Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih PDF

Preview

Summary

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Not For Commercial Use Warsoma Djohan Open Source Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi Dua/Lebih Peubah ITB USE ONLY Fungsi Dua Peubah Fungsi real ...

Description

Warsoma Djohan

Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Open Source Not For Commercial Use

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

1 / 34

Fungsi Dua/Lebih Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Dua Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Fungsi Dua/Lebih Peubah

Fungsi Dua Peubah

Notasi: z = f (x, y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. √ y−x2 Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

f (x,y)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

f : (x,y)

z

z

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.

March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Fungsi Dua/Lebih Peubah

Fungsi Dua Peubah

Notasi: z = f (x, y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. √ y−x2 Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2

f (x,y)

f : (x,y)

z

z

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.

Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Fungsi Dua/Lebih Peubah

Fungsi Dua Peubah

Notasi: z = f (x, y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. √ y−x2 Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2

f (x,y)

f : (x,y)

z

z

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.

Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Fungsi Dua/Lebih Peubah

Fungsi Dua Peubah

Notasi: z = f (x, y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. √ y−x2 Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2

f (x,y)

f : (x,y)

z

z

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.

Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.

Latihan: Tentukan daerah definisi dari contoh di atas lalu gambarkan. ♠ Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

2 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Open Source Not For Commercial Use

1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3

Contoh: Gambarkan grafik z =

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Open Source Not For Commercial Use

1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

2

2.5

1.5

2

2.5

3

Contoh: Gambarkan grafik z =

1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Open Source Not For Commercial Use

1.5 0.5

1

( x, y)

March 11, 2011

3

3 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

Open Source Not For Commercial Use

0.5

2

2.5

1

1.5

2

( x, y)

2.5

3

Contoh: Gambarkan grafik z =

1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

1.5

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

1 –6

–4

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0

0.5

–2

–8

–6

–4

–2

2

3

4

6

8

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.

2

–0.5

4

6

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

3 / 34

ITB USE ONLY

Grafik Fungsi Dua Peubah

3

z = f ( x, y)

2.5

Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

2

1.5

1

0.5

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

0.5

1

1.5

Open Source Not For Commercial Use

0.5

2

2.5

1

1.5

2

( x, y)

2.5

3

Contoh: Gambarkan grafik z =

1 3

p

36 − 9x2 − 4y2

1.5

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

1 –6

–4

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0

0.5

–2

–8

–6

–4

–2

2

3

4

6

8

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.

2

–0.5

4

Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar. Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalah dengan membuat kontur/kurva ketinggiannya. 6

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

3 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Open Source Not For Commercial Use

WD2011

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).

y x

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

WD2011

z=k

y x

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.

y x

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy kurva ketinggian

x

y

f(x,y)=k

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy kurva ketinggian

x

y

f(x,y)=k

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f (x, y) dengan ketinggian k

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy kurva ketinggian

x

y

f(x,y)=k

Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f (x, y) dengan ketinggian k

Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur

ITB USE ONLY

Kurva Ketinggian /Peta Kontur z

z=f(x,y)

Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Open Source Not For Commercial Use

z=k

WD2011

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy kurva ketinggian

x

y

f(x,y)=k

Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f (x, y) dengan ketinggian k

Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama.

Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur. p Contoh: Gambarkan peta kontur dari z = 31 36 − 9x2 − 4y2 ♠ Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

4 / 34

Menggambar Peta Kontur

ITB USE ONLY

Open Source Not For Commercial Use

Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

5 / 34

Menggambar Peta Kontur

ITB USE ONLY

Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?

Open Source Not For Commercial Use

Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama ?

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

5 / 34

Menggambar Peta Kontur

ITB USE ONLY

Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?

Latihan: Gambarkan peta kontur dari: (a) z = xy ♠

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

(b) z = y2 − x2 .

Open Source Not For Commercial Use

Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama ?

March 11, 2011

5 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?

Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?

Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z). √ Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?

Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 . Persamaan kurva ketinggiannya:

Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

March 11, 2011

6 / 34

Fungsi Tiga Peubah

ITB USE ONLY

Fungsi Tiga Peubah

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan d...