunakan secara lebih efektif untuk ceramah dan diskusi. Perlu diperhatikan bahwa pada materi ajar ini soal-soal yang disajikan umumnya tidak disertai solu si. Hal ini memang disengaja karena pembelajaran akan lebih efektif bila solusinya dibicarakan bersamasama mahasiswa di kelas. Semoga materi ajar ini dapat berguna untuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus 3. M. Hamdani

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN

BAB I PERSAMAAN DIFFERENSIAL Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial. Contoh :

f ( x, y ,

dy d 2 y , , ..................) = 0 dx dx 2

g ( x, y , z ,

∂ z ∂2z , ,...............) = 0 ∂ x ∂x∂y

Ada 2 jenis persamaan differensial : - Persamaan differensial biasa →

d2y dy + y=0 x 2 + 3x dx dx

∂ 2z ∂ 2z + + ( x2 + y2 )z = 0 - Persamaan differensial partial → 2 ∂x ∂ x∂ y Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.

1.

Persamaan Diferensial Biasa

Definisi : - Turunan tertinggi didalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari persamaan differensial tersebut

x

d2y d 3 y dy 2 + + + y=0 dx 2 dx 3 dx

⇒ persamaan differensial orde 3

- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat dari persamaan differensial tersebut. 3

2

d2y  d 3 y   dy  x  2  + 5  3  +   + y = 0 ⇒ persamaan diff. orde 3 pangkat 2  dx   dx   dx 

Kalkulus 3

6

Mohammad Hamdani

Halaman 1

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN 1.1.

Persamaan Diferensial Orde 1 Pangkat 1

1.1.1

Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

dy = f ( x, y ) dipisahkan menjadi: dx

Bentuk Pers. Diff.

M ( x) dx + N ( y )dy = 0 Dengan demikian variabel

x dipisahkan dengan variabel y

Contoh : Carilah Penyelesaian dari Persamaan Differensial berikut:

dy x 2 + =0 dx y

1.

Penyelesaian:

ydy + x 2 dx = 0

∫

y dy + 1 2

2.

∫

x 2 dx = C

y 2 + 13 x 3 = C

merupakan jawab umumnya

y dy = 0 x

e x 1 − y 2 dx +

𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦

∫ 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ �1−𝑦𝑦2 = 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) − 12 ∫

𝑑𝑑(1−𝑦𝑦 2 )

1

�1−𝑦𝑦 2

= 𝐶𝐶

𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 − � 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2 2 �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶 3.

𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1) − �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶

𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 �

𝑑𝑑(𝑥𝑥 3 1 � 3 3

𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

√𝑥𝑥 3 + 1

+ 1)

√𝑥𝑥 + 1 2 3

Kalkulus 3

𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑

+

+�

𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 =0 𝑦𝑦 2 + 1

𝑑𝑑(𝑦𝑦 2 + 1) 1 � 2 2 𝑦𝑦 + 1

= 𝐶𝐶

√𝑥𝑥 3 + 1 + 12 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦 2 + 1) = 𝐶𝐶

Mohammad Hamdani

Halaman 2

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN Soal-soal : Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut : 1.

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

2. x 2

1.1.2

=

sin2 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦

dy dy − y2 = x2 y dx dx

3.

dy dy = ln y + tan x sec 2 x dx dx

4.

