Lista 4 - Comprimento de arco PDF

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Revisão de prova da disciplina de Cálculo Integral, do Profa. Maria Lúcia. Assunto: Cálculo de comprimento de arco...

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CÁLCULO INTEGRAL E SÉRIES PROFESSORA: MARIA LÚCIA BORGES GOMES (LULA) ALUNO: UILER SANTOS

Lista 4: Comprimento de arco b

L =

∫

1 + f ´(x) 2 dx é a fórmula do comprimento do arco de y = f(x), a ≤ x ≤ b

a

Esta fórmula é deduzida a partir das aproximações do comprimento da curva pela soma de pequenos segmentos Po P 1 , P 1 P 2 , P 2 P 3 ,..,P n-1 P n tomados ao longo da curva. Note que P o =a e P n = b , e quanto maior for o numero de pontos considerado, melhor será a aproximação obtida . Simbolicamente, temos:

P3

5

4

P2 3

n

L ≅

∑ Pi Pi +1

i =0

P1

2

Exemplo 1: Calcular o comprimento de arco da x2 parábola y = , 0≤x≤1 2

Solução: Temos que f(x) =

Po 1

x2 , e portanto 2

1

2 f ´(x) =  x2  ′ = x . Daí, temos





1

b

L=

∫

2 1 + f ´(x) dx =

a

∫

2 1 + x dx =

0

Exercícios: Calcular o comprimento de arco da curva: 1) y = 5x – 2, − 2 ≤ x ≤ 2 Resp: 4 26 u.c. 3 1 2) y = 2 + x 2 2 , 0 ≤ x ≤ 3 Resp: 12 u.c. 3

(

3) y =

)

4 −x2 , 0 ≤ x ≤ 2

Resp: π u.c. (comprimento de ¼ do círculo de raio 2)

3 2

Resp:

4) y = x − 4 ,

1≤ x ≤ 4

1 x (e + e −x ), 0 ≤ x ≤ 2 2 y3 1  x =  +  de y = 1 a y = 3  3 4y 

5) y =

7) y =

(

)

1 8 10 − 13 13 u.c. 27 1 Resp: (e 2 - e -2 ) ≈ 3,63 u.c. 6) 2

Resp: 53/6 u.c.

1 − x 2 de - 1/2 ≤ x ≤ 1/2 Resp: π/3 u.c.

2...