Latihan Soal Geometri Analitik dan Pembahasannya (17IMM1-Q) PDF

Preview

Summary

Geometri Analitik Latihan Soal dan Penyelesaian (Elips, Hiperbola, Parabola) Dari 17IMM1-Q 𝑥2 𝑦2 1. Dari titik 𝐶 (10, −8) dibuat garis yang menyinggung elips 25 + 16 = 1. Persamaan tali busur yang menghubungkan kedua titik singgung itu ialah…. Penyelesaian: 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 + 2 =1 𝑎2 𝑏 10𝑥 (−8)𝑦 + =1 25 16 1...

Description

Geometri Analitik Latihan Soal dan Penyelesaian (Elips, Hiperbola, Parabola) Dari 17IMM1-Q 𝑥2

𝑦2

1. Dari titik 𝐶 (10, −8) dibuat garis yang menyinggung elips 25 + 16 = 1. Persamaan tali busur yang menghubungkan kedua titik singgung itu ialah….

Penyelesaian: 𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 + 2 =1 𝑎2 𝑏 10𝑥 (−8)𝑦 + =1 25 16 160𝑥 − 200𝑦 =1 400 160𝑥 − 200𝑦 = 400 4𝑥 − 5𝑦 = 10 2. Garis 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 menyinggung elips yang titik-titik apinya 𝐹1 (−3, 0) dan 𝐹2 (3,0). Persamaan elips yang memenuhi syarat tersebut adalah…. Penyelesaian: (1) Pada elips berlaku 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 , maka 𝑎2 − 𝑏 2 = 9 (i) (2) Pada garis 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0, didapatkan 𝑦 = 𝑥 − 5 dengan 𝑚 = 1 dan 𝑝 = −5 (3) 𝑝 = √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2 (−5)2 = 𝑎2 (1)2 + 𝑏 2 25 = 𝑎2 + 𝑏 2 (ii) (4) Eliminasi (i) dan (ii), maka: 𝑎2 − 𝑏 2 = 9 𝑎2 + 𝑏 2 = 25 −2𝑏 2 = −16 𝑏 2 = 8….(iii) (5) Subsitusikan (iii) kedalam (i) atau (ii) 𝑎2 − 8 = 9

𝑎2 = 17 𝑥2

Maka persamaan elips adalah 17 +

𝑥2

𝑦2 8

=1

𝑦2

3. Dari titik api sebelah kanan elips 45 + 20 = 1 dipancarkan sinar yang mengapit sudut 𝛼 (𝑡𝑔𝛼 = −2) dengan sumbu 𝑋 positif. Persamaan garis yang dilalui oleh sinar pantulnya tersebut adalah….

Penyelesaian: (1) 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 45 − 20 𝑐 = ±5 Maka titik fokusnya adalah (-5,0) dan (5,0). (2) Persamaan dari titik (-5,0) dengan 𝑚 = −2. 𝑦 − 0 = −2(𝑥 + 5) 𝑦 = −2𝑥 − 10 (i) (3) Subsitusikan persamaan (i) ke persamaan elips 𝑥 2 (−2𝑥 − 10)2 + =1 45 20 20𝑥 2 + 45(4𝑥 2 + 40𝑥 + 100) = 900 20𝑥 2 + 180𝑥 2 + 1800𝑥 + 4500 = 900 200𝑥 2 + 1800𝑥 + 3600 = 0 𝑥 2 + 9𝑥 + 18 = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 6) = 0 𝑥1 = −3 dan 𝑥2 = −6 (4) Subsitusikan 𝑥 = −6 ke persamaan (i) 𝑦 = −2(−6) − 10 𝑦 = 12 − 10 𝑦=2 Maka titik 𝑀 adalah (-6,2) (5) Persamaan garis yang melalui titik 𝑀 (−6,2) dan titik fokus (5,0) adalah 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

𝑦−0 𝑥−5 = 2 − 0 −6 − 5 𝑦 𝑥−5 = 2 −11 −11𝑦 = 2𝑥 − 10 2𝑥 + 11𝑦 − 10 = 0

𝑥2

𝑦2

4. Persamaan garis singgung pada elips 30 + 24 = 1 yang sejajar dengan garis 4𝑥 − 2𝑦 + 23 = 0 adalah….

Penyelesaian: Persamaan garis singgung elips horizontal dengan gradien 𝑚 pada pusat 𝑂 (0,0): 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2 •

