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Límites Por: Oliverio Ramírez y Felipe de la Rosa

Concepto informal de límites

Un ama de casa acostumbra comprar detergente líquido en un tianguis cercano para las necesidades semanales de su hogar. Las últimas siete semanas ha comprado diferentes cantidades de acuerdo a su presupuesto, tal como se muestra en la tabla 1.

Figura 1. Laundry Bottle Isolated Stock Photo ( vectorolie & freedigitalphotos, 2013). .

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Gasto (en pesos) 30 34 37 38 42 46 50 40

Volumen (en litros) 2.25 2.89 3.42 3.61 4.41 5.29 6.25 ¿?

Tabla 1. Valores de gasto y volumen por semana.

Si en la semana 8, el ama de casa cuenta con 40 pesos para comprar detergente, ¿cuántos litros aproximadamente crees que alcanzará a comprar? Para responder la pregunta:

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Observa los valores de la tabla 1 e identifica la tendencia que existe en las cantidades mostradas. Si miras con detenimiento, es posible notar que entre más nos acercamos a la cantidad de 40 pesos, también nos aproximamos al volumen de cuatro litros. Esta idea básica de tendencia es la base fundamental para poder comprender el concepto de límite.

Al representar gráficamente la información de la tabla 1, podemos notar que:

Figura 2. Comportamiento del gasto vs volumen.

Al acercarnos al valor de $40.00: • •

Desde la izquierda (→) vemos que los valores de la función empiezan a incrementarse hasta aproximarse a 4. Al acercarnos al valor de $40.00 desde la derecha (←) vemos que los valores de la función empiezan a disminuir hasta aproximarse también a 4.

Es entonces que decimos que el límite del volumen de detergente cuando el gasto tiende (se aproxima) a 40 pesos es 4 litros.

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Notación matemática de límites Antes de conocer el concepto formal de límite, resulta necesario estudiar los diferentes símbolos matemáticos que se utilizan para expresar límites de funciones matemáticas, para lo que utilizaremos la notación sugerida por Oyteza, Lam, Hernández y Carrillo (2006).

Al evaluar el límite de una función desde la derecha (←) de la recta numérica, utilizamos la siguiente expresión:

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎+

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L. +

En este caso, el símbolo derecha.

significa la tendencia desde la

Al evaluar el límite de una función desde la izquierda (→), utilizamos la siguiente expresión:

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎−

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L. En este caso, el símbolo izquierda.

–

implica la tendencia desde la

Con estos símbolos matemáticos es posible representar el caso de la compra de detergente de la siguiente forma: lim

𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜→40+

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 4

lim

𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜→40−

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 4

Interesante, ¿no crees?

Concepto formal de límite 3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

De forma general podemos decir que límite es el valor al que se aproxima la función f(x) al evaluarla en cantidades muy cercanas (por la derecha y por la izquierda) a una cierta constante (Purcell, Varberg y Rigdon, 2001).

Así pues para que un límite exista y pueda ser evaluado deben cumplirse dos condiciones: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎 +

𝑥→𝑎 −

En palabras sencillas, un límite existe sí y sólo sí ambos límites laterales existen y son iguales.

Ejemplo 1: Cálculo de límites usando tablas

Utilizando la información de la tabla 2, determina el valor de x

0.6

f(x)

1.6

lim f (x ) x→1

0.7

0.8

0.9

0.95

1.05

1.1

1.2

1.3

1.4

1.7

1.8

1.9

1.95

2.05

2.1

2.2

2.3

2.4

Por la izquierda

2

Por la derecha

Tabla 2. Límite de la función f(x).

Al analizar el comportamiento de los valores en la tabla 2 se observa que cuando la variable independiente x se aproxima a 1 por la izquierda (0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95…), la función f(x) toma valores (1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.95) que se aproximan a 2. Con base en los valores de la tabla 2 es posible establecer que:

2 De la misma forma se observa que cuando la variable independiente x se aproxima a 1 por la derecha (1.4, 1.3, 1.2, 1.1 1.05…), la función f(x) toma valores (2.4, 2.3, 2.2, 2.1, 2.05) que se aproximan también a 2. Con base en los valores de la tabla, es posible establecer que:

4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

lim f (x)

2

x®1

Debido a que ambos límites existen y son iguales, se puede concluir que el límite bilateral (por ambos lados) es:

lim f (x)

2

x®1

Esto es, el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 2. Nota que en este ejemplo la función f(x) se representó mediante una tabla de valores, pero también se puede hacer mediante una gráfica o de manera algebraica. En algunos casos, ciertos fenómenos o situaciones tienen comportamientos definidos sólo en intervalos particulares, pero se comportan de manera distinta en otro intervalo de su dominio, por ejemplo:

Imagina un automóvil que parte del reposo e incrementa su velocidad hasta alcanzar los 100 km/h pero al llegar a esta cota de velocidad el conductor decide mantener la velocidad constante. Este comportamiento se puede representarse mediante la siguiente función:

Figura 3. Senior Woman Driving A Car On Highway Stock Photo (Toa55 & freedigitalphotos, 2011).

