Geometri Analitik Ruang_Bola.pdf PDF

Preview

Summary

Persamaan Pusat Bola  Bola berpusat M (a,b,c) Jika diketahui sebaran titik P (x,y,z) pada permukaan sebuah P (x,y,z) bola, maka jarak P ke M adalah r. Sehingga: = − + − + − = r atau dengan bentuk lain: M (a,b,c) = − + − + −  Bola berpusat O (0,0,0) O Jika P (x,y,z) sebarang titik pada permukaan b...

Description

Persamaan Pusat Bola  Bola berpusat M (a,b,c) Jika diketahui sebaran titik P (x,y,z) pada permukaan sebuah

P (x,y,z)

bola, maka jarak P ke M adalah r. Sehingga: 𝑃𝑀 =

(𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 +(𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟

r

atau dengan bentuk lain:

M (a,b,c)

𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 +(𝑧 − 𝑐)2  Bola berpusat O (0,0,0)

O

Jika P (x,y,z) sebarang titik pada permukaan bola, maka jarak P ke O (0,0,0) adalah r. Sehingga:

𝑃𝑂 =

(𝑥 − 0)2 +(𝑦 − 0)2 +(𝑧 − 0)2 = 𝑟

atau dengan bentuk lain: 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Contoh:

1. (x − 1)2 +(y − 2)2 +(z − 3)2 = 144 2. x 2 + y 2 + z 2 = 9

Persamaan Umum Bola (𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 +(𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑟 2 = 0 atau 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 dimana −2𝑎 = A

−2𝑏 = B

−2c = C

1 𝑎=− 𝐴 2

1 𝑏=− 𝐵 2

1 𝑐=− 𝐶 2

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑟 2 = D

Jari − jari 𝑟 =

1 2 1 2 1 2 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 −𝐷 4 4 4

1 1 1 Pusat 𝑃 − 𝐴, − 𝐵, − 𝐶 2 2 2

Latihan Soal Contoh: 1. Tentukan pusat dan jari-jari bola dari persamaan berikut: a. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 10𝑧 − 1 = 0 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 10𝑥 − 8𝑦 − 12𝑧 + 68 = 0 2. Tentukan persamaan bola jika diketahui fakta berikut dan gambarlah dengan menggunakan GeoGebra: a. Pusat (0,4,3); radius: 3 b. Pusat (2,-1,8); radius: 6 c. Pusat (0,5,-9); diameter: 8 d. Pusat (-3,7,5); diameter: 10 e. Titik-titik ujung diameter bola adalah (3,0,0) dan (0,0,6) f. Titik-titik ujung diameter bola adalah (2,-2,2) dan (-1,4,6)

Persamaan Bola Melalui 4 Titik Jika diketahui empat buah titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), Q 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ) dan S(𝑥4 , 𝑦4 , 𝑧4 ), maka:

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 + 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷 = 0 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷 = 0 𝑥32 + 𝑦32 + 𝑧32 + 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 + 𝐷 = 0 𝑥42 + 𝑦42 + 𝑧42 + 𝐴𝑥4 + 𝐵𝑦4 + 𝐶𝑧4 + 𝐷 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22 𝑥32 + 𝑦32 + 𝑧32 𝑥42 + 𝑦42 + 𝑧42

Latihan: Kerjakan soal latihan pada buku halaman 62, nomor 5.

𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

𝑦 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4

𝑧 𝑧1

1 1

𝑧2 𝑧3 𝑧4

1 =0 1 1

Metode Eliminasi

Dicari Determinan

Persamaan Parameter Bola Di dalam kalkulus, kita sudah mengenal persamaan parametric untuk surface of evolution yaitu: (𝑓 𝑢 cos 𝑣 , 𝑓 𝑢 sin 𝑣 , 𝑔 𝑢 ) Dimana (𝑓 𝑢 , 𝑔 𝑢 ) adalah persamaan parametric dari sebuah kurva yang terotasi. Untuk sebuah lingkaran, persamaan parametriknya adalah (𝑟 cos 𝑢, 𝑟 sin 𝑣). Oleh sebab itu, persamaan parametric dari suatu bola adalah: (𝑟 cos 𝑢 c𝑜𝑠 𝑣 , 𝑟 cos 𝑢 sin 𝑣 , 𝑟 sin 𝑢) Dengan mengubah variable dari (u,v) ke