1 arcsin x dx = (e y − 1)dy y

Persamaan Differensial Homogen (PDH) Definisi : Suatu

f ( x, y )

dikatakan

homogen

bila

memenuhi

sifat

f (λx, λy ) = λn f ( x, y ) Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan Contoh : a)

f ( x, y ) = x 4 + y 4 → f (λx, λy ) = λ4 ( x 4 + y 4 ) = λ2 = λ2

b)

f ( x, y ) =

x2 + y2 → f (λ x, λ y ) xy

=

x4 + y4

f ( x, y ) → orde 2

λ2 ( x 2 + y 2 ) λ2 ( xy )

 x2 + y2   = λ0  xy   o = λ f ( x, y ) orde nol Persamaan

differensial

M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy = 0 ,

disebut

Persamaan

Diferensial homogen bila berlaku M ( x, y ) dan N ( x, y ) adalah fungsi homogen dengan orde yang sama. Contoh : a) ( x 2 + y 2 ) dx + x 3dy = 0 → bukan PDH karena orde M ( x, y ) ≠ N ( x, y )

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 3

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN b)

( x 2 + xy ) dx + x 2 dy = 0

→

PDH

dimana

M ( x, y ) dan N ( x, y ) adalah

fungsi homogen orde 2 Bentuk persamaan differensial

dy P( x, y ) = juga disebut persamaan diferensial dx Q( x, y )

homogen bila terpenuhi fungsi homogen f ( x, y ) =

P ( x, y ) berharga orde nol. Q ( x, y )

Penyelesaian Persamaan Differensial Homogen Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka: - ambil 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 dimana 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥), sehingga didapat 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 - ambil 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 dimana 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑦𝑦), sehingga didapat 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 + 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 Contoh :

Pecahkan persamaan differensial berikut : 1) ( x 2 + xy )dx + x 2 dy = 0 Jawab :

M ( x, y ) = x 2 + xy adalah fungsi homogen orde dua N ( x, y ) = x 2 adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian persamaan differensial diatas adalah persamaan diff. Homogen Misal : 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 maka didapat 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

Sehingga : (𝑥𝑥 2 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 2 (𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0

(𝑥𝑥 2 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 2 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 𝑥𝑥 2 (1 + 2𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 x2 x3

∫

dx + ∫ 1+du2u = C1

ln x +

1 ln (1 + 2u ) = C1 2 ln x (1 + 2u ) = ln C 1 2

1

x (1+ 2u ) 2 = C

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 4

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN  y x 1 + 2  = C  x

atau 2)

Carilah jawab umum dari : Jawab: 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3

𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑

(jawab umum)

3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3

=

3𝑥𝑥𝑥𝑥 2

adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.

3𝑥𝑥𝑥𝑥 2

diatas adalah pers diff homogen misal :

dy du =u+x dx dx

𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 →

𝑢𝑢 + 𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑢𝑢 + 𝑥𝑥

∫

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

= =

= =

3𝑢𝑢3 𝑥𝑥 3 −𝑥𝑥 3 3𝑢𝑢2 𝑥𝑥 3

3𝑢𝑢3 −1 3𝑢𝑢2

3𝑢𝑢3 −1−3𝑢𝑢3 −1

3𝑢𝑢2

3𝑢𝑢2

+ ∫ 3𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + 𝑢𝑢3 = 𝐶𝐶 𝑦𝑦 3

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + � � = 𝐶𝐶 𝑥𝑥

𝑦𝑦

3

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 �𝑥𝑥� = ln 𝐶𝐶 𝑦𝑦 3

𝑥𝑥𝑒𝑒 �𝑥𝑥� = 𝐶𝐶

Pecahkan soal-soal berikut: y  y  dy 1. x cos  = y cos − x x  x  dx

2. ( x + y )

dy = x− y dx

dy y − x 2 − y 2 = 3. dx x 4.

Kalkulus 3

dy y y = + dx x x ln y x

Mohammad Hamdani

Halaman 5

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan differensial adalah sebagai berikut: 1. d ( xy ) = xdy + ydx

 y  x dy − y dx 2. d   = x2 x

 x  x dy − y dx 3. d  −  = y2  y

  y   x dy − y dx 4. d  tan −1    = 2 x + y2  x   1 x + y  x dy − y dx 5. d  ln = x − y  x2 − y2 2  y 2  2 xy dy − y 2 dx 6. d   = x2  x 

x dx + y dx 1 2 2  7. d  ln ( x + y )  = x2 + y2 2  Contoh soal : Selesaikan Persamaan Differensial berikut ini: 1.

