Kalkulus Peubah Banyak PDF

Preview

Summary

KALKULUS PEUBAH BANYAK Yunis Sulistyorini Era Dewi Kartika Program Studi Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang [Type here] Subbab ke :1 Materi Pokok : Sistem Koordinat Indikator : 1. Mahasiswa mampu menjelaskan sistem koordinat dalam bidang 2. Mahasiswa mampu menjelaskan sistem koordinat dala...

Description

KALKULUS PEUBAH BANYAK Yunis Sulistyorini Era Dewi Kartika Program Studi Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang

[Type here]

Subbab ke :1 Materi Pokok : Sistem Koordinat Indikator : 1. Mahasiswa mampu menjelaskan sistem koordinat dalam bidang 2. Mahasiswa mampu menjelaskan sistem koordinat dalam ruang A. Sistem koordinat dalam bidang Sistem koordinat dalam bidang dibagi menjadi dua. yaitu sistem koordinat kartesius dan polar. 1. Sistem koordinat kartesius

•

Terdiri dari sumbu-x, sumbu-y dan titik asal O.

•

Koordinat titik dalam sistem koordinat kartesius dinyatakan sebagai pasangan bilangan berurutan (x,y).

•

Dibagi menjadi empat kuadran yaitu Kuadaran I : sumbu-x positif dan sumbu-y positif Kuadran II : sumbu-x ……...dan sumbu-y ……… Kuadran III : sumbu-x ……...dan sumbu-y ……… Kuadran IV : sumbu-x ……...dan sumbu-y ………

2. Sistem koordinat polar

•

Terdiri dari sumbu polar dan polar atau titik asal O

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

1

•

Koordinat titik dalam sistem koordinat polar dinyatakan sebagai (𝑟, 𝜃) dengan 𝑟 adalah jarijari lingkaran dan 𝜃 merupakan sudut yang terbentuk antara salah satu sinar dan sumbu polar.

Perhatikan bahwa masing-masing titik dalam koordinat polar dapat dinyatakan lebih dari satu pasangan koordinat polar. Hal ini dikarenakan sudut-sudut 𝜃 + 2𝑛𝜋, 𝑛 = 0, ±1, ±2, … memiliki sisi akhir yang sama. Contohnya (2, 𝜋3) dapat dinyatakan dalam koordinat polar lain yaitu jika 𝑛 = 1 maka 𝜃 + 2𝑛𝜋 = 𝜋3 + 2(1)𝜋 = 𝜋3 + 2𝜋 =

7𝜋 3

sehingga diperoleh koordinat polar (2, 7𝜋 ) 3

atau jika 𝑛 = 3 maka 𝜃 + 2𝑛𝜋 = 𝜋3 + 2(3)𝜋 = 𝜋3 + 6𝜋 =

19𝜋 3

sehingga diperoleh koordinat polar

(2, 19𝜋 ) 3 atau jika 𝑛 = −1 maka 𝜃 + 2𝑛𝜋 = 𝜋3 + 2(−1)𝜋 = 𝜋3 − 2𝜋 = −

5𝜋 3

sehingga diperoleh koordinat polar

(2, −5𝜋 ), dan seterusnya. 3 Selain itu, r negative juga dapat digunakan untuk menyatakan koordinat polar. Dalam kasus ini (𝑟, 𝜃) terletak pada sinar berlawanan dari sisi akhir 𝜃 dan |𝑟| satuan dari titik asal. Jadi titik (3, 7𝜋 ) dapat dinyatakan sebagai (−3, 𝜋6) seperti pada gambar di bawah ini. Sebagai contoh 6 lain (4, 𝜋2) dapat dinyatakan sebagai (−4, 3𝜋 ). 2

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

2

3. Hubungan antara koordinat kartesius dan polar

Polar ke kartesius

Kartesius ke polar

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

tan 𝜃 = 𝑦⁄𝑥

Contoh: a. Tentukan koordinat kartesius yang berpadanan dengan (4, 𝜋6) . b. Tentukan koordinat polar yang berpadanan dengan (−3, √3) Penyelesaian: a. Jika dimisalkan (𝑟, 𝜃) = (4, 𝜋6) maka √3 = 2√3 2 1 𝑦 = 4 sin 𝜋6 = 4 ∙ = 2 2

