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Pr¨ufung zu Entwurf elektrischer Maschinen“ ” WS2014/15 — L¨ osungsvorschlag Elektrotechnisches Institut (ETI) - Hybridelektrische Fahrzeuge

1

Anpassung einer bestehenden Wicklung a) Geben Sie an, welche Nutenzahl N , welche Polpaarzahl p, welche Lochzahl q und welchen Wicklungsfaktor 1 ξ die Wicklung aufweist. • Die Nutenzahl N = 36 kann aus dem gegebenen Zonenplan abgelesen werden. • Aufgrund drei benachbarter Hin- und R¨uckleiter je Phase ergibt sich q = 3.

• F¨ur die Polpaarzahl p = 2 kann direkt abgelesen werden oder berechnet werden aus: p =

2qm N

Der Grundwellenwicklungsfaktor der Einschichtwicklung kann der Tabelle im Skript entnommen werden oder berechnet werden zu: 1

ξ=

π ) sin( 2m sin(q · α2 ) = 0, 960 = 1 π α q · sin( q 2m ) q · sin( 2 )

(1)

b) Welche Polpaarzahlen k¨ onnen mit diesem Stator realisiert werden, wenn die Wicklung variiert wird? Ber¨ ucksichtigen Sie nur dreiphasige Ganzlochwicklungen. M¨ogliche Varianten sind: q = 1 (p = 6), q = 2 (p = 3), q = 3 (p = 2) und q = 6 (p = 1) c) Berechnen Sie die den ben¨otigten Nutenwinkel α. Die Polpaarzahl l¨asst sich durch die geforderte Drehzahl berechnen: p=

50 Hz f = 1000 = 3 n 60 s

(2)

Damit folgt f¨ur den Nutenwinkel: α=

360 · p = 30◦ N

(3)

d) Zeichnen Sie den Nutenstern, nummerieren Sie die Pfeile entsprechend den Nuten und teilen Sie die Spulenseiten sinnvoll auf. Nutenstern: siehe Abbildung 1.

Abbildung 1: L¨osung zu Teilaufgabe 1d): Nutenstern der 6-poligen ASM

Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

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Abbildung 2: L¨osung zu Teilaufgabe 1e-f): Zonenplan, Strombelagsimpulse und Felderregerkurve zum Zeitpunkt t = 0. e) F¨ ullen Sie den Zonenplan auf dem Zusatzblatt aus. Zonenplan: siehe Abbildung 2. f) Zeichnen Sie die Strombelagsimpulse zum Zeitpunkt t = 0 in das vorbereitete Diagramm und erg¨anzen Sie Felderregerkurve mitsamt der horizontalen Achse.

iU (t = 0) = Iˆ· cos (0) = ˆI   2π 1 iV (t = 0) = Iˆ· cos − = − · Iˆ 2 3   4π 1 iW (t = 0) = Iˆ · cos − = − · Iˆ 2 3

(4) (5) (6) (7)

Strombelagsimpulse und Felderregerkurve: siehe Abbildung 2.

2

Geschaltete Reluktanzmaschine a) Berechnen Sie die vier magnetischen Widerst¨ ande der Ersatzschaltbilder in der dStellung und der q-Stellung. Zur Berechnung der Parameter des magnetischen Ersatzschaltbildes muss lediglich ein Pol ber¨ucksichtigt werden (Wenn beide Pole ber¨ucksichtigt w¨ urden, dann w¨are die Durchflutung der Quellen doppelt so hoch wie im ESB angegeben).

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d-Stellung:

Rm,δ,d =

1 µ0

δd

(8)

bz,d 2

· lFe 1 = Vs 4π · 10−7 Am 1 = 5, 201 · 105 H

1 · 10−3 m

0,0235 m 2

(9)

· 0, 13 m

(10)

Die magnetischen Widerst¨ande des Eisens machen (15%+10%) = 0, 25 des gesamten magnetischen Widerstands in d-Stellung aus: Rm,ges,d =

1 1 · Rm,δ,d = 1, 389 · 106 H 0, 75

(11)

Damit ergeben sich die magnetischen Widerst¨ande des Eisens zu: Rm,S,d = 0, 15 · Rm,ges,d = 2, 084 · 105

1 H

(12)

Rm,R,d = 0, 10 · Rm,ges,d = 1, 389 · 105

1 H

(13)

q-Stellung:

Rm,δ,q =

1 µ0

δq bz,q 2

· lFe

1 Vs 4π · 10−7 Am 1 = 1, 020 · 107 H =

(14) 10 · 10−3 m

(15)

0,012 m · 0, 13 m 2

(16)

Die Eisens¨attigung wird laut Aufgabenstellung dem Luftspalt zugeordnet, wodurch f¨ur die magnetischen Widerst¨ande des Eisens folgt: Rm,S,q = Rm,R,q = 0

