Comprimento de Curva PDF

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Comprimento de Curva...

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Estudo Dirigido - Comprimento de Arco

I. LEMBRETE Dados P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ) , o comprimento do segmento P2 P1 ´e definido por p |P2 P1 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ).

II. ATIVIDADE Considere f uma fun¸ca˜o cont´ınua, definida no intervalo fechado [a, b] e P = {a = x0 , x1 , ..., xn = b} uma parti¸ca˜o de [a, b] . O objetivo inicial desta atividade e´ determinar, atrav´es de integral definida, o comprimento da curva y = f (x) . Para isso, observe a figura abaixo:

Como podemos escrever o comprimento do segmento Pi−1 Pi , com i = 1, . . . , n em termos de ∆x = xi − xi−1 e ∆y = yi − yi−1 ?

Determine o comprimento da curva de cor rosa como somat´orio dos comprimentos dos segmentos P1 P0 , P2 P1 , . . . , Pn Pn−1 .

Use o teorema do valor m´edio no intervalo [xi−1 xi ] , para mostrar que existe um n´ umero ′ ci ∈ [xi−1 xi ] tal que ∆y = f (ci )∆x .

Observe que, de modo an´alogo ao que vimos em Soma de Riemann, para determinarmos o comprimento L , da curva azul y = f (x) , basta fazermos n → ∞ . Logo L = lim

n→∞

n p X

1 + [f ′ (ci )]2 ∆x.

i=1

Conclua que L=

Z bp a

1 + [f ′ (x)]2 dx.

III. Exemplo O comprimento da curva y = 1 + 6x3/2 para 0 ≤ x ≤ 1 ´e dado por L=

Z 1q

1 + (9x1/2 )2 dx =

0

L=

Z

1√

1 + 81x dx =

0

 2  √ 82 82 − 1 . 243

1 81

Z

82 1

√

2  3/2  82 u du = u  ⇒ 1 243

III. Exerc´ıcios

1. Determine o comprimento da curva y = x2 , para 0 ≤ x ≤ 1 . 2. Determine o comprimento da curva y = ln(cos(x)) , para 0 ≤ x ≤ π/3 . 3. Determine o comprimento da curva y =

x3 1 + , para 1 ≤ x ≤ 2 . 3 4x

4. Usando o Teorema Z x q Fundamental do C´alculo (Parte II). Determine o comprimento da √ curva y = t − 1dt , para 1 ≤ x ≤ 16 . 1...