𝜋 2

− 𝜑, 𝜃 , maka didapatkan persamaan parameter bola dengan pusat P(0,0,0): 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃

𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 Sedangkan dengan pusat M (a,b,c), didapatkan: 𝑥 = 𝑎 + 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜃 𝑦 = 𝑏 + 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃 𝑧 = 𝑐 + 𝑟 cos 𝜑

Koordinat Bola pada Sistem Koordinat Kartesius, Bola dan Silinder 

Koordinat Silinder dan Koordinat bola 1.

Koordinat Cartesius ( x, y, z )

2.

Koordinat Silinder ( r, θ, z )

3.

Koordinat bola ( ρ, θ, φ ) P (x,y,z)

φ

P (r,θ, z )

z

P (ρ , θ, φ ) ρ

x

r

y

z θ

θ



1.

Koordinat Silinder Hubungan koordinat silinder dan cartesius - Silinder ke cartesius - Cartesius ke silinder

𝑥2 + 𝑦2

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

r=

y = 𝑟 sin 𝜃

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝑦 𝑥

𝑧=𝑧 𝑧=𝑧 Contoh: Tentukan koordinat cartesius dan koordinat silinder dari titik berikut −5, −5,2 dan 2𝜋 4, , 5 3

Peny: 2𝜋 4, , 5 3

⟹ −2,2 3, 5

−5, −5,2 ⟹ 5

5𝜋 2, , 2 4

2.

3.

Tentukan persamaan ini dalam koordinat silinder pada persamaan cartesius 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 − 𝑧 dan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 Peny: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 − 𝑧 𝑟2 = 4 − 𝑧

𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 𝑟 2 = 2𝑟 cos 𝜃 𝑟 = 2 cos 𝜃

Tentukan persamaan 𝑟 2 cos 2𝜃 = 𝑧 Peny: 𝑥 2 + 4𝑧 2 = 16 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 = 16

cartesius

𝑥2 16

𝑦2 + 16

𝑧2 + 4

=1

suatu

𝑟 2 + 4𝑧 2 = 16 dan

persamaan

𝑟 2 cos 2𝜃 = 𝑧 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝑧 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝑧

𝑟 cos 𝜃 2 − 𝑟 sin 𝜃 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑧

2

=𝑧



Koordinat Bola Hubungan koordinat bola ke koordinat cartesius 𝜌, 𝜃, 𝜙 ⟹ 𝑥, 𝑦, 𝑧 Bola ke Kartisius 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃

𝜌=

y = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

𝜙 = cos −1

𝑦 𝑥

𝑧 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2

Contoh Soal: Tentukan koordinat cartesius sebuah titik yang 𝜋 2𝜋 mempunyai koordinat bola 8, , . 3

3

Peny: 8, 𝜋/3,2𝜋/3 ⟹ 2 3, 6, −4

2.

Tentukan grafik dari 𝜌 = 2 cos 𝜙 Peny: 𝜌 = 2 cos 𝜙 ⟹ 𝜌2 = 2𝜌 cos 𝜙 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2𝑧 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑧 + 1 = 1 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 1)2 = 1 Ini merupakan persamaan bola yang titik pusatnya di (0,0,1) dan jari-jarinya 1.

Persamaan Bola dalam Koordinat Bola a. Bola pusat O dengan jari-jari a adalah r = a. b. Bola pusat (a,0,0) dengan jari-jari a adalah 𝑟 = 2𝑎 sin 𝜃 cos 𝜙 c. Bola pusat (0,a,0) dengan jari-jari a adalah 𝑟 = 2𝑎 sin 𝜃 sin 𝜙

d. Bola pusat (0,0,a) dengan jari-jari a adalah 𝑟 = 2𝑎 sin 𝜃

Soal latihan:

Tentukan persamaan bola dalam koordinat bola jika diketahui: a.