(17)

b) Berechnen Sie die Induktivit¨ aten Ld in der d-Stellung und Lq in der q-Stellung. Die Induktivit¨at beschreibt die Proportionalit¨at zwischen Flussverkettung und Strom L =

Ψ I

:

d-Stellung:

Φd =

Θ 2wp · Imax = = 3, 6 mVs Rm,ges,d Rm,ges,d

(18)

Ld =

Ψ = 2wp · Φd = 1, 8 mH Imax

(19)

q-Stellung:

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Φq =

2wp · Imax Θ = = 0, 24 mVs Rm,δ,q 2R˙ m,δ,q

(20)

Lq =

Ψ = 2wp · Φq = 0, 1225 mH Imax

(21)

c) Berechnen und skizzieren Sie das resultierende Phasendrehmoment der SRM auf dem Zusatzblatt. Das Drehmoment der linearen SRM berechnet sich aus der Energie¨anderung u¨ber dem Winkel. Die magnetische Energie wird wie folgt berechnet: W =

1 L · i2 2

(22)

Da entsprechend dem Diagramm eine Induktivit¨ats¨anderung bei konstantem Strom zwischen stattfindet berechnet sich das Drehmoment ¨uber diesen Winkelbereich zu: und 3π 12 1 ∆L 2 ·i 2 ∆θ 1 1, 8 mH − 0, 1225 mH = · (100 A)2 π 2 6

π 12

(23)

M=

(24)

= 16, 01 Nm

(25)

Der Drehmomentverlauf ist in 3 dargestellt. Aufgrund des Energiesprungs bei − π24 und π4 kommt es zudem zu einem positiven bzw. negativen Dirac Impuls, welcher jedoch aufgrund der Tr¨agheit der Maschine nicht ber¨ucksichtigt werden muss. In Gleichung 24 wird davon ausgegangen, dass der Strom im interessierten Bereich konstant ist. d) Berechnen Sie die radiale Kraft, die auf einen Zahn in der d-Stellung wirkt. Die radiale Kraft wird aus der Reluktanzkraft der radialen magnetischen Flussdichte berechnet.

Bd =

Φd bz,d · lFe 2

= 2, 36 T

(26)

Die Kraft aufgrund der Flussdichte wirkt auf die gesamte Zahnfl¨ache in Richtung des Luftspalts: Fd =

Bd2 (bz,d · lFe ) = 6, 75 · 103 Nm 2µ0

(27)

e) Wie verh¨alt sich die Radialkraft unmittelbar vor und nach der d-Stellung mit der vorgegebenen Stromform? Die radiale Kraft nimmt in Richtung der d-Stellung zu und erreicht in der d-Stellung ihr Maximum. Mit gegebener Bestromung wird die radiale Kraft unmittelbar nach der d-Stellung zu null. f) Welche Frequenzen k¨ onnen grunds¨atzlich durch die Radialkraft angeregt werden? Da die Radialkraft einen Sprung vollzieht, kann dadurch das gesamte Frequenzspektrum angeregt werden. g) Erkl¨aren Sie einen Vorgang der Ger¨auschbildung und begr¨ unden Sie, weshalb die geschaltete Reluktanzmaschine mit der gegebenen Ansteuerung besonders zur Ger¨auschbildung neigt. Durch Kraftschwankungen, die durch das Betriebsverhalten der Maschine verursacht werden, kann die mechanische Struktur der Maschine zu Schwingungen angeregt werden. Trifft diese Anregung Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

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Abbildung 3: L¨osung zu Teilaufgabe 2c): Drehmmomentverlauf der SRM (Die Pfeile stellen Dirac Impulse dar) auf eine mechanische Resonanz, so ist diese Schwingung besonders ausgepr¨agt. Die Schwingungsformen werden mit r = 0, 1, 2, ... bezeichnet. Schwingungen des Statorjochs k¨onnen sich auf das Maschinengeh¨ause u ¨bertragen und werden von dort aus als K¨orperschall abgestrahlt. Je nach Frequenz und Amplitude ist der abgestrahlte Schall als Ton, Klang oder Ger¨ausch wahrnehmbar. Außerhalb des h¨orbaren Frequenzbereichs ist der Schall nicht wahrnehmbar. Aufgrund des energiereichen Radialkraftsprungs k¨onnen entsprechend Teilaufgabe f) alle Frequenzen angeregt werden und somit alle ger¨auschbildenden Eigenschwingungsformen r = 0, 1, 2, ..., ∞ auftreten.