xdy + ydx = 2 x 2 ydx x dy + y dx = 2 x dx xy

∫ d{ln( xy)} = ∫ 2 xdx

dengan demikian:

ln( xy ) = x 2 + C 2. x ( xdx + ydy ) + y ( x dy − ydx ) = 0 2

Jawab : xdx + ydy =

1 d ( x 2 + y 2 ) dan xdy − ydx = x 2 d 2

() y x

Persamaan menjadi : 1 2 x d ( x 2 + y 2 ) + yx 2 d 2

Kalkulus 3

( )= 0 y x

Mohammad Hamdani

Halaman 6

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN ambil: x = r cosθ ; y = r sin θ sehingga

y x

2 2 2 = tan θ dan ( x + y ) = r

maka didapat : 1 2

dθ =0 Cos 2 θ

r 2 cos 2 θ dr 2 + r 3 sin θ cos 2 θ

r 3 cos 2 θ dr + r 3 sin θ dθ = 0

∫ dr + ∫ ( r+

sin θ cos 2 θ

) dθ = C

1 =C Cos θ r+

r =C x

 1 ⇒ r 1 +  = C x 

1 + x  x2 + y2  =C  x 

( x 2 + y 2 )(1 + x) 2 = Cx 2

Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut : 1. ( x + e − x sin y )dx − ( y + e − x cos y )dy = 0 2. xdy − ydx = 2 x 3 dx

1.1.3

Persamaan Diferensial Linier Bentuk umum :

dy + P ( x) y = Q ( x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli dx

Cara pemecahan : Misalkan : y = uv ………….............................. ( 2 ) dimana : u = u (x) dan v = v(x) dengan demikian didapat: du dv dy =v +u dx dx dx

…………................. ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 7

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN

u

dv du + v + P ( x) uv = Q ( x) dx dx

u

dv  du  + v  + P( x) . u  = Q( x) ………… ( 4 ) dx  dx 

bSelanjutnya pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du + P( x) u = 0 ……………...................................... ( 5 ) dx

∫

du = − ∫ P ( x) dx u

ln u = − ∫ P( x) dx + C1

ambil C1 = 0, sehingga : dari (4) dan (5) didapat : u

𝑢𝑢 = 𝑒𝑒 − ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ............................( 6 )

dv = Q(x) dx

……….......….. ( 7 )

− P ( x ) dx dv subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat e ∫ = Q( x) dx

sehingga:

P ( x ) dx  dv = Q( x) e ∫  dx  P ( x ) dx  v = ∫ Q( x) e ∫  dx 

y = uv dapat diselesaikan.

Dengan demikian

Contoh soal : Selesaikan persamaan differensial berkut : 1.

2y dy − = ( x +1)5 / 2 dx x +1

Jawab :

dy 2 − y = ( x +1)5 / 2 dx x +1 dimana : P( x) = −

2 dan Q( x) = ( x +1) 5 / 2 x +1

Misal : y = uv

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 8

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN dy dv du =u +v dx dx dx v

 dv du 2v  5/ 2 +u −  = ( x + 1) dx  dx x + 1

Pilihlah v sedemikian rupa sehingga :

dv 2v − =0 dx x +1 dv dx = 2∫ v x +1

∫

ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0

∴ v = ( x + 1) 2 v

du = ( x + 1) 5 / 2 dx

( x + 1) 2

du = ( x +1) 5 / 2 dx

du = ( x + 1) 2 dx 1

u=

2 ( x +1) 3 / 2 + C 3

Maka : y = uv

)

(

2 y = 2 ( x + 1)3 / 2 + C ( x + 1) 3

2.

