Laporan Praktikum Statistika Elementer:Statistik Deskriptif PDF

Preview

Summary

LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIK ELEMENTER Statistik Deskriptif Dosen Pengampu Dr. Sri Harini, M.Si Oleh Nurul Anggraeni Hidayati 14610002 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015 I. Contoh Soal Data tinggi 100 pohon milik Kelompok Usaha P...

Description

LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIK ELEMENTER Statistik Deskriptif

Dosen Pengampu Dr. Sri Harini, M.Si

Oleh Nurul Anggraeni Hidayati 14610002

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015

I.

Contoh Soal Data tinggi 100 pohon milik Kelompok Usaha Pertanian Blaises` Christmas Tree Farm. 56

61

52

62

63

34

47

35

44

59

70

61

65

51

65

72

55

71

57

75

53

48

55

67

60

60

73

74

43

74

71

53

78

59

56

62

48

65

68

51

73

62

80

53

64

44

67

45

58

48

50

57

72

55

56

62

72

57

49

62

46

61

52

46

72

56

46

48

57

52

54

73

71

70

66

67

58

71

75

50

44

59

56

54

63

43

68

69

55

63

48

49

70

60

67

47

49

69

66

73

Sumber : Murray R. Spiegel, dan Larry J. Stephens, Statistik, (Jakarta:Penerbit Erlangga, 2004), hlm. 170

Penyelesaian Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dibuat tabel distribusi frekuensi kelompok.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1) Menentukan rentangan atau range Range

= skor tertinggi - skor terendah = 80 – 34 = 46

2) Menentukan banyaknya selang/interval kelas K = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 100 = 1 + 3.3(2) = 1 +6.6 = 7.6 Dibulatkan menjadi 7 atau 8 kelas.

3) Menentukan selang/interval kelas

Dibulatkan menjadi 6

Dari hasil perhitungan tersebut, terdapat beberapa alternatif, 2 diantaranya: Alternatif 1

Alternatif 2

33-38

34-39

39-44

40-45

45-50

46-51

51-56

52-57

57-62

58-63

63-68

64-69

69-74

70-75

75-80

76-81

Misalnya digunakan alternatif pertama, jadi tabel frekuensi dari data tinggi 100 pohon milik Kelompok Usaha Pertanian Blaises` Christmas Tree Farm adalah sebagai berikut; Batas Kelas Tinggi Pohon

Frekuensi

Frekuensi Kumulatif

33-38

2

2

39-44

5

7

45-50

16

23

51-56

19

42

57-62

20

62

63-68

15

77

69-74

19

96

75-80

4

100

∑

II.

Kajian Pustaka 1. Pengertian Statistika Statistika merupakan sekumpulan konsep dan metode yang digunakan untuk mengumpulkan dan menginterpretasi data tentang bidang kegiatan tertentu dan mengambil kesimpulan dalam situasi dimana ada ketidak pastian dan variasi. Statistika berarti sekumpulan data yang terdiri dari angka-angka, sehingga kita mengenal statistika pertanian, statistika kependudukan, statistika perekonomian, dan sebagainya. (Turmudi dan Sri Harini, 2008) Menurut sumber lain, statistika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan

dengan

pengorganisasian,

motode-metode

perangkuman,

ilmiah

pemaparan

dan

untuk

pengumpulan,

penganalisisan

data

disamping terkait pula dengan metode-metode untuk menarik kesimpulan yang valid serta pengambilan keputusan yang berdasarkan alasan-alasan yang ilmiah dan kuat yang diperoleh dari hasil analisis tadi. Dalam makna yang lebih sempit, istilah statistika digunakan untuk menunjukkan data-data itu sendiri atau angka-angka yang diturunkan dari data tersebut, misalnya ratarata. (Murray R. Spiegel dan Larry J. Stephen, 2004) Selain itu, statistika juga berarti suatu disiplin ilmu. Ruang lingkup statistika sebagai disiplin ilmu mencakup berbagai teknik pengumpulan dan penyajian data, baik untuk keperluan analisis data maupun dalam dalam proses pengambilan keputusan. Salah satu kegunaan utama dari ilmu statistika adalah untuk menyediakan suatu set prosedur yang memungkinkan kita melakukan inferensi, pendugaan dan menentukan keputusan tentang karakteristik suatu populasi berdasarkan atas informasi sampel yang diambil dari sebagian populasi tersebut.(Turmudi dan Sri Harini, 2008) Istilah Statistika (statistics) dan statistic (Statistic) sebenarnya berbeda. Kalau statistika adalah ilmunya maka statistik adalah data atau hasil penerapan statistika pada suatu data. Statistik adalah data, fakta, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Sebagai contoh, misalkan ketika kita membaca berita surat kabar di pagi hari dengan waktu yang terbatas karena akan berangkat kerja, padahal kita ingin mengetahui berbagai macam berita secara lengkap. Maka yang dapat kita lakukan adalah membaca sepintas dengan cepat berita yang disajikan, seperti tentang tingkat kejahatan, tingkat pertumbuhan, rata-rata pendapatan, dan sebagainya. Dengan demikian

secara sederhana statistik memuat fakta dan gambaran dari fakta itu sendiri.(Turmudi dan Sri Harini, 2008) 2. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran 2.1 Ukuran Pemusatan Ada beberapa jenis ukuran pemusatan yang biasa digunakan dalam mendeskripsikan data. Yaitu : 1. Ukuran gejala pusat, meliputi : 

Rata-rata hitung (mean) Rata-rata atau mean atau average adalah nilai yang mewakili sehimpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Dengan perkataan lain bahwa ia mempunyai kecenderungan memusat. Oleh karena itu nilai rata-rata sering disebut ukuran kecenderungan memusat. (Supranto, 1977) Mean memiliki kecenderungan untuk berada diposisi tengah atau sentral dari suatu kumpulan data yang disusun berdasarkan besarnya maka rata-rata sering pula disebut ukuran tendensi sentral atau ukuran pemusatan. Mean aritmetik atau singkatnya mean, dari suatu himpunan N bilangan

,

, …,

dapat dinyatakan

dengan ̅ . Serta didefinisikan sebagai ;(Supranto, 1977) ∑

̅=

=

∑

Sedangkan untuk data berkelompok, nilai rata-rata hitung atau mean dapat dicari dengan menggunakan rumus ;(Turmudi dan Sri Harini, 2008) ̅

∑ ∑

Dimana : ̅

= Rata-rata (mean) = Frekuensi pada kelas ke-i

= Tengah kelas pada kelas ke-i = Banyaknya kelas/interval kelas 

Rata-rata ukur Rata-rata ukur digunakan jika perbandingan dua data berurutan tetap atau hamper tetap.



Rata-rata harmonic Rata-rata harmonic digunakan untuk merata-ratakan kecepatan beberapa jarak tempuh atau mencari harga rata-rata suatu komoditi tertentu.



Rata-rata gabungan Jika terdapat data

,

,…,

,

dengan nilai rata-

rata masing masing ̅ , ̅ , ̅ ,…, ̅ maka rata-rata gabungan data diatas dinyatakan dengan : ∑ ̅ ∑

̅

Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi, rata-rata dihitung dengan : ∑ ∑