𝑥 = 4 cos 𝜋6 = 4 ∙

Jadi (4, 𝜋6) berpadanan dengan (2√3, 2) dalam sistem koordinat kartesius. b. Jika dimisalkan (𝑥, 𝑦) = (−3, √3) maka 𝑟 2 = (−3)2 + (√3)2 = 9 + 3 = 12 sehingga 𝑟 = ±√12 = ±2√3 tan 𝜃 =

√3 −3

Salah satu koordinat polar yang berpadanan dengan (−3, √3) adalah (2√3, 5𝜋 ). Koordinat 6 polar lainnya adalah (−2√3, 11𝜋 ) atau (−2√3, −𝜋6) atau (2√3, 17𝜋 ). 6 6 Latihan soal

1. Plotlah titik-titik yang koordinat polarnya adalah 𝜋

𝜋

𝜋

5 𝜋

(3, 3 ) , (1, 2 ) , (4, 3 ) , (0, 𝜋), (1,4𝜋), (3 , 2 ) , (4,0). 2. Plotlah titik-titik yang koordinat polarnya adalah 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 (3,2𝜋), (−2, ) , (−2, − ) , (−1,1), (1, −4𝜋), (−2, ) , (−1, ) 3 4 4 2

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

3

3. Plotlah titik-titik yang koordinat polarnya sebagai berikut. Untuk tiap titik, tentukan empat pasang titik koordinat polar lainnya, dua dengan 𝑟 positif dan dua dengan 𝑟 negatif. 𝜋

a. (−1, 4 ) 𝜋 3

b. (√2, − ) c. (−1,

15𝜋 ) 4

4. Tentukan koordinat kartesius dari soal nomor 3. 5. Tentukan koordinat polar dari titik-titik berikut ini. a. (3√3, 3) b. (−2√3, 2) c. (−√2, −√2) d. (0,0) e. (−3/√3, 1/√3) f.

(0,0)

g. (0,2) 6. Sketsakan grafik persamaan kartesius yang diketahui kemudian tentukan persamaan polarnya a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 b. 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 c. 𝑦 = −2 7. Tentukan persamaan kartesius dari persamaan polar yang diberikan. a. 𝑟 cos 𝜃 + 1 = 0 b. 2 − 𝑟 sin 𝜃 = 0 c. 𝑟 = 4

B. Sistem koordinat dalam ruang Sistem koordinat dalam ruang dibagi menjadi tiga yaitu sistem koordinat kartesius, tabung dan bola. 1. Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat kartesius dalam ruang terdiri dari tiga sumbu, yaitu sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z. Ketiga sumbu tersebut membentuk tiga bidang yaitu bidang-xy, bidang-xz dan bidang-yz. Dan membagi ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama seperti diilustrasikan dalam gambar di bawah ini.

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

4

Contoh: koordinat titik 𝑃(2, −3,4) dan 𝑄(−3,2, −5) dalam sistem koordinat kartesius

2. Sistem Koordinat Tabung Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat-koordinat polar 𝑟 dan 𝜃 sebagai ganti dari koordinat kartesius 𝑥 dan 𝑦 dalam bidang. Sedangkan koordinat-z sama seperti dalam koordinat kartesius. Biasanya diasumsikan 𝑟 ≥ 0 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

5

Hubungan antara koordinat kartesius dan tabung dapat dinyatakan dalam persamaan berikut. Kartesius ke tabung

Tabung ke kartesius

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

tan 𝜃 = 𝑦⁄𝑥

𝑧=𝑧

𝑧=𝑧

Contoh: a. Tentukan koordinat kartesius yang berpadanan dengan koordinat tabung (4,

2𝜋 , 5). 3

b. Tentukan koordinat tabung yang berpadanan dengan koordinat kartesius (−5, −5,2). Penyelesaian: a. Misalkan (𝑟, 𝜃, 𝑧) = (4, 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 4 cos 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 4 sin

2𝜋 , 5) 3

2𝜋 1 = 4 ∙ (− ) = −2 3 2

2𝜋 √3 = 4 ∙ ( ) = 2√3 3 2

𝑧=5 Jadi koordinat kartesius yang berpadanan dengan (4,

2𝜋 , 5) 3

adalah (−2, 2√3, 5).