4𝑥 − 2𝑦 + 23 = 0 𝑦 = 2𝑥 +

23 2

, maka 𝑚 = 2

Subsitusikan ke dalam rumus persamaan garis singgung elips: 𝑦 = 2𝑥 ± √30 × 4 + 24 𝑦 = 2𝑥 ± √144 𝑦 = 2𝑥 ± 12

5. Persamaan tali busur elips

𝑥2 8

+

𝑦2 4

= 1 yang dibagi dua sama panjang oleh titik

𝐴 (2,1) adalah….

Penyelesaian: •

𝑥2 8

+

𝑦2 4

•

=1

𝑥 2 + 2𝑦 2 = 8…..(i)

Titik 𝐴 (2,1) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 2) 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 1…..(ii)

Subsitusikan persamaan (ii) ke dalam persamaan (i), maka 𝑥 2 + 2[𝑚(𝑥 − 2) + 1]2 = 8 (𝑎)

𝑥 2 + 2[𝑚2 𝑥 2 − 4𝑚2 𝑥 + 4𝑚2 + 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + 1] = 8 (1 + 2𝑚)𝑥 2 + (4𝑚 − 8𝑚2 )𝑥 + 8𝑚2 − 8𝑚 − 6 = 0 (𝑏) 𝑏

Dari (𝑎) didapat bahwa 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 = −2. Pada elips, 𝑥1 + 𝑥2 bernilai mutlak, maka 𝑥1 + 𝑥2 = |−2| = 2 (𝑐). 𝑏

Dari (𝑏) di dapat bahwa 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 =

8𝑚2 −4𝑚 2𝑚2 +1

=

2(4𝑚2 −2𝑚) 2𝑚2 +1

.

Karena membagi tengah, maka 𝑥1 + 𝑥2 di bagi 2 sehingga 𝑥1 + 𝑥2 =

4𝑚2 −2𝑚 2𝑚2 +1

(𝑑)

Dari persamaan (𝑐) dan (𝑑), didapatkan: 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2 2=

4𝑚2 − 2𝑚 2𝑚2 + 1

4𝑚2 + 2 = 4𝑚2 − 2𝑚 𝑚 = −1 Sehingga persamaan tali busur adalah: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 1 𝑦 = −1(𝑥 − 2) + 1 𝑦 = −𝑥 + 3

6. Luas jajaran genjang yang dua titik sudutnya adalah titik-titik api dari elips

𝑥2 9

1 dan dua titik lainnya berimpit dengan ujung-ujung sumbu pendek dari elips adalah….

Penyelesaian: 𝑐 = ±√9 − 5 𝑐 = ±√4 𝑐 =±2

+

𝑦2 5

=

Maka didapat 𝑑1 = 2 + 2 = 4, dan 𝑑2 = 2√5. Sehingga luas jajaran genjang: 𝑑1 𝑑2 2 4 × 2√5 = 4√5 2

2

7. Eksentrisitas dari elips adalah 𝑒 = 5 dan jarak dari titik 𝑀 pada elips ke salah satu garis arahnya adalah 20. Jarak dari titik 𝑀 ke titik api yang bersesuaian dengan garis arah ini adalah…

Penyelesaian: 𝑒=

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑀 𝑘𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑝𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑓𝑜𝑘𝑢𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑠𝑢𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑎𝑟𝑎ℎ 2 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑀 𝑘𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑝𝑖 = 5 20 40 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑀 𝑘𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑝𝑖 = =8 5

8. Suatu elips menyinggung sumbu 𝑋 di titik 𝐴 (3,0) dn menyinggung sumbu 𝑌 di 𝐵 (0, −4). Jika sumbu-sumbu simetrinya sejajar sumbu-sumbu koordinat maka persamaan elipsnya adalah….