̅

Dimana : = Nilai tengah kelas = frekuensi kelas 

Modus Modus

(mode)

dari

suatu

himpunan

bilangan

merupakan nilai yang muncul dengan frekuensi terbanyak. Suatu himpunan bilangan tidak selalu memiliki modus, dengan kata lain modus dari suatu himpunan bilangan tidak selalu muncul. Jikalaupun terdapat modus dari suatu himpunan bilangan, modus ini selalu bersifat unik. Untuk mencari nilai modus pada data tunggal, cukup dicari nilai yang memiliki frekuensi terbanyak, atau nilai yang paling sering muncul. Untuk kasus data kelompok dimana

suatu kurva frekuensi sudah dibuat untuk mengeplot data-data yang ada, modusnya akan sama dengan nila (atau nila-nilai) X yang berkorespondensi dengan titik maksimum (atau titik-titik maksimum) kurva. Nilai X seringkali disimbolkan sebagai ̂ . Dari sebuah distribusi frekuensi atau histogram, modus dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut : (

*

Di mana : = Batas bawah kelas modus = Kelebihan dari frekuensi modus terhadap frekuensi dari kelas yang lebih rendah berikutnya = Kelebihan dari frekuensi modus terhadap frekuensi dari kelas yang lebih tinggi berikutnya = Ukuran dari interval kelas modus 2. Ukuran letak, meliputi : 

Median Median adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah-tengah data yang kita punyai dan telah diurutkan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Median merupakan skor yang membagi dua distribusi data tepat sama, yaitu setengahnya adalah skor yang kurang sama dengan median dan setengah yang lain adalah nilai yang lebih besar dari median. Untuk menentukan median suatu data maka data pengamatan tergantung pada n, apakah n tersebut ganjil atau genap.

Jika

banyaknya

pengamatan

(n)

genap

maka

pengamatan yang dimaksud adalah data antara yang ke ⁄ dan yang ke

⁄

, sedangkan untuk dn yang ganjil

pengamatan yang dimaksud adalah yang ke

⁄

.

Sedangkan untuk data berkelompok seperti yang tersusun pada tabel frekuensi, mediannya adalah :

(

)

Me

= Median

Bb

= Batas kelas terendah pada kelas dimana terletak

median (kelas median), yaitu pada frekuensi kumulatif ke ½ n. fi

= Frekuensi total = Total frekuensi sebelum kelas yang mengandung

median = Frekuensi kelas yang mengandung median = Lebar kelas (Interval kelas) 

Kuartil Kuartil atau perempatan adalah nilai pengamatan yang terletak pada pengamatan ke ¼ n (= median), dan ke ¾ n (=



), ke ½ n (=

atau

).

Desil dan Persentil Para prinsipnya rumus yang digunakan untuk mencari desil dan persentil sama dengan rumus untuk kuartil. Perbedaannya untuk Desil, K diganti dengan K, dan P berarti persepuluhan atau p = 1,2,…,9 dan untuk persentil K diganti dengan P, dan p berarti perseratusan atau p =1,2,…,99

2.2 Ukuran Penyebaran Untuk melengkapi informasi yang diberikan oleh ukuran pemusatan, diperlukan satu ukuran lagi yaitu variabilitas (ukuran penyebaran data). Dengan dapat ditentukannya ukuran ini, maka bila kita ingin menggambarkan dua gugus data (atau lebih), kita akan mampu untuk menentukan apakah dua gugus data berasal dari populasi yang sama atau tidak. Terdapat bermacam-macam ukuran penyebaran, diantaranya: (Turmudi dan Sri Harini, 2008) a. Rentangan atau range Rentangan atau range sangat mudah dihitung, yaitu merupakan selisih nilai pengamatan tertinggi dengan nilai pengamatan terendah.

Misal terdapat data berikut : 1,4,7,8,9,11. Nilai rentangannya adalah = 11-1= 10 b. Rentangan antar kuartil atau interquartil range Rentangan antar kuartil adalah jarak antara kuartil pertama dan ketiga. Rentangan antar kuartil =

. Rentangan antar kuartil

digunakan untuk menggambarkan variabilitas, seringkali ukuran ini ditransformasikan ke dalam rentanfan semi antar uartil atau semi interquartile range. Nilai ini dihitung dengan membagi dua rentangan antar kuartil. c. Nilai tengah simpangan (mean deviation) Nilai tengah simpangan yang disimbolkan dengan | ̅ | merupakan nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangansimpangannya. d. Simpangan baku (standart deviasi) dan keragaman (variance) Deviasi standart (Standart deviasi) atau simpangan baku dari suatu himpunan yang terdiri atas N bilangan,