dy = e− x − 2 x y dx 2

Jawab: 2 dy = e − x − 2 x y disederhakan menjadi dx

2 dy + 2 xy = e − x dx

Misal : y = uv →

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

dy du dv =v +u dx dx dx

Halaman 9

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN Dengan demikian:

u

2 dv  du  +v  + 2 ux  = e − x dx  dx 

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du + 2u x = 0 dx

du = − 2 x dx u

ln u = − x 2 + C → ambil C = 0 , sehingga 1

1

u = e− x u

2

, sedangkan

2 2 dv 2 dv = e − x maka e − x = e−x dx dx

dv = dx v = x+c karena y = uv jadi jawab umumnya y = ( x + c) e − x

2

Soal-soal : Pecahkan Persamaan Differensial berikut : dy x 2 + 2 y 1. = x dx 2.

3. ( x 2 + 1)

dy = cos 3 x − y cos x dx

4.

dy + 2 xy = x 2 dx

dy y −1 = 2 dx x + 1

1.1.4 Persamaan Diferensial Non Linier Yang Dapat Dijadikan Persamaan Diferensial Linier Suatu persamaan diferensial dengan bentuk: dy + P( x) y = Q( x) y n ………………………………….………. ( 1 ) dx

Disebut persamaan differensial non linier.

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 10

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : z = y − n + 1 ………..… ( 2 ) Sehingga:

dy dy dz dz dz dy dz = ⇒ = = (−n + 1) y − n , maka . . karena dx dz dx dx dy dx dy

didapat :

dy dz = (−n + 1) y −n dx dx

1 dy dz = yn …………………………. ( 3 ) dx − n + 1 dx Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh : dz 1 yn + P ( x) y = Q( x) y n , kalikan dengan y − n sehingga didapat dx − n +1 1 dz + P ( x) y −n +1 = Q( x) kalikan dengan ( − n + 1 ) sehingga didapat − n + 1 dx dz + (−n + 1) P( x) y − n +1 = (−n + 1) Q( x) dx

dz + (−n + 1) P( x) . Z = (−n + 1) Q( x) dx dz + H ( x) . z =W ( x) ⇒ persamaan differensial linier. dx

Dengan memisalkan z = uv maka persamaan differensial dapat diselesaikan.

Contoh soal : Carilah jawab umum Persamaan Differensial Berikut: 1.

dy + y = xy 3 dx

dirubah menjadi

dy + 1 y = x y 3 sehingga terlihat dx P ( x ) Q( x)

sebagai persamaan differensial non linier Misalkan z = y − n +1 sehingga z = y −3+1 atau z = y −2 , dengan demikian maka: dz − 2 y −2 = − 2 x dx

atau

dz − 2z = − 2x , dx

yang merupakan persamaan

differensial linier Misal: z = uv maka u

Kalkulus 3

dv du +v − 2 uv = − 2 x dx dx

Mohammad Hamdani

Halaman 11

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN

u

dv  du  + v  − 2u  = − 2 x dx  dx 

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du − 2u = 0 ⇒ dx

∫ duu = ∫ 2 dx

ln u = 2 x + C , ambil C = 0 sehingga didapat 1

1

u = e2 x u

dv dv = − 2 x ⇒ e2x = − 2x dx dx

dv = −2 xe −2 x dx v = ∫ x de −2 x

v = x e −2 x + 12 e −2 x + C

v = ( x + 12 )e −2 x + C

[

∴ z = e 2 x ( x + 12 )e −2 x + C

]

Sehingga: y −2 = x + 12 + Ce 2 x

2.