Penyelesaian: Karena menyinggung di sumbu 𝑋 di titik 𝐴 (3,0) dan di sumbu 𝑌 di titik 𝐵 (0, −4), maka titik pusatnya adalah (3,-4), sehingga 𝑎 = |𝑎| = 3 dan 𝑏 = |−4| = 4. Persamaan elips:

(𝑥−ℎ)2 𝑎2

+

(𝑦−𝑘)2 𝑏2

= 1, sehingga

(𝑥 − 3)2 (𝑦 + 4)2 + =1 32 42 (𝑥 − 3)2 (𝑦 + 4)2 + =1 9 16

9. Dari titik 𝑃 (−16, 9) dibuat garis singgung pada elips

𝑥2 4

+

𝑦2 3

= 1. Jarak dari titik 𝑃

ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut adalah….

Penyelesaian: (1) Tentukan persamaan garis polar. 𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦 + 2 =1 𝑎2 𝑏 16𝑥 9𝑦 − + =1 4 3 1 + 4𝑥 𝑦= … . . (𝑖) 3 (2) Subsitusikan ke persamaan elips 2

𝑥 + 4

1 + 4𝑥 2 ( 3 ) 3

=1

𝑥 2 1 + 8𝑥 + 16𝑥 2 + =1 4 27 27𝑥 2 + 4(1 + 8𝑥 + 16𝑥 2 ) = 108 91𝑥 2 + 32𝑥 − 104 = 0 (3) 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥1,2 =

(−32 ± √322 − 4 × 91 × (−104)) 2 × 91 𝑥1,2 =

−32 ± √38880 182

𝑥1,2 =

−32 ± 36√30 182

(4) Cari 𝑦, subsitusikan 𝑥 ke persamaan (𝑖)

𝑦1 =

𝑦1 =

(−32 + 36√30) 1 + 4( ) 182 3

1 + 3

√30) 128 (− 182) + (14 + 182 )

𝑦1 =

3 54 144√30 + 546 546

𝑦2 =

𝑦2 =

(−32 − 36√30) 1 + 4( ) 182 3 √30) 128 (− 182) − (14 + 182 )

1 + 3

3

𝑦2 =

54 144√30 − 546 546

(5) Diperoleh titik singgung: (−32+36√30) 54+144√30

•

𝐴 (𝑥2 . 𝑦2 ) = 𝐴 (

•

𝐵 (𝑥3 , 𝑦3 ) = 𝐵 (

183

,

546

)

(−32−36√30) 54−144√30 183

,

546

)

(6) Cari jarak 𝑃𝐴 dan 𝑃𝐵 •

𝑃𝐴 = √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 2

2

32 + 36√30 54 + 144√30 𝑃𝐴 = √[−16 − ( )] + [9 − ( )] 182 546 2

2

−2880 − 36√30 4860 − 144√30 𝑃𝐴 = √[ ] +[ ] 182 546 𝑃𝐴 = √272,9 + 55,6 = 18,1 ≈ 18 •

𝑃𝐵 = √(𝑥1 − 𝑥3 )2 + (𝑦1 − 𝑦3 )2 2

2

32 − 36√30 54 − 144√30 𝑃𝐴 = √[−16 − ( )] + [9 − ( )] 182 546 2

2

−2880 + 36√30 4860 + 144√30 𝑃𝐴 = √[ ] +[ ] 182 546 𝑃𝐴 = √218,1 + 100,3 = 17,8 ≈ 18

Jadi, jarak dari titik 𝑃 ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung adalah 18.

10. Persamaan elips yang sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat dan yang menyinggung dua garis 3𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 dan 𝑥 + 6𝑦 − 20 = 0 adalah….

Penyelesaian: •

3𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 3 𝑥 − 10 2 3 𝑚1 = 2 𝑦=

•

𝑥 + 6𝑦 − 20 = 0 1 20 𝑦=− 𝑥+ 6 6 𝑚2 = −

1 6

Sehingga, 3

Persamaan garis singgung dengan 𝑚1 = 2 adalah √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2 = 10 3 2 𝑎 ( ) + 𝑏 2 = 100 2 2

9 2 𝑎 + 𝑏 2 = 100 4 9𝑎2 + 4𝑏 2 = 400 (i) 1

Persamaan garis singgung dengan 𝑚2 = − 6 adalah √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2 =

