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Chapitre 5 : Optimisation d’une fonction sous contrainte d’ég Objectifs du chapitre : — savoir traiter la condition de qualification de la contrainte — savoir écrire le lagrangien associé à un problème d’optimisation sous contrainte d’égalité — écrire les conditions de premier ordre — connaître et savoir utiliser les conditions de second ordre pour une fonction objectif à 2 ou 3 variables et une contrainte d’égalité. Séance 9 : Optimisation sous contrainte

Exercice 1. On considère le problème de maximisation de la fonction objectif f définie par f (x, y) = x+y sous la contrainte définie par g(x, y) = x2 + y − 1 = 0. 1. a. Justifier que la contrainte est qualifiée en tout point de R2 . b. Résoudre la condition de premier ordre. 2. Écrire la matrice hessienne bordée et déterminer la nature du point stationnaire obtenu. Exercice 2. On cherche à résoudre le problème suivant :

(P ) :

      

Optimiser

     

f (x, y) =

1 1 + x y

s.c. 1 1 1 + 2 = 2 2 2a y x

avec a nombre réel strictement positif 1. Préciser le domaine d’étude de la fonction f . 2. Écrire la fonction de contrainte g et préciser son domaine d’étude. 3. Vérifier que la fonction de contrainte est qualifiée en tout point de R2 avec x 6= 0 et y 6= 0. 4. Déterminer par la méthode de Lagrange les points stationnaires.

5. Écrire la matrice hessienne bordée et déterminer la nature des points stationnaires. Exercice 3. On considère le problème consistant à maximiser une fonction d’utilité de Cobb-Douglas sous une contrainte budgétaire. 1 1 La fonction objectif est la fonction d’utilité définie par U (x, y) = x3 y 2 . Le prix du premier bien, acheté en quantité x est de 2 unités monétaires. Le prix du second bien, acheté en quantité y est de 1 unité monétaire. Le revenu disponible du consommateur est égal à R unités monétaires. 1

1. Écrire la contrainte de budget sous la forme g(x, y) = 0 et vérifier que g est qualifiée en tout point de R2 . 2. Résoudre ce problème d’optimisation. On notera x∗ (R) et y ∗ (R) les quantités optimales ou fonctions de demande des deux biens. Le coefficient de Lagrange sera noté λ∗ (R). 3. Dans cette question, on note U ∗ (R) l’utilité maximale associée au revenu disponible R. On s’intéresse à l’impact d’une petite variation du revenu disponible sur l’utilité maximale. a. Exprimer U ∗ (R) en fonction de R et en déduire une valeur approchée de ∆U ∗ en fonction de ∆R. b. Vérifier que U ′∗ (R) = −λ∗ (R).

2

Séance 10 : Optimisation sous contrainte

Exercice 4. On cherche à résoudre le problème suivant : (P ) :

f (x, y, z ) = x + y + z s.c.   x2 +y 2 +z 2 −12 g(x, y, z) = e −1= 0   

Optimiser

1. En quels points la contrainte est-elle qualifiée ? 2. Montrer que la condition de premier ordre du Lagrangien conduit à deux points stationnaires. 3. Étudier la CSO et résoudre le problème d’optimisation. Exercice 5. On considère une société qui produit un bien à partir de deux facteurs de production X et Y. 1 1 La fonction de production est : Q = 10 − − où x et y désignent les quantités utilisées x y des facteurs X et Y et Q la quantité produite. On suppose x > 0 et y > 0. En concurrence pure et parfaite, le prix de vente unitaire de la production est 9 unités monétaires et les coûts unitaires des facteurs X et Y sont respectivement 1 et 4 unités monétaires. 1. Exprimer le profit Π de l’entreprise à l’aide des variables x, y et Q. 2. On définit la fonction de contrainte g correspondant à la production : g(x, y, Q) = 1 1 + + Q − 10. x y En quels points la fonction de contrainte est-elle qualifiée ? 3. Résoudre la CPO du problème d’optimisation du profit sous la contrainte g(x, y, Q) = 0. 4. Vérifier grâce aux conditions de second ordre que le point stationnaire de la question 3) permet de réaliser un profit maximal et donner le plan de production et le profit correspondant.

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Travail personnel Exercice 6. Soit f la fonction définie sur D = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0} par f (x1 , x2 , x3 ) =

1 1 1 + + 4 x1 x2 9 x3

1. a. Justifier que f est de classe C 2 sur D et vérifier que D est convexe. b. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 de la fonction f . c. Rechercher les points stationnaires de f . 2. Démontrer qu’en tout point A = (a1 , a2 , a3 ) de D, le terme d’ordre 2 de l’approximation de f au voisinage de A reste positif. 3. La fonction f admet-elle des extrema sur D ?

4. Optimiser f sous la contrainte x1 + x2 + x3 = 110.

Exercice 7. examen terminal 2014 On considère la fonction f définie pour x, y et z positifs ou nuls par f (x, y, z) = x2 z−3 x+y 2z . On se propose d’optimiser la fonction f de deux façons différentes sous la contrainte d’égalité x = z. 1. Méthode de substitution a. Montrer que le problème d’optimisation sous contrainte se ramène à un problème d’optimisation libre de la fonction φ(x, y) = x3 − 3 x + xy2 avec x et y positifs ou nuls. b. Montrer que la CPO conduit à deux points stationnaires . c. Calculer la matrice hessienne de φ et en déduire la nature des points stationnaires. d. Donner la solution du problème d’optimisation sous contrainte de la fonction f . 2. Méthode de Lagrange a. Soit g la fonction de contrainte définie par g(x, y, z) = x − z. Montrer que la fonction g est qualifiée en tout point de R3 . b. Définir le Lagrangien associé à ce problème. Écrire les conditions du premier ordre du Lagrangien et montrer qu’elles conduisent à deux points stationnaires pour x, y et z positifs ou nuls. √ On vérifiera que l’un d’entre eux est (X2∗, λ∗2 ) = (0; 3; 0; 3). c. Écrire la forme générale de la matrice hessienne bordée. d. Calculer le déterminant d4 de cette matrice en X2∗ , λ∗ ) et en déduire la nature de ce point stationnaire. Écrire la règle de décision pour d3 et d4 .

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