Ley de Coulomb - RESUMEN PDF

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1.1 Ley de Coulomb. La Ley de Coulomb dice que "la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario". Coulomb fue el primero que estudio las fuerzas eléctricas, y llegó a la conclusión: La fuerza de repulsión o atracción de dos cuerpos con carga eléctrica disminuía con el cuadrado de las distancia. Esta fuerza, defendía de la cantidad de carga eléctrica de los cuerpos y del medio donde se encontraban. La fuerza con que se repelen o atraen dos cargas en reposo es igual al producto de las cargas dividido entre el cuadrado de la distancia que hay entre ellas, todo multiplicado por la constante del medio en que se encuentre.

F es el valor de la repulsión o atracción de las dos cargas. Su unidad es el newton (N). K es la constante variable del medio. Si se trata del vacío. q son las cargas que interactúan. Se miden en culombios (C) d se refiere a la distancia entre las q. Su unidad es el metro (m).

F=k q1 q2/r2 Donde q1 y q2 representan las cargas de cada uno de los cuerpos, r es la distancia que los separa es la constante de proporcionalidad y tiene un valor igual a k=8.99x10Nm/C2. Permitividad Consiste física que describe como un campo eléctrico afecta y es afectado por el medio. Carga puntual Carga eléctrica hipotética de magnitud finita contenida en un punto geométrico y carente de dimensión.

Diagrama de cuerpo libre Representación gráfica para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre.

Ejemplos: Problema 1.- Una carga de 3×10^-6 C se encuentra 2 m de una carga de -8×10^6 C, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de atracción entre las cargas?

Solución: Para darle solución al ejercicio, debemos de obtener los datos para poder resolverlo de manera directa, puesto que tenemos todo lo que necesitamos.

Aplicando la fórmula de la ley de coulomb

Sustituimos

Hemos multiplicado las cargas eléctricas, recordar que los exponentes se suman. y hemos elevado al cuadrado la distancia que los separa, ahora seguimos con las operaciones. Multiplicamos y obtenemos:

Vemos que hay un signo negativo, por ahora no nos sirve interpretar el signo, puesto que el problema nos pide la magnitud de la fuerza, esto quiere decir que tomaremos la fuerza como un valor absoluto, que vendría a ser nuestro resultado.

Problema 2.- Una carga de -5×10^-7 C ejerce una fuerza a otra carga de 0.237 N a una distancia de 3.5 metros, ¿cuál es el valor de la segunda carga?

Solución: En este caso, tenemos una incógnita diferente al primer ejercicio, puesto que ahora nos piden hallar el valor de la segunda carga, esto lo haremos despejando en nuestra fórmula, asumiendo lo siguiente:

? Despejaremos la primera fórmula, para obtener

Ahora vamos a sustituir nuestros datos

Que sería el valor de la segunda carga, para poder cumplir con los datos propuestos por el problema. Veamos ahora otro ejemplo, en este caso nuestra incógnita será la distancia. Problema 3.- Dos cargas con 2.8×10^-6 C y 7.5×10^-6 C respectivamente se atraen con una fuerza de 10N, ¿A qué distancia se encuentran separadas?

Solución: El problema es sencillo de resolver, ahora veamos los datos que tenemos:

? Ahora tendremos que despejar, nuevamente la fórmula de la ley de coulumb.

Ahora tenemos que sustituir nuestros datos

Por lo que nuestro resultado es de .1374 metros de distancia entre las cargas, para un efecto de 10 Newtons.

1.2 Campo Eléctrico. El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de:

-

Módulo

-

Dirección radial

-

Sentido hacia afuera, si la carga es positiva, y hacia adentro, si la carga es negativa.

El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale:

Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.

En la figura se representan las líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.

Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.

El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es:

Y las componentes del campo total son:

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es:

El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

1.3 Movimiento de cargas en campos eléctricos. Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico



Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo



Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo

Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia

De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo La energía potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.

El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas. En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra.

1.5 Ley de Gauss para el campo eléctrico. La primera ecuación de Maxwell se denomina Ley de Gauss para el campo eléctrico. De esta relación se pueden deducir todos los fenómenos conocidos sobre el comportamiento de cargas eléctricas en reposo en el espacio libre. Para integrar los casos eléctricos en medios materiales se debe realizar una modificación que no altera el principio físico de la ley de Gauss (tema que será discutido en la sección de electrostática).

En ella se resume que el flujo de campo eléctrico, para una superficie cerrada (volumen arbitrario), es proporcional a la carga eléctrica total encerrada (interna) en ese volumen. Las cargas externas al volumen seleccionado, no aportan flujo (esto se puede demostrar).

La ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes, las cargas La ley de Gauss nos permite calcular de una forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de cargas con simetría esférica o cilíndrica. 1.Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10-5/π C/m3. Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r5) de la esfera cargada. Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.

Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo constante en todos los puntos de una superficie esfér concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es ∮ E · d S = ∮ E · d S · cos 0 = E ∮ d S = E · 4 π r 2 Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss ∮ E·dS= q ε 0

E= q 4π ε 0 r 2

Para r5 cm q = 1.2 · 10 − 5 π 4 3 π ( 0.05 ) 3 = 2 · 10 − 9 E = 18 r 2 N/C

Gráfica del campo

Potencial V= ∫ 0 ∞ E·dr= ∫ 0 0.05 144 000 r·dr + ∫ 0.05 ∞ 18 r 2 ·dr =540 V

2. Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3. Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo. Distribución de carga con simetría cilíndrica.

El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es

∮ E·dS={ superficie lateral E·dS =0

∫ E·dS = ∫ E·dS·cos0=E ∫ dS=E·2πrL base inferior

E⊥ S 2 base superior

∫ E·dS =0

E⊥ S 1

∫

∮ E·dS= E·2πrL

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss ∮ E·dS= q ε 0

E= q 2π ε 0 rL Para r5 cm q = 4 · 10 − 6 π ( 0.05 ) 2 L = π · 10 − 8 L E = 180 π r N/C

Gráfica del campo

Diferencia de potencial V 0 − V 15 = ∫ 0 0.15 E·dr = ∫ 0 0.05 72 000 πr·dr + ∫ 0.05 0.15 180π r ·dr =90π(1+2 ln3) V 3. Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de o =2/π 10-9 C/m2. Calcular el módulo del campo eléctrico. Hallar la diferencia de potencial entre la placa y un punto situado a 8 cm de dicho placa Distribución de carga con simetría plana. El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es ∮ E·dS={ superficie lateral S base derecha

∫ E·dS =0

∫ E·dS =E· S 2 =ES

E⊥dS base izquierda

∫ E·dS =E· S 1 =E

∮ E·dS= 2E·S

Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss ∮ E·dS= q ε 0

E= q 2S ε 0

Es la carga que hay en la porción de placa de área S marcada en color rojo es q=σ·S E= σ ε 0 =72 N/C Gráfica del campo

Diferencia de potencial V 0 − V 8 = ∫ 0 0.08 E·dr = ∫ 0 0.08 72 ·dr =5.76 V 4. Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3. Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano. Distribución de carga con simetría plana. El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.

El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es ∮ E·dS={ superficie lateral S base derecha

∫ E·dS =0

∫ E·dS =E· S 2 =ES

E⊥dS base izquierda

∫ E·dS =E· S 1 =E

∮ E·dS= 2E·S

Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss ∮ E·dS= q ε 0 Para x>d

E= q 2S ε 0

La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2d marcada en color rojo es q=ρ(2d)S E= ρd ε 0 =7.2π N/C

Para x...