20 6

1 2 20 2 𝑎2 (− ) + 𝑏 2 = ( ) 6 6 1 2 400 𝑎 + 𝑏2 = 36 36 𝑎2 + 36𝑏 2 = 400 (ii) Eliminasi persamaan (i) dan (ii)

9𝑎2 + 4𝑏 2 = 400 |1| 9𝑎2 + 4𝑏 2 = 400 𝑎2 + 36𝑏 2 = 400 |9| 9𝑎2 + 324𝑏 2 = 3600 −320𝑏 2 = −3200 3200 −320

𝑏2 = − 𝑏 2 = 10

Subsitusikan 𝑏 2 = 10 ke persamaan (ii) 𝑎2 + 36𝑏 2 = 400 𝑎2 + 36 (10) = 400 𝑎2 = 40 Sehingga diperoleh persamaan elipsnya adalah 𝑥2 𝑦2 + =1 40 10

11. Titik 𝐴 (−3, −5) terletak pada hiperbola yang salah satu titik apinya 𝐹 (−2, −3) dan garis arah yang bersesuaian dengan titik api ini adalah 𝑥 + 1 = 0. Persamaan hiperbola yang memenuhi syarat diatas adalah…

Penyelesaian: Misal ada sebuah titik (x,y), maka jarak terhadap titik fokus 𝐹 (−2, −3): √(𝑥0 − 𝑥)2 + (𝑦0 − 𝑦)2 Jarak fokus ke direktris 𝑥 + 1 = 0, maka 𝑑 = −1 − 𝑥0 Sehingga, √(𝑥0 − 𝑥)2 + (𝑦0 − 𝑦)2 √(−3 + 2)2 + (−5 + 3)2 √5 𝑇= = = −1 − 𝑥0 −1 + 3 2 Maka, √5 √(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 2 −1 − 𝑥

√5 (−1 − 𝑥) = √(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 2 5 (1 − 2𝑥 + 𝑥 2 ) = (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + (𝑦 2 + 6𝑦 + 9) 4 5 − 10𝑥 + 5𝑥 2 = 4𝑥 2 + 16𝑥 + 16 + 4𝑦 2 + 24𝑦 + 36 𝑥 2 − 6𝑥 − 47 − 4𝑦 2 − 24𝑦 = 0

5

12. Agar garis 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑝 menyinggung hiperbola

𝑥2 9

𝑦2

− 36 = 1 maka nilai 𝑝 adalah….

Penyelesaian: 5

5

𝑦 = 2 𝑥 + 𝑝, maka 𝑚 = 2 , 𝑎2 = 9 dan 𝑏 2 = 36. •

9 2

𝑝 = √𝑎2 𝑚2 − 𝑏 2

𝑝=

5 2 √ 𝑝 = 9 ( ) − 36 2

Maka, 𝑦 = 2𝑥 + 2

𝑝=√

5

9

81 4 9

Sehingga, nilai 𝑝 = 2 𝑥2

13. Persamaan garis singgung pada hiperbola 20 −

𝑦2 5

= 1 yang tegak lurus garis 4𝑥 +

3𝑦 − 7 = 0 adalah….

Penyelesaian: Persamaan hiperbola:

𝑥2 20

−

𝑦2 5

= 1, maka 𝑎2 = 20 dan 𝑏 2 = 5. Gradien garis 4𝑥 +

4

3𝑦 − 7 = 0 adalah 𝑚𝑔 = − 3, sehingga gradien garis singgung adalah 𝑚 × 𝑚𝑔 = −1 𝑚=−

1 3 = 𝑚𝑔 4

Sehingga persamaan garis singgung: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏 2

3 3 2 √ 𝑦 = 𝑥 ± 20 ( ) − 5 4 4 𝑦=

3 9 𝑥 ± √20 × −5 4 16

𝑦=

3 45 𝑥±√ −5 4 4

3 25 𝑦 = 𝑥±√ 4 4 𝑦=

3 5 𝑥± 4 2

4𝑦 = 3𝑥 ± 10 Sehingga: 3𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0 atau 3𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0 𝑥2

𝑦2

14. Titik 𝑀 pada hiperbola 24 − 18 = 1 yang terdekat ke garis 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 adalah….

