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LECTURA TABLAS ESTADÍSTICAS TABLA NORMAL ESTÁNDAR La ley normal es la distribución de probabilidad normal de parámetros  = 0 y  = 1. Se muestra a continuación la tabulación de las puntuaciones z de 0.00 hasta 3.89 con seis cifras decimales para la variable normal estándar Z. El cuerpo de la tabla proporciona la probabilidad del evento [Z ≤ z] ≡ [Z < z] como lo ilustra el diagrama en la parte superior de la tabla. En el recuadro al costado del diagrama, se indica:  El cálculo de la probabilidad para evento de tipo [Z ≥ z] ≡ [Z > z],  El cálculo de la probabilidad para una puntuación negativa,  El cálculo de la probabilidad para un intervalo (a, b). De esta manera, se puede calcular la probabilidad de cualquier evento con puntuación normal. Se adjunta un archivo pdf con las tablas estadísticas necesarias en Estadística Inferencial.

Lectura directa: Determinar la probabilidad de un evento de tipo [Z ≤ z0 ]

La puntuación normal z0 se expresa con dos cifras decimales, por ejemplo z0 = 0.78. La parte entera y la primera cifra decimal (0.7) determinan el renglón. La segunda cifra decimal determina la columna (0.08). La intersección de estas dos líneas determina una casilla que expresa la probabilidad del evento [Z ≤ 0.78].

Lectura indirecta: Determinar la puntuación z0 de una probabilidad dada. Observe que las probabilidades del cuerpo de la tabla van creciendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Esto permite ubicar fácilmente un valor de probabilidad en la tabla.

Si la probabilidad dada está tabulada, por ejemplo 0.673645. Se ubica la casilla correspondiente a dicha probabilidad. Luego su renglón (0.4) y su columna (5)en centésimo determinan la puntuación buscada : 0.4 + 0.05 = 0.45.

Así se tiene que Pr(Z ≤ 0.45) = 0.673645. Si la probabilidad dada no está tabulada, por ejemplo 0.671364. Se busca las dos probabilidades más cercanas por defecto y por exceso; éstas son consecutivas. En nuestro ejemplo son 0.670031 (por defecto) y 0.673645 (por exceso) pues se tiene: 0.670031 ≤ 0.671364 < 0.673645

Luego se determina la probabilidad tabulada la más cercana a la probabilidad dada:  1 = 0.671364 − 0.670031 = 0.001333  2 = 0.673645 − 0.671364 = 0.002281 La diferencia 1 es menor que la diferencia 2 . Por tanto una aproximación de la probabilidad dada 0.671364 es la probabilidad tabulada 0.670031, la cual corresponde a la puntuación normal z = 0.44 dando la solución al problema. PARA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL CUALQUIERA Si X es una variable normal de parámetro  y , no se puede utilizar la tabla normal. Primero se tiene que estandarizar la variable, es decir calcular la puntuación normal asociada. La X−

estandarización se efectúa del siguiente modo Z =  . Luego se puede utilizar la tabla normal. Ejemplo: Sea X~N(7,3) una variable normal usual. Para determinar la probabilidad Pr(X < 9) se hace lo 9−7 X−7 siguiente: Pr(X < 9) = Pr ( 3 < 3 ) = Pr(Z < 0.67) donde 0.67 es el redondeo de 2/3. En la tabla se halla una probabilidad de 0.748571.

El problema inverso sería determinar el valor x de la variable normal usual para una probabilidad dada.

Ejemplo: Con la misma variable normal usual X, determine el valor tope x para la probabilidad 0.770350 Se ubica en el cuerpo de la tabla el valor de la probabilidad (o su mejor aproximación). Esta ubicación es el cruce de un renglón y de una columna los cuales determinan la puntuación normal. En el ejemplo, se tiene z = 0.74.

Mediante la transformación para estandar izar una variable se obtiene el valor buscado: x− 7 = 0.74 3 Se resuelve esta ecuación lineal: x − 7 = 3 × 0.74 = 2.22, x = 7 + 2.22 = 9.22. La respuesta al problema es entonces x = 9.22. TABLAS DERIVADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR Las leyes derivadas de la normal estándar utilizadas en Inferencia Estadística son:  La ley t de Student que se utiliza para muestras pequeñas (tamaño inferior a 30) en lugar de la normal.  La ley chi cuadrado para evaluar sea la distancia entre dos distribuciones, sea la varianza poblacional a partir de una muestra.  La ley F de Fisher-Snedecor para evaluar la razón de dos varianzas muestrales reducidas por sus respectivos grados de libertad.

Estas tablas son diferentes de la tabla normal y se utilizan únicamente en Inferencia Estadística. Para la chi cuadrado y la t de Student, el primer renglón indica las probabilidades (nivel de significación de los contrastes) y la primera columna indica los grados de libertad de la variable. La intersección de un renglón con una columna indica la puntuación correspondiente la que se va comparar con la puntuación calculada en el proceso inferencial. En cuanto a la tabla F de Fisher-Snedecor, el nivel de significación  se indica en la cabecera de la tabla (en el ejemplo,  = 0.05 o 5%. El primer renglón indica los grados de libertad del numerador y la primera columna los grados de libertad del denominador de la razón de las varianzas reducidas aludidas en el proceso inferencial (ver análisis de varianzas). La intersección de estas dos líneas proporciona la puntuación F teórica que se comparará con la puntuación calculada a partir de las muestras. EJERCICIOS 1. Sea X con distribución N(10, 25). Calcule a. Pr(X ≥ 10). b. Pr(X < 0). c. Pr(0 < X ≤ 10). d. Pr(X ≥ 20). e. Pr(−20 < X < 10). 2. Encontrar la puntuación normal para la probabilidad 0.8666. 3. Una máquina automática despachadora de refresco en un restaurante está ajustada para llenar vasos de 300 ml en promedio. Debido a cuestiones mecánicas, el llenado de los vasos no es enteramente exacto y hay pequeñas fluctuaciones en el llenado. El fabricante de la máquina sabe que el llenado de los vasos se puede modelar como una variable aleatoria normal con media 300 ml y desviación estándar  = 10 ml. a. ¿Qué fracción de los vasos serán servidos con más de 310 ml? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso sea servido entre 290 y 305 ml? c. Si el restaurante utiliza vasos de 320 ml ¿qué porcentaje de ellos se derramarán? d. Si los clientes reclaman por vasos servidos con 270 ml o menos, de mil clientes, ¿cuántos de ellos reclamarán? 4. Determine las puntuaciones chi cuadrado a. 221,0.05 (los subíndices indican los grados de libertad (21) y el nivel de significancia ( = 5%)) 2 b. 11,0.005 c. 215,0.025 d. 231,0.10 2 e. 8,0.975

5. Determine las puntuaciones student a. t 21,0.05 b. t 31,0.02 c. t 23,0.005 d. t 17,0.01 e. t 13,0.002 6. Determine las puntuaciones F de Fisher-Snedecor a. F17,27,0.05 (21 grados de libertad en el numerador, 27 grados de libertad en el denominador y un nivel de significancia  = 5%). b. t 15,30,0.05 c. t 25,3,0.05 d. t 27,3,0.05 e. t 19,6,0.05...