Linea de carga - electrostatica: calculo da campo electrico por una unidad de longitud constante PDF

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electrostatica: calculo da campo electrico por una unidad de longitud constante...

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ELECTROSTÁTICA

aletos

CAMPO

Física para Ciencias e Ingeniería

1

ELÉCTRICO

Calcúlese el campo eléctrico en un punto situado a una distancia r de una línea de carga positiva, de longitud infinita, cuya carga por unidad de longitud, λ, es constante. SOLUCIÓN: Supongamos que la línea de carga se encuentra situada lo largo del eje OX, y deseamos calcular el campo eléctrico en un punto P, situado a una distancia r de la línea de carga. Si tomamos un elemento de longitud infintesimal, dx, a una distancia x del origen, la carga que contiene dq = λ dx puede considerarse que es una carga prácticamente puntual, y, por tanto, crea en el punto P un campo dE cuya dirección es la de la recta que une el elemento de carga dx con el punto P, y su sentido es tal que se aleja de la carga, por ser ésta positiva. Puesto que la línea de carga sea infinita, podemos asociar a cada elemento de carga su simétrico respecto del pie de la perpendicular trazada por el punto P a la línea de carga. Debido a la simetría de la figura, los módulos de los campos creados por dichos elementos son iguales. Si descomponemos cada campo en sus componentes paralelas a la línea de carga, y en la dirección perpendicular a la misma, las componentes horizontales del campo se anulan. El campo resultante es la suma vectorial de las componentes verticales, de modo que la dirección del campo será en todo punto

dE

dE

r x

dx

O

dx

x

perpendicular a la línea de carga, es decir, radial, y su módulo, en todos los puntos situados a una misma distancia r de la línea de carga, será el mismo. De forma que existe una simetría axial, cuyo eje es la línea de carga. En estas condiciones podemos aplicar el teorema de Gauss a una superficie cilíndrica cerrada de radio r y longitud arbitraria L, cuyo eje sea la línea de carga. Vamos a calcular el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie   Φ= daL ∫ E da S

y aplicaremos después el teorema de Gauss. La superficie gaussiana S, a la que está extendida la integral del flujo, es la superficie total del cilindro de radio r, que, evidentemente, está formada por las superficies de las bases S1 y S2 y por la superfice lateral SL.

da2

r S1

S2

da1

S = S1 +S2 + SL

SL

Estas superficies no se encuentran en las mismas condiciones físicas respecto del campo eléctrico.

L

De modo que, como la integral definida tiene propiedad aditiva respecto del dominio de integración, se puede descomponer en la suma:         ∫ Eda = ∫ E 1da1 + ∫ E 2da 2 + ∫ E Lda L S

S1

S2

SL

donde E1, E2 y EL representan los campos electrostáticos existentes en puntos de las bases S 1, S2 y en la superficie lateral SL, y da1, da2 y daL, vectores normales a elementos de área de las mencionadas superficies, respectivamente. Debido a la simetría axial de la figura los vectores que representan cualquier elemento de área de las bases S1 y S2, tales como da1 y da2, son perpendiculares a los vectores campo en dichos elementos. Y el vector que representa a cualquier elemento de área daL de la superficie lateral, es de igual dirección y de sentido que el vector campo existente en dicho elemento. Por consiguiente, la expresión del flujo a través de la superficie S es: Φ=

∫ Eda = ∫ E da + ∫ E da + ∫ E da 1

S

S1

1

2

S2

2

L

SL

L

=

∫ E da 1

S1

1

cos90º+ ∫ E2da 2 cos90º+ ∫ EL daL cos0º = S2

SL

∫E SL

L

daL

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y debido a la simetría axial del sistema, el módulo EL del campo en to dos los puntos de la superficie lateral gaussiana es constante, por consiguiente: Φ=

∫ E da L

L

= EL ∫ daL = E L 2 πrL SL

SL

Y por otra parte, según el teorema de Gauss, el flujo Φ a través de la superficie S, es,

Φ=

1 1 Σq = λ L ε0 i ε0

Igualando los segundos miembros de las expresiones anteriores del flujo, simplificando y despejando EL

EL =

λ 2πε0r...