b. Misalkan (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5, −5,2) 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(−5)2 + (−5)2 = √25 + 25 = √50 = 5√2 𝑦

−5

tan 𝜃 = 𝑥 = −5 = 1 (kuadran III) sehingga 𝜃 =

5𝜋 4

𝑧=2 Jadi koordinat polar yang berpadanan dengan (−5, −5,2) adalah = (5√2,

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

5𝜋 , 2). 4

6

3. Sistem Koordinat Bola Sebuah titik 𝑃 mempunyai koordinat bola (𝜌, 𝜃, 𝜙) dengan 𝜌 merupakan jarak titik 𝑃 ke titik asal atau |𝑂𝑃|, 𝜃 merupakan sudut polar yang berpadanan dengan proyeksi 𝑃′ dari 𝑃 ke bidang-𝑥𝑦, dan 𝜙 merupakan sudut antara sumbu-𝑧 positif dengan ruas garis 𝑂𝑃.

Hubungan antara koordinat kartesius, polar dan bola Tabung ke bola

Bola ke tabung

𝜌 = √𝑟 2 + 𝑧 2

𝑟 = 𝜌 sin 𝜙

𝜃=𝜃

𝜃=𝜃 𝑟

tan 𝜙 = 𝑧

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

Kartesius ke bola

Bola ke kartesius

𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃

tan 𝜃 = cos 𝜙 =

𝑦 𝑥

𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 𝑧

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2

Contoh: 𝜋 2𝜋 ). 3

Tentukan koordinat kartesius dari titik 𝑃 dengan koordinat bola (8, 3 , Penyelesaian: 𝜋 2𝜋 ) 3

Misalkan (𝜌, 𝜃, 𝜙) = (8, 3 , 𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 = 8 sin

2𝜋 𝜋 √3 1 cos = 8 ∙ ∙ = 2√3 3 3 2 2

2𝜋 𝜋 √3 √3 sin = 8 ∙ ∙ =6 3 3 2 2 2𝜋 1 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 = 8 cos = 8 (− ) = −4 3 2 𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 = 8 sin

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

7

𝜋 2𝜋 ) 3 3

Jadi koordinat kartesius yang berpadanan dengan (8, ,

adalah (2√3, 6, −4).

Latihan soal

1. Plotlah masing-masing titik berikut ini dalam sistem koordinat kartesius. a. (5, 2, 4) b. (−3,5, 3) c. (5, −3, 4) d. (−2, 2, −3) e. (−1, − 2,2) f.

(4, −2, − 4)

g. (−2, − 2, −3) h. (3,4, −2) 2. Tentukan koordinat bola dari koordinat tabung berikut ini. 𝜋

a. (1, 2 , 1) 𝜋

b. (−2, 4 , 2) 3. Tentukan koordinat kartesius dari koordinat tabung berikut ini. 𝜋

a. (6, 6 , −2) b. (4,

4𝜋 , −8) 3

4. Tentukan koordinat kartesius dari koordinat bola berikut ini. 𝜋 𝜋

a. (8, 4 , 6 ) 𝜋 3𝜋 ) 4

b. (4, 3 ,

5. Tentukan koordinat bola dari koordinat kartesius berikut ini. a. (2, −2√3, 4) b. (−√2, √2, 2√3) 6. Tentukan koordinat tabung dari koordinat tabung berikut ini. a. (2, 2, 3) b. (4√3, −4, 6)

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

8

Subbab ke :2 Materi Pokok : Fungsi Peubah Banyak Indikator : 1. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi fungsi peubah banyak 2. Mahasiswa mampu memberikan contoh fungsi peubah banyak 3. Mahasiswa mampu menggambarkan grafik fungsi peubah bany Fungsi dapat berbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit. Fungsi eksplisit dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) Sedangkan fungsi implisit dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 Sebagai contoh fungsi 𝑦 = 3𝑥 + 1 dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan dapat dinyatakan dalam bentuk implisit sebagai 𝑦 − 3𝑥 − 1 = 0. Perhatikan fungsi-fungsi berikut ini. 1. 2𝑦 − 𝑥 = 8 2. 𝑦 = sin 2𝑥 3. 𝑥𝑦 = 2 4. log 𝑥𝑦 = 100 5. 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 = 10 6. 𝑦 − 𝑒 2𝑥 = 1 Fungsi pertama 2𝑦 − 𝑥 = 8 dapat dituliskan bentuk eksplisitnya sebagai 𝑦 =