Berpusat (0,4,0) dengan jari-jari 5

b.

Berpusat (0,0,3) dengan diameter 8

c.

Ujung-ujung diameternya adalah (0,3,0) dan (0,11,0)

d.

Pusat terletak pada sumbu-y positif dan berjari-jari 6

Bola dan Bidang Rata Jika diketahui sebuah bola S berjari-jari r dan berpusat M. Lalu terdapat bidang V dengan d adalah jarak terdekat pusat M dengan bidang V. Maka terdapat tiga kemungkinan hubungan antara kedua objek geometri tersebut, yaitu: 1.

Bidang memotong bola, maka 𝑑 < 𝑟

2.

Bidang menyinggung bola, maka 𝑑 = 𝑟

3.

Bidang di luar bola, maka 𝑑 > 𝑟

Contoh Soal Bagaimana kedudukan bola 𝑆: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 − 16 = 0 dan bidang 𝑉: 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0 . Bila berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya. Jawab:

Soal Latihan 1.

2.

Tentukan letak bola A terhadap bidang V jika diketahui persamaan bola dan bidang sebagai berikut: a.

A: (𝑥 − 1)2 +(𝑦 − 1)2 +(𝑧 + 1)2 = 3 dan V: 2x + 3y + 4z – 2 = 0

b.

A: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 8 dan V: 3x + 5y + 7z = 29

Tunjukkan bahwa bidang 2x – 2y + z + 12 = 0 menyinggung bola: x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z = 0. Tentukan pula titik singgungnya.

Bidang Singgung Bola Bola P berpusat 𝑀(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑆: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

Titik Singgung N 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

Bidang 𝑄: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

Karena: • 𝑀𝑁 = 𝑥1 − 𝑎, 𝑦1 − 𝑏, 𝑧1 − 𝑐 • 𝑀𝑄 = 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏, 𝑧 − 𝑐 Maka: 𝑀𝑄 ∙ 𝑀𝑁 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 − 𝑎, 𝑦1 − 𝑏, 𝑧1 − 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏, 𝑧 − 𝑐 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑦1 − 𝑏 𝑦 − 𝑏 + 𝑧1 − 𝑐 𝑧 − 𝑐 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + 𝑧1 𝑧 − 𝑎 𝑥1 + 𝑥 − 𝑏 𝑦1 + 𝑦 − 𝑐 𝑧1 − 𝑧 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑟 2 = 0 1 1 1 ⟺ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + 𝑧1 𝑧 + 𝐴 𝑥1 + 𝑥 + 𝐵 𝑦1 + 𝑦 + 𝐶 𝑧1 + 𝑧 + 𝐷 = 0 2 2 2

Karena MN ⊥ bidang singgung V, dan sebarang titik Q (x,y,z), Persamaan Bidang Singgung Bola di Titik N 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 MN⊥ NQ, maka: 2 2 2 𝑟 2 ⟹ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + 𝑧1 𝑧 = 𝑟 2 𝑀𝑄 ∙ 𝑀𝑁 𝑀𝑄 ∙ 𝑀𝑁 • Jika persamaan bola 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = • Jika persamaan bola (𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 +(𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2 ⟹ 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 + ⟺𝑟= = 𝑟 𝑀𝑁 𝑦1 − 𝑏 𝑦 − 𝑏 + 𝑧1 − 𝑐 𝑧 − 𝑐 = 𝑟 2 ⟺ 𝑟 2 = 𝑀𝑄 ∙ 𝑀𝑁

Contoh Soal

Soal Latihan 1.

Carilah persamaan bola dengan pusat (1,1,4) dan menyinggung bidang 𝑥 + 𝑦 = 12.

2.

Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 3 = 0 di titik T(1,1,-2).

3.

Ditentukan titik P pada bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, pada titik mana bidang singgungnya sejajar

bidang 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1. 4.

Tentukan persamaan bidang singgung bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 di titik (0,-2,4).

Bidang singgung dengan bilangan arah A, B, C dicari sebagai berikut: i.

