Lista 2 - Modulo 2 - Com resposta PDF

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Lista de Exercícios de Introdução a Álgebra Linear, com resposta. UnB...

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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica

´ Introdu¸ca ˜o a ` Algebra Linear M´ odulo 2 - Gabaritos - Lista 2

2o /2015

Aten¸c˜ ao: na quest˜ ao 1, decida se cada item ´e certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espa¸co ao lado do item e justificando a sua resposta.

1) Considere os subespa¸cos S1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; 7x − 2y + 3z = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −3x + y + 2z = 0} que correspondem aos planos ilustrados na figura abaixo. C E

a) O conjunto {(2, 2, −3), (1, −3, 0)} ´e base para S2 .

C E

b) S1 ´e gerado pelos vetores (2, 7, 0) e (0, 3, 2).

C E

c) Para todo u e v em S1 ∪ S2 , tem-se que u + v ∈ S1 ∪ S2 .

C E

d) A interse¸c˜ao dos planos ´e um subespa¸co de R3 de dimens˜ao 1.

C E

e) S1 ∩ S2 = ger {(−7, −23, 1)}.

S1

S2

2) Dado um polinˆomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d ∈ P3 (R), a derivada de p(x) ´e dado pelo polinˆomio p′ (x) = 3ax2 + 2bx + c. Definimos tamb´em a derivada segunda p′′(x) e a derivada terceira p′′′(x) do polinˆomio p(x) pelas igualdades p′′ (x) = 6ax + 2b e p′′′(x) = 6a. Sejam q(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 2, α ∈ R e as bases B = {1, x − α, (x − α)2 , (x − α)3 } e C = {1, x, x2 , x3 } de P3 (R). Encontrar o polinˆomio de Taylor de q(x) ´e equivalente a escrever q(x) como combina¸c˜ao linear dos elementos da base B . a) Calcule as derivadas q ′ (α), q ′′(α) e q ′′′ (α). Resposta: q ′ (α) = 6α2 + 4α + 2, q ′′ (α) = 12α + 4, q ′′′ (α) = 12.

b) Calcule [1]C , [(x − α)]C , [(x − α)2 ]C e [(x − α)3 ]C .  t  t  t Resposta: [1]C = 1 0 0 0 , [(x−α)]C = −α 1 0 0 , [(x−α)2 ]C = α2 −2α 1 0 ,  t [(x − α)3 ]C = −α3 3α2 −3α 1 .

c) Encontre a matriz mudan¸ca de base PCB. Resposta:



1 0 0 0

−α 1 0 0

α2 −2α 1 0



−α3 3α2  . −3α 1

d) Use o item anterior para obter [q(x)]B .  t Resposta: [q(x)]B = 2 + 2α + 2α2 + 2α3 2 + 4α + 6α2 2 + 6α 2 .

e) Lembrando que, para n ∈ N, n! denota o produto n(n − 1) · · · 3.2.1, verifique que o ′ ′′ ′′′ polinˆomio de Taylor de q(x) ´e q(α) + q 1!(α) (x − α) + q 2!(α) (x − α)2 + q 3!(α)(x − α)3 . Resposta: Pelos itens a) e d), q(x) = (2 + 2α + 2α2 + 2α3 ) + (2 + 4α + 6α2 )(x − α) + (2 + q ′′ (α) q ′′′ (α) q ′ (α) 6α)(x − α)2 + 2(x − α)3 = q(α) + 1! (x − α) + 2! (x − α)2 + 3! (x − α)3 . ´ Linear Introdu¸ca˜o `a Algebra