Penyelesaian: 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 2𝑦 = −3𝑥 − 1 𝑦=

−3𝑥 − 1 2

3

Maka, gradien: − 2 Subsitusikan ke persamaan garis singgung, maka: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏 2 3 3 2 √ 𝑦 = − 𝑥 ± 24 (− ) − 18 2 2 3 𝑦 = − 𝑥 ± √54 − 18 2 3 𝑦 = − 𝑥 ± √36 2

3 𝑦 =− 𝑥±6 2 Subsitusikan ke persamaan hiperbola: 2

𝑥 − 24

2 3 (− 2 𝑥 − 6)

18

=1

3 12 2 𝑥 2 (− 2 𝑥 − 2 ) − =1 24 18 𝑥 2 −3𝑥 − 12 − =1 24 72 3𝑥 2 − (9𝑥 2 + 72𝑥 + 144) = 72 −6𝑥 2 − 72𝑥 − 216 = 0 𝑥 2 + 12𝑥 + 36 = 0 (𝑥 + 6)(𝑥 + 6) = 0, 𝑥 = −6 Subsitusikan nilai 𝑥 3 𝑦+ 𝑥+6=0 2 3 𝑦 + (−6) + 6 = 0 2 𝑦−9+6=0 𝑦−3=0 𝑦=3 Jadi, nilai titik 𝑀 adalah (-6,3)

15. Jika garis 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 menyinggung hiperbola yang titik-titik apinya 𝐹1 (−3,0) dan 𝐹2 (3,0) maka persamaan hiperbola adalah…. Penyelesaian: Pusat hiperbola (0,0)

Diketahui garis singgung

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0

32 = 𝑎2 + 𝑏 2

𝑦 = 2𝑥 − 4……(ii)

𝑎2 + 𝑏 2 = 9……(i)

Gradien 𝑚 = 2

Persamaan garis singgung hiperbola 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏 2 Maka, 𝑦 = 2𝑥 ± √22 𝑎2 − 𝑏 2 𝑦 = 2𝑥 ± √4𝑎2 − 𝑏 2…… (iii) Dari persamaan (ii) dan (iii) di dapatkan 4 = √4𝑎2 − 𝑏 2 16 = 4𝑎2 − 𝑏 2 …..(iv) Eliminasi (i) dan (iv) 𝑎2 + 𝑏 2 = 9 4𝑎2 − 𝑏 2 = 16 5𝑎2 = 25 𝑎2 = 5 Sehingga didapat 𝑏2 = 9 − 𝑎2 𝑏2 = 9 − 5 = 4 Maka, persamaan parabolanya adalah 𝑥2 𝑦2 − =1 𝑎2 𝑏 2 𝑥2 𝑦2 − =1 5 4

16. Luas daerah segitiga yang dibentuk oleh asimtot-asimtot hiperbola garis 9𝑥 + 2𝑦 − 24 = 0 adalah….

Penyelesaian: 𝑏

Persamaan asimtot: 𝑦 = ± 𝑎 𝑥, maka: 3 𝑦=± 𝑥 2 2𝑦 = ±3𝑥 2𝑦 ± 3𝑥 = 0……(i) Eliminasi (i) dengan garis 9𝑥 + 2𝑦 − 24 = 0 •

2𝑦 + 3𝑥 = 0 2𝑦 + 9𝑥 = 24 −6𝑥 = −24 𝑥=4 Maka, 2𝑦 + 3𝑥 = 0 2𝑦 + 12 = 0 𝑦 = −6, sehingga titik koordinat (4, −6)

•

2𝑦 − 3𝑥 = 0 2𝑦 + 9𝑥 = 24 −12𝑥 = −24 𝑥=2 Maka, 2𝑦 − 3𝑥 = 0 2𝑦 − 6 = 0 2𝑦 = 6 𝑦 = 3, sehingga titik koordinat (2,3)

𝑥2 4

−

𝑦2 9

= 1 dan

Didapatkan titik-titik segitiga adalah (4,-6), (2,3), (0,0) Sehingga luas segitiga: 1 (𝑥 𝑦 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 ) − (𝑦1 𝑥2 + 𝑦2 𝑥3 + 𝑦3 𝑥1 ) 2 1 2 1 = (12 + 0 + 0) − (−12 + 0 + 0) 2 =

1

= 2 (24) = 12 satuan luas

17. Titik-titik api suatu hiperbola berimpit dengan titik-titik api elips

𝑥2 25

+

eksentrisitas numerik 𝑒 = 2 maka persamaan hiperbolanya adalah….