Tentukan garis normal n melalui pusat bola M, dengan bilangan arah: A, B, C. ii. Tentukan titik tembus normal n dengan bola (ada dua titik tembus T1 dan T2) iii. Buat bidang singgung di T1 dan T2 Atau: Misalkan bidangnya Ax + By + Cz + D = 0; D dicari dengan jarak pusat bola ke bidang = jari-jari, D didapat (terdapat dua harga) Contoh: Tentukan persamaan bidang singgung bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 di titik (0,-2,4).

Bidang Singgung dari Titik P(x1, y1, z1) di Luar Bola Dari sebuah titik P di luar terdapat tak terhingga bidang singgung yang kesemuanya akan melukiskan sebuah kerucut singgung (kerucut selubung) di mana P sebagai puncak. Pembahasan tentang persamaan bidang kerucut terutama berkaitan dengan persamaannya akan dibahas di Bab V. Namun pembicaraan kali ini dapat pula dicari persamaan kecucut selubung dari titik P di luar bola. Kerucut selubung suatu bola B dapat didefinisikan tempat kedudukan garis-garis melalui P yang menyinggung bola B. Cara mencari persamaan kerucut sebagai berikut: Misal: P(x1,y1,z1) bola B: x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 i. Buat sembarang garis pelukis melalui titik P 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡 𝑔 = 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡 …………(1) dimana a, b, c, dan t adalah parameter. 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡 ii.

Potongkan garis g ini dengan bola B = 0, akan kita dapatkan persamaan kuadrat dalam t (sesuai dengan adanya dua titiktembus ). Kenakan syarat diskriminan D = 0 (agar garisnya menyinggung), akan diperoleh persamaan: f(a,b,c) = 0 .............................(2) iii. Dari persamaan (1) dan (2) eliminasikan a, b, c dan t akan diperoleh persamaan kerucut yang diminta.

Contoh Soal Tentukan bayang-bayang bola pada bidang xOy, apabila bola x2 + y2 + z2 = 11 disinari dari titik P(2,4,4)! Jawab: 𝑥 = 2 + 𝑎𝑡 i. Garis g yang melalaui titik 𝑃 = 𝑦 = 4 + 𝑏𝑡 ….(1) 𝑧 = 4 + 𝑏𝑡 ii. Potongan garis g dengan bola: (2 + at)2 + (4 + bt)2 + (4 + ct)2 = 11 (a2 + b2 + c2).t2 + (4a + 8b + 8c).t + 25 = 0 Agar menyinggung bola dipersyaratkan diskriminan D = 0: (4a + 8b + 8c)2 – 100(a2 + b2 + c2) = 0 ........................... (2) iii. Substitusikan a, b dan c dari persamaan (1) ke dalam persamaan (2) dan setelah dibagi dengan t2: (4(x – 2) + 8(y – 4) + 8(z – 4))2 – 100((x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 4)2) = 0 , atau: 21x2 + 9y2 + 9z2 – 16xy – 16xz – 32yz + 44x + 88y + 88z – 396 = 0 Bayang-bayang bola pada bidang xOy adalah: z = 0 dan 21x2 + 9y2 + 9z2 – 16xy – 16xz – 32yz + 44x + 88y + 88z – 396 = 0 Penyelidikan lebih lanjut pada bidang z = 0, memperlihatkan bahwa bayang bola tersebut berupa ellips.

Bidang Kutup Sebuah Titik Terhadap Bola Diketahui titik P(x1, y1, z1) di luar bola x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0. Akan dicari Bidang Kutub:

Misalkan Q(x0, y0, z0) sebarang titik pada lingkaran singgung, maka bidang Bidang Kutub

singgun di Q pada bola B:

x2

+

y2

+

z2

+ Ax + By + Cz + D = 0, adalah:

x0x + y0y + z0z +1/2 A(x + x0) + 1/2B(y + y0 ) + C(z + z0) + D = 0 bidang ini melalui P(x1,y1,z1) maka: x0x1 + y0y1 + z0z1 +1/2A(x1+x0) + 1/2B(y1+y0) + 1/2C(z1+z0) + D = 0, jalankan x0,y0,z0, didapat: x1x + y1y + z1z + 1/2A(x + x1) +1/2B(y + y1) + 1/2C(z+ z1) + D = 0.