𝑥+8 2

dan bentuk

implisitnya sebagai 2𝑦 − 𝑥 − 8 = 0. Demikian juga dengan fungsi 2, 3, 5, dan 6 (Coba tunjukkan bahwa fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan implisit). Selanjutnya coba perhatikan fungsi 5. Apakah fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk implisit? Jelaskan. Jika kamu sudah mencoba menyelesaikan masalah di atas kamu akan dapat memahami bahwa “semua fungsi eksplisit dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi implisit, tapi ada fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksplisit”. Fungsi yang disajikan di atas merupakan fungsi sederhana yang hanya terdiri dari satu variabel terikat dan satu variabel bebas. Lantas apa yang dimaksud dengan fungsi peubah banyak? Coba perhatikan fungsi di bawah ini? 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 Jika dimisalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka kedua fungsi di atas dapat dinyatakan sebagai 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

9

Ada berapa banyak peubah pada kedua fungsi tersebut? Kedua fungsi tersebut merupakan contoh fungsi peubah banyak. Perhatikan bahwa fungsi tersebut memetakan (𝑥, 𝑦) pada tepat satu 𝑧. Jadi setiap (𝑥, 𝑦) akan dipasangkan pada tepat satu 𝑧. Jadi dapat didefinisikan, Fungsi dua peubah 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) merupakan fungsi yang memetakan setiap (𝑥, 𝑦) pada tepat satu 𝑧, dimana peubah 𝑥 dan 𝑦 merupakan peubah bebas sedangkan 𝑧 merupakan peubah terikat. Selanjutnya kalian dapat mendefinisikan fungsi tiga peubah, fungsi empat peubah, bahkan fungsi 𝑛 peubah dengan memperhatikan banyak peubah bebas dalam fungsi tersebut. Fungsi dua peubah dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit sebagai 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan dalam bentuk implisit sebagai 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Tentukan fungsi-fungsi berikut ini mana yang merupakan fungsi eksplisit dan mana yang merupakan emplisit. Tentukan pula mana fungsi implisit yang dapat diubah ke bentuk eksplisit dan mana yang tidak bisa ke bentuk eksplisit. 1. 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 2. 𝑧 = 𝑥𝑦 3. 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 0 4. 𝑧 = ln|𝑥 + 𝑦| 5. 𝑧 = √4 − 𝑦 2 − 𝑥 2 6. 𝑧 2 + 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0 Sebelum membahas grafik dari fungsi dua peubah atau lebih terlebih dahulu akan dibahas domain dan range dari fungsi tersebut. Jika tidak dinyatakan secara khusus maka fungsi didefinisikan pada himpunan bilangan real. Sehingga fungsi bernilai real dari dua peubah real merupakan fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut (𝑥, 𝑦) pada daerah asal fungsi dengan bilangan real tunggal 𝑓(𝑥, 𝑦). Sebagai contoh: 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 Domain fungsi adalah {(𝑥, 𝑦)|−∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝑦 < ∞}, yang berarti bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦). Grafik domain fungsi ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

𝑦

𝑥

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 5 3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

10

4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 √𝑦 Domain fungsi adalah {(𝑥, 𝑦)|−∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0}. Grafik domain fungsi ditunjukkan pada gambar di bawah ini. 𝑦

𝑥

𝑥

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑦−2 𝑥

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑦 𝑥+5 𝑥+4

8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦−2 9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦√𝑥 + 5 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑥−4 𝑦+2

Tentukan domain dan grafik domain untuk fungsi dua peubah lainnya. Untuk menggambarkan grafik fungsi peubah banyak dapat dilakukan dengan menentukan titik potong grafik pada masing-masing sumbu pada sistem koordinat kartesius. Contohnya jika diketahui 𝑧 = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 maka grafik dapat digambarkan sebagai berikut. Jika 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 maka 𝑧 = 6 sehingga titik potong grafik pada sumbu- 𝑧 adalah (0,0,6) Jika 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 maka 𝑦 = 2 sehingga titik potong grafik pada sumbu- 𝑦 adalah (0,2,0) Jika 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 maka𝑥 = 3 sehingga titik potong grafik pada sumbu- 𝑥 adalah (3,0,0) Jadi diperoleh grafik fungsi 𝑧 = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 yang berupa bidang seperti pada gambar di bawah ini.