3

FEM-Analyse eines Oberfla ¨chenmagneten a) Zeichnen Sie den Verlauf der Radialkomponente der Flussdicht e¨ uber einem Polpaar im ausgebauten Zustand in ein Diagramm. F¨ur zweidimensionale FEM-Probleme gilt: By = −

dA dx

(28)

Da der Vektorpotentialverlauf u ¨ ber einem Magneten linear ist, ist die Flussdichte konstant. Ihr Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

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Wert ¨uber dem ersten Magneten berechnet sich zu By = −

) − 0,01 Vs (−0,01 Vs m m = 0,667 T. 3 cm

(29)

Da der Verlauf u ¨ber dem zweiten Magneten symmetrisch zu dem des ersten ist, betr¨agt die Flussdichte dort -0,667 T. Abbildung 4 zeigt das gesuchte Diagramm.

Abbildung 4: Verlauf der Flussdichte bei ausgebautem Rotor b) Nennen Sie zwei Gr¨ unde, wieso sich die Kurvenformen der radialen Flussdichte im ausgebauten und eingebauten Zustand unterscheiden. • Der Mittelwert der Flussdichte ¨uber einem Magneten ist im ausgebauten Zustand geringer, da durch das Fehlen des magnetisch gut leitenden Stators der magnetische Widerstand des Kreises erh¨oht ist, sodass die Permanentmagnete insgesamt eine geringere Flussdichte aufweisen. • Durch die Nutung des Stators gibt es Stellen guter Leitf¨ahigkeit (Z¨ ahne) und Stellen schlechter Leitf¨ahigkeit (Nuten) u ¨ ber den Magneten. Dies ¨aßußert sich in einer lokal ¨uber einem Magneten variierenden Flussdichte (wellenf¨ormige Schwankung). c) Welche Lochzahl q hat der Stator? ¨ Uber einem Pol befinden sich drei Z¨ahne, da im Diagramm auf dem Aufgabenblatt drei Perioden der variierenden Flussdichte ¨uber einem Magneten zu sehen sind. Da die Maschine zw¨olfpolig ausgef¨uhrt ist, hat sie N = 3 · 12 = 36 Z¨ahne. Da die Maschine dreiphasig ist, gilt: q=

N 36 = =1 2p · m 12 · 3

(30)

d) Berechnen Sie die Frequenz der Wirbelstr¨ome in einem Permanentmagneten bei der 1 Drehzahl n = 4000 min . = 66,67 vollst¨andige mechanische Umdrehungen. Bei jeder Pro Sekunde vollzieht der Rotor 4000 60 Umdrehung laufen die Permanentmagnete an den N = 36 Statorz¨ahnen vorbei. Die Frequenz der induzierten Wirbelstr¨ome betr¨agt daher fWb =

4000 · 36 Hz = 2400 Hz. 60

(31)

e) Nennen Sie eine konstruktive Maßnahme, um die Wirbelstromverluste im Permanentmagneten zu verringern. M¨ogliche konstruktive Maßnahmen zur Verringerung der Wirbelstromverluste: • Segmentierung der Magnete in Umfangsrichtung • Segmentierung der Magnete in axialer Richtung

• Vergr¨oßern des Luftspalts (ver¨andert allerdings die magnetische Auslegung)

• Vergraben der Magnete, sodass die Wirbelstromverluste auf der Rotoroberfl¨ache im Blechpaket entstehen (ver¨andert allerdings die magnetische Auslegung). Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

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f) Wieso sind Hystereseverluste in Permanentmagneten zu vernachl¨ assigen? Die Permanentmagnete werden im linearen Teil ihrer Kennlinie im zweiten Quadranten des B/H Diagramms betrieben. Die Ausrichtung der Weißschen Bezirke im Magneten ¨andert sich dabei nicht. Erst wenn der lineare Teil der Kennlinie verlassen wird, w¨urde sich die Ausrichtung ¨andern, wobei magnetische Arbeit anf¨allt, die sich in Hystereseverlusten ¨außert. Dies w¨urde allerdings bedeuten, dass der Permanentmagnet entmagnetisiert w¨urde, was in konventionellen Maschinen vermieden werden muss.

4

Betrieb und Kupferverluste einer Synchronmaschine a) Zeichnen Sie fur ¨ den gegebenen Maschinentyp qualitativ den Verlauf des synchronen Drehmoments MPM = 32 pψP M iq und des Reluktanzdrehmoments Mrel = 32 p (Ld − Lq ) id iq uber dem Winkel 0◦ ≤ γ ≤ 360◦ in ein Diagramm, wobei id = −i · sin γ und ¨ iq = i · cos γ gilt. Es ergibt sich: 3 MPM = p · ψP M · i · cos γ 2 3 Mrel = p · (Ld − Lq ) i2 sin(2γ) 4

(32) (33)

Das gesuchte Diagramm ist in Abbildung 5 zu sehen. (Hinweis: Die Zahlenwerte f¨ur das Drehmoment waren nicht gefordert)