Kutub Sebuah Bidang Terhadap Bola Bila diketahui sebuah bola dan sebuah bidang V, maka kita dapat mencari sebuah titik P sebagai titik kutubnya bidang V terhadap bola B. Contoh: Tentukan titik kutubnya bidang V: x – 6y – 5z – 2 = 0, terhadap bola B: x2 + y2 + z2 – 3x + 2y – z + 2 = 0. Jawab:

Misalkan

titik

kutubnya

P(x1,y1,z1),

1 2

maka

persamaan

bidang

kutub

dari

titik

1 2

P

adalah:

x1x + y1y + z1z – 1 (x + x1) + (y + y1) – (z + z1) + 2 = 0, karena bidang ini harus identik dengan: x – 6y – 5z – 2 = 0, maka: 1 1 1 1 𝑧 − −1 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 +2 1 2 = 𝑦1 + 1 = 1 2 = 2 1 2 1 1 −6 −5 −2

𝑥1 − 1 5 2

Sehingga didapatkan 𝑥1 = , 𝑦1 = −7, dan 𝑧1 = −9/2, maka titik kutubnya adalah P(5/2, -7, -9/2).

Bidang Kutub di Lapang Tak Hingga Bola B: x2 + y2 + z2 = R2 ⟹ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + 𝑧1 𝑧 = 𝑅2 dan x1= t cos α Titik 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 berjarak t dari pusat bola O ⟹ y1= t cos β z1= t cos γ Jika P bergerak ke lapang takhingga sepanjang garis OP, maka kosinus arahnya tetap, sedang t menjadi besar tak terhingga, dalam keadaan limit,

𝑅2 lim 𝑡→~ 𝑡

𝑡 cos 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝑡 cos 𝛽 ∙ 𝑦 + 𝑡 cos 𝛾 ∙ 𝑧 = 𝑅2 ⇓ 𝑅2 lim =0 𝑡→~ 𝑡 ⇓ 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 0 Persamaan bidang kutub

= 0.

Jika a, b, c bilangan arah OP, maka persamaan menjadi: ax + by + cz = 0 Bidang inilah bidang kutub dari sebuah titik di lapang takhingga ke arah: a, b, c terhadap bola x2 + y2 + z2 = R2. Karena bidang tersebut melalui pusat O, berdiri tegaklurus pada arah a, b, c sehingga bidang ini disebut bidang diametral sekawan pada arah: a, b, c; perpotongan bidang ini dengan bola berupa sebuah lingkaran besar Bila bolanya (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 yakni bola pusat M(a, b, c) jari-jari R, maka bidang diametral dengan arah A, B, C adalah A(x – a) + B(y – b) + C(z – c) = 0.

Kuasa Titik Terhadap Bola •

Dari titik P(x1, y1, z1) di luar bola B pusat M(a,b,c) jari-jari R dapat dibuat sebarang garis potong PAB, garis singgung PQ.

•

Secara geometrik ternyata PA. PB = tetap = PQ2. Nilai yang tetap inilah yang dinamakan kuasa P terhadap bola B atau KPB.

•

Mencari nilai KPB : PQ2 = PM2 – QM2 KPB = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 + (z1 – c)2 – R2 ternyata nilai ruas kiri persamaan bola (= ruas kanan nol) setelah koordinat P(x1,y1,z1) disubstitusikan.

•

Ada tiga kemungkinan: i. KP > 0, bila P di luar bola ii. KP = 0, bila P pada bola. iii. KP < 0, bila P di dalam bola

Contoh: Tentukan kuasa P(1, 2, -1) terhadap bola: x2 + y2 + z2 – 2x + y = 7

Bidang Kuasa Dua Bola • Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua bola: B1 = 0 dan B2 = 0 berupa sebuah bidang yang dinamakan bidang kuasa. • Persamaan bidang kuasa dirumuskan dengan B1 = B2 atau B1 – B2 = 0. B1: x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0 B2: x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0

⟹

𝐵1 = 𝐵2 ⇓

x02 + y02 + z02 + A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = x02 + y02 + z02 + A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2

⇓ (A1 – A2)x0 + (B1 - B2) y0 + (C1 – C2)z0 + (D1 – D2) = 0 x0, y0, z0 jalankan akan didapat: (A1 – A2)x + (B1 - B2) y + (C1 – C2)z + (D1 – D2) = 0 Persamaan bidang kuasa dua bola

Sifat-Sifat Bidang Kuasa Dua Bola i.