,

, …,

disimbolkan dengan s, didefinisikan sebagai: (Murray R. Spiegel dan Larry J. Stephen, 2004) √

∑

(

̅)

√

∑

̅

√

∑

̅ √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

Simpangan baku merupakan ukuran variabilitas yang lebih sering digunakan dan lebih penting. Simpangan baku menggunakan rata-rata distribusi sebagai titik referenda dan mengukur variabilitas dengan mempertimbangkan jarak diantara masing-masing data dan rata-rata. Hal ini menentukan apakah suatu data secara umum dekat atau jauh dari rata-rata atau apakah suatu data mengumpul atau berpencar. Dalam istilah yang sederhana simpangan baku mendekati rata-rata jarak dari rata-rata. Sedangkan variansi dari suatu himpunan data didefinisikan sebagai kuadrat dari deviasi standard dan oleh karenanya dinyatakan dengan

. Jadi rumus variansi dapat didefinisikan sebagai:

∑ (√

̅)

(

)

(√

∑

̅

)

∑ (√

)

̅ ) (√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 3. Statistika Deskriptif Ilmu statistika dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Dalam hal ini, hanya akan dibahas statistika deskriptif. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan variansi dari data mentah; mendeskripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Cabang ilmu statisika deskriptif berkaitan

dengan

berbagai

teknik

pengumpulan,

pengorganisasian,

penyederhanaan, dan penyajian data ke dalam bentuk ysng lebih mudah dipahami, misalnya dalam bentuk tabel atau grafik. Teknik penyederhanaan data biasanya disertai dengan penjelasan tentang karakteristik-karateristik tertentu dari data, seperti ukuran pemusatan, ukuran penyebaran dari data tersebut. 3.1 Distribusi Frekuensi Penyajian data ke dalam bentuk distribusi frekuensi merupakan salah satu langkah awal yang biasanya dilakukan dalam menganalisis suatu data. Penginterpretasian data biasanya dapat lebih mudah jika data tersebut ditata (disusun) dan disederhanakan lebih dulu ke dalam tabel. Salah satunya adalah tabel frekuensi. Distribusi frekuensi merupakan suatu tabel, di mana data dikelompokkan ke dalam beberapa interval numeric yang disebut interval kelas (selang kelas). Bentuk tabel ini sangat sederhana karena hanya menyajikan jumlah pengamatan atau frekuensi dalam setiap interval kelas. (Turmudi dan Sri Harini, 2008)  Tabel Ada beberapa tahapan yang dapat digunakan sebagai petunjuk untuk menyusun tabel distribusi kelompok. Aturan ini memuat pedoman, tetapi bukan aturan kaku, yang dapat membantu kita menyusun tabel yang baik dan mudah dipahami. Tahapan yang diperlukan dalam penyusunan disribusi

frekuensi dengan kelas yang merupakan selang interval dilakukan urutan sebagai berikut; (Turmudi dan Sri Harini, 2008) a. Penentuan banyaknya selang/interval kelas Digunakan rumusan sebagai berikut: k = 1 + log 3.3 log

⁄

di mana : k = banyaknya interval kelas n = banyaknya (jumlah) data rumus tersebut merupakan modifikasi dari rumus Sturger, k =1+3.3 log(n). Jumlah interval kelas juga sangat bergantung pada jumlah pengamatan dalam data. Makin besar jumlah datanya maka akan makin banyak jumlah kelas yang diperlukan. b. Penentuan selang/interval kelas Interval dalam kelas atau lebar kelas bergantung pada banyaknya interval kelas yang dipilih dan kisaran data. Sebagai acuan penentuan lebar kelas dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu kisaran (range) datanya, yaitu selisih antara data pengamatan tertinggi dengan data pengamatan terendah, kemudian membaginya dengan jumlah interval yang diinginkan. R= Di mana : R