15

M/p / Nm

10 5 0 −5 −10 −15 0

45

90

135

180 /

225

270

315

360

Abbildung 5: synchrones Drehmoment (rot), Reluktanzdrehmoment (blau) und resultierendes Drehmoment (schwarz) f¨ur p = 1 u ¨ber dem Stromwinkel γ . b) In welchem Bereich von γ liegt bei Maschinen dieses Typs das Drehmomentmaximum Mmax = max(MPM + Mrel )? Das Maximum des synchronen Drehmoments liegt bei γ = 0◦ , das des Reluktanzdrehmoments bei γ = 45◦ (und ein weiteres Maximum bei γ = 225◦ , bei dem jedoch das synchrone Drehmoment negativ ist). Das Maximum f¨ ur Maschinen mit Ld < Lq liegt also im Bereich 0◦ < γ < 45◦ , abh¨ angig von den Maschinenparametern und dem Strom. c) Berechnen Sie, wieviel Prozent des maximal m¨oglichen Reluktanzmoments bei Anwenden der MTPA-Strategie f ¨ ur die gegebene Maschine bei Nennstrom verwendet werden. √ Mit iN = 2IN =141,42 A ergibt sich aus der MTPA-Gleichung der ben¨otigte Ansteuerstrom: Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

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id,MTPA iq,MTPA

s 2 ψPM ψPM i2 − =− + N [= −55,42 A] 4 (Ld − Lq ) 2 4 (Ld − Lq ) q 2 = iN − i2d,MTPA [= 130,11 A].

(34) (35)

Damit berechnet sich das Reluktanzdrehmoment pro Polpaar der Maschine zu: 3 Mrel,MTPA = (Ld − Lq ) id,MTPA iq,MTPA [= 2,163 Nm] 2 p

(36)

Durch Ableiten der Drehmomentgleichung oder mit Hilfe des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) wird ersichtlich, dass das maximal m¨ogliche Reluktanzdrehmoment bei id = −iN · sin 45◦ = − i√N und 2

iq = i · cos 45◦ =

iN √ 2

erreicht wird. Es berechnet sich zu:

Mrel,max 3 = (Ld − Lq ) i2N [= 3 Nm] 4 p

(37)

Bei Betrieb mit der MTPA-Strategie werden also Mrel,MTPA p Mrel,max p

= 72,1 %

(38)

des maximal m¨oglichen Reluktanzmoments verwendet. d) Erkl¨ aren Sie, wieso die Stromdichte ¨uber der Nuthohe ¨ nicht konstant ist und benennen Sie diesen Effekt. Bei zeitlich ver¨anderlicher Bestromung des Leiters in der Nut entsteht ein Nutquerfeld, welches wiederum den Strom in Richtung Luftspalt verschiebt. Dieser Effekt nennt sich Stromverdr¨angung. PCu,AC AC , um den = PCu,DC e) Berechnen Sie basierend auf Abbildung ?? den Faktor kr = R RDC sich der Statorwiderstand innerhalb der Nut aufgrund des Effektes aus Teilaufgabe d) erh¨ oht.

Gem¨aß der Hinweise muss in dieser Teilaufgabe das Integral der Kurve J 2 berechnet werden (d.h. die Fl¨ache unter der Kurve von J 2 ), welches proportional zu den in der Nut anfallenden Kupferverlusten ist. Im DC-Fall ist die Stromdichte homogen ¨uber der Nuth¨ ohe verteilt, da das Nutquerfeld nur auf zeitlich ver¨anderlichen Strom wirkt. Die Stromdichte berechnet sich mit Hilfe des Diagramms wegen des linearen Verlaufs der Kurve zu: JDC (x) =

A 10 mm 2 + 40 2

A mm 2

= 25

A mm2

(39)

Damit folgt: 2 (x) = 625 J DC

A2 mm4

(40)

Und daraus f¨ ur das Integral, welches proportional zur Verlustleistung ist: Z

4 mm 2 J DC (x) dx = 625 x=0 mm

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A2 A2 4 · 4 mm = 2700 mm mm3 Seite 8

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Die gleiche Rechnung wird f¨ur den AC-Fall gemacht:   3 A x (42) · 1 + JAC (x) = 10 4 mm mm2  2   A2 9 A2 3 3 2 2 = 100 J AC x x x + (x) = 100 · 1 + · 1 + 4 mm 2 mm 16 mm2 mm4 mm4 (43) 4 mm  Z 4 mm 2 2 A 3 A 3 2 = 2800 J AC x3 x2 + (x) dx = 100 · x+ (44) 16 mm2 4 mm mm3 mm4 x=0 mm x=0 mm (45)

Der Faktor kr berechnet sich damit zu kr =

R 4 mm

J 2 (x) mm AC R x=0 4 mm J2 x=0 mm DC (x)

Prof. Dr.-Ing. Martin Doppelbauer

=

2800 2700

A2 mm 3 A2 mm 3

= 1,12.

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