Penyelesaian: Diketahui, 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 9 = 25 − 𝑐 2 𝑐 = ±4 Diketahui eksentrisitas numerik hiperbola: 𝑐 𝑎 4 2= 𝑎 𝑒=

𝑎=2 Maka, 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 42 = 22 + 𝑏 2 16 = 4 + 𝑏 2 𝑏 2 = 12 Sehingga, persamaan hiperbolanya adalah 𝑥2 𝑦2 + =1 4 12

𝑦2 9

= 1.jika

18. Persamaan hiperbola yang titik-titik apinya pada puncak-puncak elips

𝑥2 100

+

𝑦2 64

=1

dan garis-garis arahnya melalui titik-titik api dari elips ini adalah….

Penyelesaian: (1) Titik fokus hiperbola = titik puncak elips Jika titik puncak elips adalah (𝑎, 0) dan (−𝑎, 0), maka titik fokus hiperbola adalah (10,0) dan (−10,0) (2) Garis arah melalui titik fokus elips 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 100 − 64 𝑐 =±6 Maka garis arah melalui titik fokus (−6,0) dan (6,0) 𝑎2

(3) Garis arah hiperbola adalah 𝑥 = ± 𝑐 , maka 6=±

𝑎2 10

± 𝑎2 = 60 (4) 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 100 = 60 + 𝑏 2 𝑏 2 = 40 (5) Maka persamaan hiperbola 𝑥2 𝑦2 − =1 60 40 19. Persamaan hiperbola yang sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat dan menyinggung dua garis 5𝑥 − 6𝑦 − 16 = 0 dan 13𝑥 − 10𝑦 − 48 = 0 adalah….

Penyelesaian: (1) Cari persamaan garis singgung •

5𝑥 − 6𝑦 = 16 𝑦=

•

16−5𝑥 −6

5

, maka 𝑚1 = 6

13𝑥 − 10𝑦 − 48 = 0 𝑦=

−13𝑥+48 −10

13

, maka 𝑚2 = 10

(2) Karena menyinggung maka 𝐷 = 0. Kemudian subsitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 ke dalam 𝑥2

𝑦2

•

𝑦=

− 𝑏2 = 1, lalu 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 sehingga akan didapat 𝑘 2 − 𝑏 2 − 𝑎2 𝑚2 = 0. 𝑎2

(−

16−5𝑥 −6

, maka

16 2 5 2 ) + 𝑏 2 − ( ) 𝑎2 = 0 6 2

36𝑏 2 − 25𝑎2 = −256 (i) •

𝑦=

−13𝑥+48 −10

48 2 13 2 2 2 (− ) + 𝑏 − ( ) 𝑎 = 0 10 10 100𝑏 2 − 169𝑎2 = −2304 (ii) (3) Eliminasi (i) dan (ii) 36𝑏 2 − 25𝑎2 = −256

|100| 3600𝑏 2 − 2500𝑎2 = −25600

100𝑏 2 − 169𝑎2 = −2304 |36| 3600𝑏 2 − 6084𝑎2 = −82944 −3584𝑎2 = 57344 𝑎2 = 16 𝑎=4 (4) Subsitusikan nilai 𝑎 ke salah satu persamaan yang ada 36𝑏 2 − 25𝑎2 = −256 36𝑏 2 − 25(4)2 = −256 36𝑏 2 = −256 + 25(16) 𝑏2 = 4 𝑏=2 Maka, persamaan hiperbola: 𝑥2 𝑦2 − =1 16 4

20. Persamaan tali busur hiperbola

𝑥2 16

−

𝑦2 4

= 1 yang dibagi dua sama panjang oleh titik

𝐵(6,2) adalah….