Tentukan grafik fungsi dua peubah lainnya. (Untuk grafik fungsi yang lebih rumit dapat digunakan grafik komputer). Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

11

Subbab ke :3 Materi Pokok : Turunan Parsial Indikator : 1. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi turunan parsial fungsi peubah banyak 2. Mahasiswa mampu menentukan turunan parsial dari suatu fungsi peubah banyak 3. Mahasiswa mampu menentukan diferensial total dari suatu fungsi peubah banyak 4. Mahasiswa mampu menentukan turunan total dari suatu fungsi peubah banyak C. Turunan Parsial Fungsi Peubah Banyak Konsep limit dapat diterapkan untuk menentukan turunan parsial dari fungsi peubah banyak. Kita awali dari turunan parsial untuk fungsi dua peubah. Selanjutnya untuk fungsi tiga peubah atau lebih analogi dengan limit fungsi dua peubah. Definisi Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) fungsi dua peubah dengan peubah bebas 𝑥 dan 𝑦. Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi pada selang tertentu. Turunan parsial pertama dari fungsi 𝑧 dapat dibedakan menjadi dua, yaitu (i) Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑥 dinotasikan sebagai 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦) , ∆𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan didefinisikan sebagai

jika limitnya ada. 𝜕𝑧

(ii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑦 dinotasikan sebagai 𝜕𝑦 dan didefinisikan sebagai 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦) , ∆𝑦 ∆𝑦→0

= lim

jika limitnya ada.

Contoh 1. Diketahui 𝑧 = −2𝑥 + 3𝑦. Tentukan

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑧 . 𝜕𝑦

Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim ∆𝑥→0 𝜕𝑥 ∆𝑥 [−2(𝑥 + ∆𝑥) + 3𝑦] − (−2𝑥 + 3𝑦) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 (−2𝑥 − 2∆𝑥 + 3𝑦) − (−2𝑥 + 3𝑦) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 −2𝑥 − 2∆𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 3𝑦 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 −2∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 = lim −2 ∆𝑥→0

= −2 𝜕𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim ∆𝑦→0 𝜕𝑦 ∆𝑦

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

12

[−2𝑥 + 3(𝑦 + ∆𝑦)] − (−2𝑥 + 3𝑦) ∆𝑦→0 ∆𝑦

= lim = lim

∆𝑦→0

(−2𝑥 + 3𝑦 + 3∆𝑦) − (−2𝑥 + 3𝑦) ∆𝑦

−2𝑥 + 3𝑦 + 3∆𝑦 + 2𝑥 − 3𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦

= lim

3∆𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦

= lim

= lim 3 ∆𝑦→0

=3 𝜕𝑧

𝜕𝑧

2. Diketahui 𝑧 = √𝑥 2 − 𝑦 2 . Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Dengan cara yang sama kita dapat menyelesaikan contoh 2 di atas. Coba pikirkan bagaimana definisi untuk turunan parsial untuk fungsi tiga peubah atau lebih. Misalkan fungsi 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang terdefinisi pada selang tertentu. Maka turunan parsial dari fungsi 𝑤 dapat dibedakan menjadi tiga yaitu, (i) Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑥 dinotasikan sebagai 𝜕𝑤 𝜕𝑥

= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦,𝑧)−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) , ∆𝑥

= lim

∆𝑦→0

𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦,𝑧)−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) , ∆𝑦

𝑓(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) , ∆𝑧 ∆𝑦→0

= lim

𝜕𝑤 𝜕𝑦

dan didefinisikan sebagai

jika limitnya ada.

(iii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑧 dinotasikan sebagai 𝜕𝑤 𝜕𝑧

dan didefinisikan sebagai

jika limitnya ada.