M´ odulo 2 - Gabaritos - Lista 2

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3) Dizemos que um polinˆomio P (x) ∈ P3 (R) ´e par se a fun¸c˜ao polinomial P : R → R ´e par, ou seja, quando P (x) = P (−x) para todo x ∈ R. Por outro lado, dizemos que P (x) ´e ´ımpar se a fun¸c˜ao polinomial P satisfaz a igualdade −P (x) = P (−x) para todo x ∈ R. Considere os polinˆomios f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 , p(x) = (f (x) + f (−x))/2, i(x) = (f (x) − f (−x))/2 e os conjuntos W1 = {f (x) ∈ P3 (R) : f ´e par} e W2 = {f (x) ∈ P3 (R) : f ´e ´ımpar}. a) Encontre condi¸c˜oes para que f seja um polinˆomio par e para que g seja um polinˆomio ´ımpar. Resposta: a1 = a3 = 0 e b0 = b2 = 0.

b) Verifique que W1 ∩ W2 = {0P3 (R) }. Resposta: Se p ∈ W1 ∩ W2 ent˜ao pelo item anteior, a1 = a3 = 0 = a0 = a2 .

c) Mostre que p(x) ´e um polinˆomio par e que i(x) ´e ´ımpar. Resposta: De fato p(x) = p(−x) e i(−x) = −i(x).

d) Mostre que os conjuntos W1 e W2 s˜ ao subespa¸cos de P3 (R) e calcule dim(W1 + W2 ). Resposta: Esses conjuntos s˜ao n˜ao vazios, fechados para a soma e fechados para multiplica¸c˜ao. Al´em disso, dim(W1 + W2 ) = 4.

e) Use o item c) para concluir que todo polinˆomio em P3 (R) pode ser escrito como uma soma entre um polinˆ omio par e um polinˆomio ´ımpar. Em seguida, justifique se ´e poss´ıvel obter essa mesma conclus˜ ao atrav´es do que foi encontrado no item d). Resposta: Pelo item c), para um polinˆomio qualquer f, f = p + q, ou seja, todo polinˆomio ´e soma de um polinˆomio par com um ´ımpar. A mesma conclus˜ ao ´e obtida pelo item d) porque dim(W1 + W2 ) = dim P3 (R), o que implica que P3 (R) = W1 + W2 .

4) Para t1 , t2 , t3 ∈ R, onde ti 6= 0 para todo i ∈ {1, 2, 3} e ti 6= tj quando i 6= j, considere a matriz de Vandermonde 3 × 3 definida por   1 t1 t21 V (t1 , t2 , t3 ) = 1 t2 t22  . 1 t3 t23 ´ poss´ıvel mostrar que V (t1 , t2 , t3 ) ´e invers´ıvel usando os subconjuntos B = {p1 (x), p2 (x), p3 (x)} E e C = {1, x, x2 } do espa¸co vetorial P2 (R) ,onde p1 (x) =

(x − t2 )(x − t3 ) , (t1 − t2 )(t1 − t3 )

p2 (x) =

(x − t1 )(x − t3 ) , (t2 − t1 )(t2 − t3 )

p3 (x) =

(x − t1 )(x − t2 ) . (t3 − t1 )(t3 − t2 )

a) Dado p(x) ∈ P2 (R), encontre a, b, c ∈ R para que a igualdade p(x) = ap1 (x) + bp2 (x) + cp3 (x) seja verdadeira para todo x ∈ R. Resposta: a = p(t1 ), b = p(t2 ), c = p(t3 ).

b) Verifique que o conjunto B ´e linearmente independente. Resposta: Para p(x) ≡ 0, a equa¸ca˜o ap1 (x) + bp2 (x) + cp3 (x) = 0 possui apenas a solu¸c˜ao a = p(t1 ) = 0, b = p(t2 ) = 0 e c = p(t3 ) = 0.

c) Use o item a) para calcular a matriz mudan¸ca de base PBC. Resposta: PBC = V (t1 , t2 , t3 ).

d) Conclua que a matriz de Vandermonde ´e invers´ıvel. Resposta: V (t1 , t2 , t3 ) = PBC e matriz mudan¸ca de base ´e sempre invers´ıvel. ´ Linear Introdu¸ca˜o `a Algebra

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