Penyelesaian: 𝑥2

𝑦2

Persamaan hiperbola: 𝑎2 − 𝑏2 = 1, sehingga didapatkan 𝑎2 = 16 dan 𝑏 2 = 4. Dimiliki 𝐵 (6,2), maka 𝑥1 = 6 dan 𝑦1 = 2. Persamaan garis yang dilalui suatu titik dengan gradien 𝑚 yaitu: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑦1 Maka, 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑦1 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 6) + 2 𝑏2𝑥

Gradien garis pada satu titik yaitu: 𝑚1 = 𝑎2 𝑦1

1

𝑏2𝑥

4×6

24

3

Maka, 𝑚 = 𝑎2 𝑦1 = 16×2 = 32 = 4 1

3

Subsitusikan nilai 𝑚 = 4 , pada persamaan garis sehingga menjadi: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 6) + 2 3 𝑦 = (𝑥 − 6) + 2 4 4𝑦 = 3𝑥 − 18 + 8 4𝑦 = 3𝑥 − 10 4𝑦 − 3𝑥 + 10 = 0 𝑥2

Jadi, persamaan tali busur hiperbola 16 −

𝑦2 4

= 1 yang dibagi dua sama Panjang oleh

titik 𝐵 (6,2) adalah 4𝑦 − 3𝑥 + 10 = 0

21. Persamaan parabola dengan puncak titik asal, simetris terhadap 𝑂𝑋 dan melalui titik 𝐴 (9,6) adalah….

Penyelesaian: Persamaan parabola: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Untuk menentukan nilai 𝑝, maka subsitusikan titik 𝐴 (9,6) pada persamaan hiperbola sehingga: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥

62 = 4𝑝(9) 36 = 36𝑝 𝑝=1 Subsitusikan 𝑝 = 1 ke dalam persamaan parabola 𝑦 2 = 4𝑝𝑥, maka 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 = 4(1)𝑥 𝑦 2 = 4𝑥 Jadi persamaan parabola dengan titik asal, simetris terhadap 𝑂𝑋 dan melalui titik 𝐴 (9,6) adalah 𝑦 2 = 4𝑥

22. Persamaan parabola dengan puncaknya 𝑂, terletak di tengah-tengah bidang atas, 1

simetris terhadap 𝑂𝑌, dan parameternya 𝑝 = 4 adalah…. Penyelesaian: Simetris terhadap 𝑂𝑌 berarti parabola vertical, sehingga persamaannya: 𝑥 2 = 2𝑝𝑦. 1

Maka, subsitusi 𝑝 = 4 ke persamaan parabola vertical, sehingga: 1 𝑥2 = 2 ( ) 𝑦 4 1 𝑥2 = 𝑦 2

23. Dari titik api parabola 𝑦 2 = 12𝑥 dipancarkan sinar yang membentuk sudut lancip 3

𝛼 (𝑡𝑔𝛼 = 4) dengan sumbu 𝑋 posiitif. Persamaan garis yang dilalui sinar pantul tersebut adalah….

Penyelesaian: (1) 𝑦 2 = 𝑦 2 12𝑥 = 2𝑝𝑥 𝑝=6 1

Sehingga titik fokusnya adalah (2 𝑝, 0) = (3,0)

(2) Cari persamaan garis yang melalui titik (3,0) dengan 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼 =

3 4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 3 (𝑥 − 3) 4 3 9 𝑦= 𝑥− 4 4 4 9 𝑥 = (𝑦 + ) 3 4 4 𝑥 = 𝑦+3 3

𝑦−0=

4

(3) Subsitusikan 𝑥 = 3 𝑦 + 3 ke persamaan 𝑦 2 = 12𝑥 4 𝑦 2 = 12 ( 𝑦 + 3) 3 𝑦 2 = 16𝑦 + 36 𝑦 2 − 16𝑦 − 36 = 0 (𝑦 − 18)(𝑦 − 2) = 0 𝑦 = 18, 𝑦 = 2 4

(4) 𝑦 = 18 disubsitusikan ke persamaan 𝑥 = 3 𝑦 + 3 𝑥= 𝑥=

4 𝑦+3 3

4 (18) + 3 3 𝑥 = 27

Sehingga hasilnya (𝑥, 𝑦) = (27,18). Karena 𝑦 = 18, maka persamaan garis pantulnya 𝑦 = 18.