(ii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑦 dinotasikan sebagai 𝜕𝑤 𝜕𝑦

𝜕𝑤 𝜕𝑥

𝜕𝑤 𝜕𝑧

dan didefinisikan sebagai

jika limitnya ada.

Dalam menentukan turunan parsial selain dengan menggunakan definisi juga dapat dilakukan dengan cara sederhana berikut. Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi pada selang tertentu. Maka (i)

Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑥 yaitu

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dapat ditentukan dengan mengganggap 𝑦

konstan dan 𝑥 berubah-ubah (sebagai peubah). Sebaliknya, 𝜕𝑧

(ii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑦 yaitu 𝜕𝑦 dapat ditentukan dengan mengganggap 𝑥 konstan dan 𝑦 berubah-ubah (sebagai peubah). Dengan cara yang sama untuk fungsi tiga peubah, jika dimisalkan fungsi 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang terdefinisi pada selang tertentu maka

Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

13

(i)

Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑥 yaitu

𝜕𝑤 𝜕𝑥

dapat ditentukan dengan mengganggap 𝑦

dan 𝑧 konstan dan 𝑥 berubah-ubah (sebagai peubah). Sebaliknya, (ii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑦 yaitu

𝜕𝑤 𝜕𝑦

dapat ditentukan dengan mengganggap 𝑥

dan 𝑧 konstan dan 𝑦 berubah-ubah (sebagai peubah). (iii) Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑧 yaitu

𝜕𝑤 𝜕𝑦

dapat ditentukan dengan mengganggap 𝑥

dan 𝑦 konstan dan 𝑧 berubah-ubah (sebagai peubah).

Contoh 𝜕𝑧

𝜕𝑧

1. Diketahui 𝑧 = −2𝑥 + 3𝑦. Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= −2 + 0 = 2 (−2 diperoleh dari turunan −2𝑥 dengan menganggap 𝑥 sebagai peubah biasa

dan 0 diperoleh dari turunan 3𝑦 dengan mengganggap 𝑦 konstan). 𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 0 + 3 = 3 (0 diperoleh dari turunan −2𝑥 dengan menganggap 𝑥 konstan dan 3 diperoleh

dari turunan 3𝑦 dengan mengganggap 𝑦 sebagai peubah biasa). 𝜕𝑧

𝜕𝑧

2. Diketahui 𝑧 = 𝑥 2. Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 2𝑥 (diperoleh dari turunan dari 𝑥 2 dengan menganggap 𝑥 sebagai peubah biasa).

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 0 (diperoleh dari turunan dari 𝑥 2 dengan menganggap 𝑥 konstan). 𝜕𝑧

𝜕𝑧

3. Diketahui 𝑧 = 3𝑦 3. Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 0 (diperoleh dari turunan dari 3𝑦 3 dengan menganggap 𝑦 konstan).

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 9𝑦 2 (diperoleh dari turunan dari 3𝑦 3 dengan menganggap 𝑦 sebagai peubah biasa). 𝜕𝑧

𝜕𝑧

4. Diketahui 𝑧 = sin 2𝑥 + cos 3𝑦. Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 2 cos 2𝑥 (diperoleh dengan menurunkan sin 2𝑥 dan menganggap 𝑦 konstan).

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= −3 sin 3𝑦 (diperoleh dengan menurunkan cos 3𝑦 dan menganggap 𝑥 konstan). 𝜕𝑧

𝜕𝑧

5. Diketahui 𝑧 = 𝑥𝑦. Tentukan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦. Penyelesaian: Kalkulus Peubah Banyak - IKIP Budi Utomo Malang

14

𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 𝑦 (diperoleh dengan menurunkan 𝑥 dan menganggap 𝑦 konstan).

𝜕𝑧 𝜕𝑦

= 𝑥 (diperoleh dengan menurunkan 𝑦 dan menganggap 𝑥 konstan).

6. Diketahui 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 3. Tentukan

𝜕𝑧 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑧 . 𝜕𝑦

Penyelesaian: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

= 2𝑥𝑦 3 (diperoleh dengan menurunkan 𝑥 2 dan menganggap 𝑦 konstan).

𝜕𝑧 𝜕𝑦

...