Función

Gráfica 𝟏𝟎𝒙 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 10

𝑓(𝑥)= 𝟏𝟎𝟎

para 𝑥 > 10

Tabla 3. Función seccionada.

Observa que para representar la rampa azul (instantes en los que el conductor aumenta su velocidad de manera gradual) f(x) = 10x, pero esto sólo es válido para valores de x en el intervalo [0, 10], que en la

5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

función se representó usando el signo ≤. Luego, en el instante en el que el conductor alcanzó la velocidad de 100 km/h y mantuvo constante su velocidad (línea en verde) f(x) = 100, válido para valores de x mayores a 10. A este tipo de funciones que se representan por secciones en concordancia con intervalos particulares de su dominio se le conoce como funciones seccionadas. En el ejemplo 2, utilizamos una función seccionada para ejemplificar el cálculo de límites mediante el análisis de la gráfica de la función.

Ejemplo 2: Cálculo de límites usando gráficas Considerando la siguiente función seccionada y su gráfica, determina el límite cuando x tiende a los valores: a) x = - 3, b) x = 9 y c) x = 12

x2 20

x9

x 3

9≤𝑥

F (x) =

Figura 4. Función seccionada x2/20 y x/3.

Antes de empezar a calcular los límites es conveniente observar que la función f (x) está compuesta por dos funciones matemáticas diferentes: una parábola y una línea recta que se evalúan de acuerdo al valor que toma la variable independiente x. Si la variable x toma valores menores que 9 6 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

2

(representados en la función por x  9 ), utilizamos la ecuación de la parábola f(x) = x / 20 ; si toma valores mayores o iguales a 9 (representados en la función por 9  x ), usamos f(x) = x / 3 .

a)

lim f (x) x® 3

2 Para evaluar el límite cuando x = -3 debemos utilizar la ecuación de la parábola (x / 20 ).

Observa el gráfico en x = -3. ¿Cuál consideras que es el valor del límite? Utilizando la gráfica podríamos decir que su valor se aproxima a 0.5, ya que su límite por la derecha y por la izquierda tiende a ese valor. Sin embargo, al comprobarlo con la información que se presenta en la tabla 4, resulta lo siguiente:

x

-2.8

-2.9

-2.99

f(x)

0.392

0.4205

0.447005 0.453005

Por la izquierda

-3.01

0.45

-3.1

-3.2

0.4805

0.512

Por la derecha

Tabla 4 Límite de la función f(x).

Se puede apreciar que el límite de la función desde la izquierda se aproxima al valor de f(x) = 0.45, por lo que escribimos:

7 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

lim f (x)

0.45

x®1

Al observar la tabla vemos que el límite de la función desde la derecha se aproxima al valor de f(x) = 2, por lo que escribimos:

lim f ( x) = 0.45 x →1 +

Ambos límites existen y son iguales, por lo que de acuerdo con la definición de límite:

lim f (x)

0.45

x®1

Con esto concluimos que el límite cuando f(x) tiende a 1, es igual a 0.45 b)

lim f (x) x®9

El valor x = 9 es un muy importante en la gráfica, ya que en él se da el cambio entre las funciones de la recta y la parábola. Al evaluar los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) tenemos que 2 utilizar dos ecuaciones diferentes: (x / 20 ) para los valores menores a 9, y ( x / 3 ) para los valores mayores a 9. Analiza la figura 5:

Figura 5. Función seccionada x2/20 y x/3 cuando tiende a 9.

x

8.8

8.9

8.99

9.01

9.1

9.2

8 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

f(x)

3.872

3.961

4.041

3.003

Por la izquierda

3.033

¿?

3.067

Por la derecha

Tabla 5. Límite de la función f(x).

Al observar la información de la tabla 5, vemos que el límite de la función desde la izquierda se aproxima al valor de f(x) = 4.1, por lo que escribimos:

lim f (x)

4.1

x®9

Al observar la información de la tabla 5 vemos que el límite de la función desde la derecha se aproxima al valor de f(x) = 3, por lo que escribimos:

lim f ( x) = 3.0 x→9 +

Ambos límites existen, pero no son iguales, por lo que de acuerdo con la definición de límite:

lim f (x)

no existe

x®9

Concluimos que el límite, cuando f(x) tiende a 9, no existe.

c)

lim f (x) x®12

Con ayuda de la figura 5 y el uso de tablas, calcula el límite cuando x tiende a 12. Verifica tu respuesta al final de la lectura. Este ejemplo muestra que utilizar la gráfica de una función para calcular un límite tiene la ventaja de que se realiza con simplemente observar la gráfica, su desventaja es que cuando los valores del límite no son enteros, el método no es muy exacto. Por otro lado, aunque las tablas tal vez no sean el método más rápido, ayudan a comprender el comportamiento de la función. La ayuda de algún graficador especial (el cual puedes descargar de Internet, ya que existen varios que son gratuitos como graphmatica y wplotsp) puede facilitarte el análisis de cualquier tipo de funciones. Pide a tu Asesor que te recomiende alguno.