= range/kisaran = data terbesar = data terkecil

Selanjutnya, interval dalam kelas yang kita lambangkan dengan I, ditentukan dengan rumus: I= ⁄ c. Penentuan batas selang/interval kelas Setiap kelas harus memiliki batas bawah dan batas atas kelas, ditentukan dengan jelas dan tidak bertumpang tindih sehingga nilai-nilai pengamatan dapat dengan tepat dikelompokkan ke dalam setiap kelas. Batas bawah biasanya adalah nilai minimum dari data tersebut. Sedangkan batas atas interval kelas yang terkahir ditentukan sedemikian rupa

sehingga nilai maksimum dari data tersebut terletak pada interval kelas yang terakhir. d. Penentuan frekuensi untuk masing-masing interval kelas. Dapat dilakukan dengan cara mengurutkan data mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Atau dapat juga dilakukan dengan cara turus.  Grafik Distribusi Frekuensi Grafik distribusi frekuensi pada dasarnya merupakan gambaran dari informasi yang tersedia pada distribusi tabel frekuensi. Ada beberapa macam grafik yang berbeda-beda, tetapi semuanya dimulai dengan dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sebagai sumbu koordinat. Garis horizontal disebut sebagai sumbu-X atau absis, sedangkan garis vertical disebut sebagai sumbu Y atau ordinal. Jenis pertama dari grafik distribusi frekuensi dapat berbentuk histogram atau diagram batang. Histogram digunakan untuk menyajikan data yang telah tersusun dalam bentuk tabel distibusi frekuensi kedalam sebuah grafik. Kegunaan utama dari histogram adalah untuk menunjukkan bentuk umum dari distribusi data dan untuk memberikan kesan visual tentang konsentrasi dari sebagian besar pengamatan. Berikut ini adalah contoh histogram atau diagram batang;

Jenis lain dari grafik distribusi frekuensi adalah diagram batang dan daun. Diagram batang dan daun (the stem and leaf diagram) merupakan salah satu alternatif lain yang dapat digunakan untuk menyajikan dan menyederhanakan data. Selain itu, untuk menggambarkan

distribusi frekuensi terdapat poligon distribusi frekuensi, frekuensi relative dan kurva mulus. Berikut ini merupakan contoh stem and leaf diagram;

3.2 Bentuk-bentuk Distribusi Frekuensi a. Skewness Secara umum bentuk distribusi dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis yaitu di antara bentuk simetris atau miring. (Turmudi dan Sri Harini, 2008) Kemiringan

(skewness)

merupakan

derajat

ketidaksimetrisan

(keasimetrisan), atau dapat juga didefinisikan sebagai penyimpangan dari kesimetrian, dari suatu distribusi. Jika suatu kurva frekuensi (poligon frekuensi yang terhaluskan) dari suatu distribusi memiliki ekor kurva yang lebih panjang kearah sisi kanan dibandingkan ke sisi kiri dari nilai maksimum tengah, maka distribusi seperti ini dikenal dengan nama distribusi miring ke kanan, atau memiliki kemiringan positif. Untuk kondisi sebaliknya, distribusinya dikenal dengan distribusi miring ke kiri atau memiliki kemiringan negative. Untuk distribusi miring, mean akan cenderung berada pada sisi yang sama dengan modus di ekor kurva yang lebih panjang. Jadi ukuran dari keasimetrisan dapat diperoleh dari selisih atau perbedaan nilai mean dan modus: mean – modus. Ukuran ini dapat dibuat menjadi ukuran tanpa dimensi atau satuan jika kita membaginya dengan suatu ukuran dispersi, misalnya deviasi standar. (Murra...