Bidang kuasa tegak lurus sentral M1M2

ii. Bila B1 dan B2 saling berpotongan, maka bidang kuasanya bidang potong pesekutuan (irisan) dari kedua bola tersebut.

iii. Bila kedua bola bersinggungan, bidang kuasanya bidang singgung persekutuan di titik singgung iv. Bila kedua bola tidak berpotongan (saling asing) bidang kuasanya berada di antara kedua bola tersebut. v. Bila kedua bola sepusat, maka bidang kuasanya di lapang jauh takhingga.

Latihan: Jika diketahui B1: x2 + y2 + z2 + 3x – y + 5z – 7 = 0 dan B2: x2 + y2 + z2 – x + 2y + z + 3 = 0 Tentukan: bidang kuasa dari kedua bola tersebut!

Letak Dua Bola Misal bola B1 pusat M1 jari-jari R1, bola B2 pusat M2 jari-jari R2, ada beberapa kemungkinan letak B1 dan B2 a. Dua bola berpotongan, bila: M1M2 < R1 + R2

b. Dua bola bersinggungan: 1) di luar, bila M1M2 = R1 + R2 2) di dalam, bila M1M2 = |R1 − R2| c. Dua bola saling asing, bila: M1M2 > R1 + R2 d. Bola yang satu di dalam yang lain, bila: M1M2 > |R1 − R2|

1. Syarat Berpotongan Tegak Lurus Yang disebut sudut antara dua bola yang berpotongan adalah sudut antara dua bidang singgung di satu titik bersekutuan. Bila B1 dan B2 berpotongan tegak lurus, maka: a. M1M22 = R12 + R22 b. Kuasa M1 terhadap B2 besarnya = R12

2. Syarat Berpotongan Membagi Dua. Bila bola B1 membagi dua sama bola B2, maka: a. M1M22 = R12 − R22 b. Kuasa M2 terhadap B1 besarnya= −R22

Tentukan: Persamaan bola yang melalui (1,-3,4), memotong tegak lurus B1: x2 + y2 + z2 - 4x – 2y + 12z + 4 = 0, membagi dua sama besar B2: x2 + y2 + z2 + 2x + 8y - 4z + 14 = 0, selain itu diketahui bahwa titik (-4, -1, 0) mempunyai kuasa 13 terhadap bola tersebut!

1. Tuliskan persamaan bola yang diketahui:

Latihan Soal

a. Pusatnya di titik (-6,2,-3) dan jari-jarinya 2. b. Pusatnya di titik (2,3,2) dan menyinggung sumbu-x di titik (2,0,0). c. Pusatnya di titik (2,4,5) dan menyinggung bidang xy. d. Jika diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (-2,3,7) dan (-4,1,5). e. Jika terletak dalam kuadran pertama, berjari-jari 6 dan menyinggung bidang-bidang koordinat. f. Berpusat di titik (1,1,4) dan menyinggung bidang x + y = 12. g. Yang melalui titik-titik (3,1,-3), (-2,4,1), dan (-5,0,0) serta titik pusatnya terletak pada bidang

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0. h. Berjari-jari 3 dan menyinggung bidang 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 3 = 0 di titik (1,1,3). 2. Tentukan persamaan bola-bola yang saling bersinggungan ketika titik pusat kedua bola tersebut secara berturut-turut adalah (-3,1,2) dan (5,-3,6) dan jari-jarinya sama. 3. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola 𝑥 − 3 bidang 4𝑥 + 3𝑧 − 17 = 0.

2

+ 𝑦+2

2

+ 𝑧−1

2

= 25 yang sejajar dengan...