1

24. Persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 2 = 6𝑥 yang tegak lurus garis 𝑦 = 3 𝑥 + 2 adalah….

Penyelesaian: 1

1

Persamaan garis singgung yang tegak lurus: 𝑦 = 3 𝑥 + 2, maka 𝑚1 = 3. 1

Kemudian, 𝑚2 = − 1 = −3. 3

•

2

𝑦 = 4𝑝𝑥

6𝑥 = 4𝑝𝑥 𝑝=

3 2

Sehingga, persamaan garis singgung: 𝑝 𝑚 3 𝑦 = −3𝑥 + 2 −3 1 𝑦 = −3𝑥 − 2 𝑦 = 𝑚𝑥 +

25. Dari titik 𝐴 (−1,2) dibuat garis-garis singgung pada parabola 𝑦 2 = 10𝑥. Persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgungnya adalah….

Penyelesaian: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 10𝑥 = 4𝑝𝑥 𝑝=

5 2

Sehingga: 𝑦𝑦1 = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 ) 5 2𝑦 = 2 × (𝑥 − 1) 2 2𝑦 = 5𝑥 − 5 𝑦=

5𝑥 − 5 2

26. Persamaan parabola yang titik apinya 𝐹 (4,3) dan garis arahnya 𝑥 + 1 = 0 adalah….

Penyelesaian: √(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = |𝑦 + 1| (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = (𝑦 + 1)2 (𝑥 2 − 8𝑥 + 16) + (𝑦 2 − 6𝑦 + 9) = 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 𝑥 2 − 8𝑥 + 24 − 8𝑦 = 0 8𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 24 𝑦=

1 2 𝑥 −𝑥+3 8

27. Titik-titik pada parabola 𝑦 2 = 16𝑥 yang jaraknya 13 dari titik api adalah….

Penyelesaian: Persamaan parabola: 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 Maka, 𝑦 2 = 16𝑥 2𝑝𝑥 = 16𝑥 𝑝=8 1

Titik api (fokus) = (2 𝑝, 0) = (4,0) Jarak dengan titik api adalah 13, maka 1 2 √ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑝𝑖 = (𝑥 − 𝑝) + 𝑦 2 2 13 = √(𝑥 − 4)2 + 𝑦 2 132 = (𝑥 − 4)2 + 𝑦 2 132 = (𝑥 − 4)2 + 2𝑝𝑥 132 = (𝑥 − 4)2 + 16𝑥 132 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 16𝑥 132 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 132 = (𝑥 + 4)2

(𝑥 − 4) = 13

sehingga 𝑥=9 Maka, 𝑥1 = 𝑥2 = 9 Subsitusikan 𝑥1 = 𝑥2 = 9, sehingga 𝑦 2 = 16𝑥 𝑦 2 = 16 × 9 𝑦 2 = 144 𝑦 = ±12 Maka, titik pada parabola 𝑦 2 = 16𝑥 yang jaraknya 13 cm dari titik api adalah (9,12) dan (9,-12)

28. Titik 𝑀 pada parabola 𝑦 2 = 64𝑥 yang terdekat dengan garis 4𝑥 + 3𝑦 − 14 = 0 adalah….

Penyelesaian: 𝑝

Rumus persamaan parabola adalah 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, sehingga menjadi 𝑦 = 𝑚𝑥 + 2𝑚 dengan 𝑝 = 32. •

4𝑥 + 3𝑦 − 14 = 0 4

𝑦 = −3𝑥 +

14 3

4

, maka 𝑚 = − 3 𝑦 = 𝑚𝑥 +

𝑝 2𝑚

4 32 𝑦=− 𝑥+ 4 3 2(− 3) 4 𝑦 = − 𝑥 − 12 3 Sehingga: 𝑦 2 = 64𝑥

2 4 [(− 𝑥 − 12)] = 64𝑥 3

16 2 𝑥 + 32𝑥 + 144 = 64𝑥 9 16 2 𝑥 − 32𝑥 + 144 = 0 9 𝑥 2 − 18𝑥 + 81 = 0 (𝑥 − 9)(...