Teoremas de límites

9 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

La labor de evaluar límites puede ser una actividad muy laboriosa si se realiza utilizando solamente tablas de valores o gráficas; sin embargo, existen teoremas sobre límites que facilitan su cálculo, (Fuenlabrada, 2001). En la tabla 6 se muestra los teoremas sobre límites y un ejemplo de su aplicación. En los diferentes teoremas, c y a representan una constante.

Tabla 6. Teorema sobre límites

Ejemplo 3: Límite Calcula el siguiente límite utilizando los teoremas de la tabla 6.

x2 4 lim 2x 2 x®3 Solución:

x2

lim 2x x®3

4 2

æ öæ ö çè limx÷ø çè limx ÷ø x®3 x®3 æ öæ ö çè lim2÷ø çè limx÷ø x®3 x®3

lim 4 x®3

lim 2

3 3 2 3

4 2

9 4 6 2

13 8

x®3

Ejemplo 4: Límite 10 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Calcula el siguiente límite utilizando los teoremas.

lim3x

2

4x 4

x® 2

Solución:

lim3x

2

x® 2

lim3x

2

4x 4 æç lim3ö÷ æç limx÷ö æçlimx ÷ö æç lim4ö÷ æç limxö÷ æç lim 4÷ö è x® 2 ø è x® 2 ø è x® 2 ø è x® 2 ø è x® 2 ø è x® 2 ø

4x 4

3

2

2

4

2

4

(3)(4)

( 8) 4 12 8 4 2

x® 2

La utilización de estos teoremas reduce, en gran medida, los cálculos y las operaciones necesarias para el cálculo de límites; sin embargo, pueden simplificarse más, si consideramos el siguiente teorema de Smith y Minton. Para cualquier polinomio p(x) y cualquier número real a lim𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑎) 𝑥→𝑎

Algunos autores llaman a este teorema sustitución directa y lo que quieren decir es que si queremos calcular el límite de un polinomio, todo lo que tenemos que hacer es sustituir directamente el valor en la función que estamos evaluando. Para comprender mejor esta afirmación considera los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5: Límite Calcula: lim 𝑥 2 − 5 𝑥→5

Para evaluar el límite sólo es necesario sustituir el valor en la ecuación: lim 𝑥 2 − 5 = (5)2 − 5 = 20 𝑥→5

Ejemplo 6: Límite Calcula: 11 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

lim 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 6

𝑥→−2

Para evaluar el límite sólo es necesario sustituir el valor en la ecuación: lim 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 3(−2)3 − (−2)2 + (−2) − 6 =3(−8) − (4) − 2 − 6 𝑥→−2

=-24-4-2-6=-36

Ejemplo 7: Límite Calcula:

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥+1 𝑥→3

lim

Para evaluar el límite sólo es necesario sustituir el valor en la ecuación: 𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥+1 𝑥→3

lim

=

(3)2 +2(3)+1 3+1

=

9+6+1 4

=

16 4

=4

En los ejemplos anteriores, al aplicar la sustitución directa, es importante no perder de vista que la existencia de un límite para un cierto valor de a no implica la existencia de f(a). Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8: Límite Calcula el límite: 𝑥 2 −16 𝑥→−4 𝑥+4

lim

Solución: Al sustituir x = -4 en la función, obtenemos: ¿Qué opinas del resultado obtenido? En los números reales, la división por 0 (cero) no está permitida, por lo que aparentemente este límite no existe. Sin embargo, siempre que al calcular un límite mediante sustitución directa se encuentre un resultado no válido en los números reales (como división por cero o alguna raíz par de números negativos) es conveniente utilizar algún artificio algebraico para evitar la indeterminación. Para este ejemplo, antes de la sustitución factoricemos el numerador: lim

𝑥→−4

𝑥 2 − 16 𝑥+4

= lim

𝑥→−4

(𝑥 − 4)(𝑥 + 4) 𝑥+4

= lim 𝑥 − 4 𝑥→−4

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Ahora que se eliminó el denominador, sustituimos x = -4 y se obtiene: lim 𝑥 − 4 = −4 − 4 = −8

𝑥→−4

...