1 dy 1 + 5 = x2 6 y dx xy

dy y dy  1  + = x2 y6 ⇒ +   y = ( x 2 ) y 6 → pers. differensial non linier dx x dx  x  Dengan memisalkan : z = y −5 , maka didapat : dz z − 5 = − 5 x 2 → persamaan differensial linier dx x

Persamaan differensial dapat diselesaikan dengan mengambil z = uv

Soal-soal: Carilah Jawab Umum dari Persamaan Differensial berikut

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 12

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN 1.

dy y y 2 − + =0 dx x x 2

2. x

dy + y = y 7 ln x dx

dy xy x y6 3. − = dx 1 − x 2 1 − x 2

I.1.5

Persamaan Diferensial Exact Suatu persamaan differensial : M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 disebut persamaan differensial Exact bila mempunyai sifat bahwa : ∂N ∂M = ∂x ∂y Misalkan

F ( x, y ) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut.

maka dF =

bila

∂F ∂F dx + dy ≡ 0 ∂x ∂y

∂F = M ( x, y ) ∂x maka M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0

∂F = N ( x, y ) ∂y

∂M ∂2F = ∂y ∂ y ∂x ∴

∂M ∂N = ∂y ∂x

∂N ∂2F = ∂x ∂ x ∂y

Kalkulus 3

Mohammad Hamdani

Halaman 13

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN Dari

∂F = M ( x, y ) didapat ∂x

sedangkan

F ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + c ambil c = g ( y )

[∫ M ( x, y ) dx + g ( y )]

∂ ∂F = N ( x, y ) , maka N ( x, y ) = ∂y ∂y ∴

g ( y ) = ……. ? (dapat dicari)

Contoh soal : Selesaikan Persamaan Differensial Berikut 1. ( x 2 + xy ) dx + ( y 2 + 12 x 2 ) dy = 0 Penyelesaian:

x 2 + xy = M ( x, y ) ⇒

∂M =x ∂y Jadi

y 2 + 12 x 2 = N ( x, y ) ⇒

∂M ∂N = ∂y ∂x

∂N =x ∂x

Dengan demikian maka persamaan Misalkan

F ( x, y ) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut.

Maka berlaku bahwa:

∂F = M ( x, y ) sehingga didapat F ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx ∂x

= ∫ ( x 2 + xy )dx Jadi F ( x, y ) = 13 x 3 + 12 x 2 y + g ( y ) dan

∂F = N ( x, y ) ⇒ ∂y

1 2

x 2 + g , ( y) = y 2 +

jadi : g ' ( y ) = y 2 sehingga g ( y ) =

1 2

x2

1 3 y + C1 3

x3 x 2 y y3 Dengan demikian didapat : F(x, y) = + + + C1 = C 2 3 2 3 Sehingga:

Kalkulus 3

1 3

x 3 + 12 x 2 y + 13 y 3 = C merupakan jawab umumnya

Mohammad Hamdani

Halaman 14

Program Studi Teknik Elektro, FTI, ISTN 2.

(2 xe y + e x )dx + ( x 2 + 1) e y dy = 0 Karena M ( x, y ) = 2 xe y + e x →

N ( x, y ) = ( x 2 + 1) e y →

∂M = 2 xe y ∂y

dan

∂N ∂M ∂N = 2 xe y jadi : = ∂x ∂x ∂y  P.D.E .

Dari

∂F = M ( x, y ) maka didapat F ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx ∂x

= ∫ (2 xe y + e x )dx sehingga F ( x, y ) = x 2 e y + e x + g ( y )

sedangkan

∂F = N ( x, y ) ⇒ x 2 e y + g , ( y ) = ( x 2 +1) e y ∂y g' ( y) = e y sehingga

g ( y ) = e y + C1

Jadi : F ( x, y ) ≡ x 2 e y + e x + e y + C1 = C2 Dengan demikian maka: ( x 2 + 1)e y + e x = C , adalah jawab umumnya

Soal-soal : 1. ( y 2 + 2 xy + 1) dx + ( 2 xy + x 2 ) dy = 0 2.

dy 2 x + y sin x = dx Cos x

3. ( x +

y 2 + 1 dx ) – ( y −

4. (e + ln y + x

Kalkulus 3

xy y2 + 1

) dy = 0

x y ) dx +  + ln x + sin...