Longitud de arco PDF

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Longitud de Arco Antes de dar la f´ormula para la longitud de arco es preciso dar algunas definiciones previas. Curva suave Se llama curva suave a la curva que no posee puntos angulosos o c´ uspides, esto es, al moverse el vector tangente lo hace en forma continua. Con lo que que para determinar si una curva es suave en el intervalo I esta debe admitir en I una funci´on vectorial ~r (t) suave, es decir, r~′ (t) continua y r~′ (t) 6= ~0 ∀t ∈ I , salvo quiz´as en los extremos del intervalo I.

(a) curva suave

(b) curva no suave

Ejemplo 1: La h´elice dada por ~r (t) =< cos(t); sin(t); t > con 0 ≤ t ≤ 2π es una curva suave pues ~r′ (t) =< − sen(t); cos(t); 1 >6= 0~ ya que la tercer componente de ~r′ es para todo t igual a 1 y as´ı distinta de 0. Curva cerrada Diremos que una curva C dada por la funci´on vectorial ~r (t) con a ≤ t ≤ b es cerrada si ~r (a) = ~r (b)

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(c) curva cerrada

(d) curva no cerrada

Curva simple Una curva abierta C se dice simple si no se corta a si misma. M´as precisamente, una curva es simple si admite una parametrizaci´on inyectiva uno a uno, a valores distintos de t le corresponden puntos distintos sobre la curva. Si la curva fuese cerrada en el intervalo a ≤ t ≤ b, entonces una curva es simple si admite una parametrizaci´on inyectiva, para todo t en el intervalo abierto (a; b).

(e) curva simple

(f) curva no simple

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Longitud de arco Sea la curva simple C dada por la ecuaci´on vectorial ~r(t) =< f (t), g (t), h(t) > , con a ≤ t ≤ b , o de manera equivalente por las ecuaciones param´etricas x = f (t), y = g(t), z = h(t) , a ≤ t ≤ b . Si C es suave salvo quiz´as en los ~ en a < t < b , extremos, es decir, f ′ (t), g ′ (t), h′ (t) son continuas y r~′ (t) 6= 0, entonces tiene una longitud y esta longitud esta dada por L=

Z bp

(f ′ (t)2

+

(g ′ (t))2

+

(h′ (t))2 dt

a

=

Z

a

bp

(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.

Para hallar la longitud de la curva C definida por la funci´on vectorial ~r (t) =< f (t), g (t), h(t) > , o por las ecuaciones param´etricas x = f (t), y = g(t), z = h(t) con a ≤ t ≤ b consideremos una partici´on del intervalo I dada por P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} esta partici´on produce un partici´on de la curva C en subarcos y una poligonal inscripta en C (ver Fig. 1) con extremos Pi (xi ; yi ; zi ) , donde xi = f (ti ), yi = g(ti ), zi = h(ti ) cuya longitud, que llamaremos Sn , es la suma de las longitudes de los n segmentos que forman la poligonal. Puede observarse que la longitud de la poligonal es una aproximaci´ on a la longitud de la curva

Figura 1: Una poligonal con n segmentos inscripta en la curva C

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queremos hallar una expresi´on para Sn Sn =

n X i=1

| Pi − Pi−1 |

(1)

y | Pi − Pi−1 |=

p

(f (ti ) − f (ti−1 ))2 + (g(ti ) − g(ti−1 ))2 + (h(ti ) − h(ti−1 ))2 . (2)

Dado que f, g, h cumplen las hipotesis del teorema del valor medio del c´alculo difererncial, sabemos que existen ai ,bi , ci en el intervalo (ti−1 ; ti ) tales que f (ti ) − f (ti−1 ) = f ′ (ai )∆ti , g (ti ) − g(ti−1 ) = g ′ (bi )∆ti ,

h(ti ) − h(ti−1 ) = h′ (ci )∆ti De (1) y (2) esto conduce a la expresi´on Sn =

n p X

(f ′ (ai ))2 + (g ′ (bi ))2 + (h′ (ci ))2 ∆ti

i=1

para la longitud del poligono. Sea la norma de la partici´on P la mayor longitud de los subintervalo determinados por P, es decir, k P k= max{∆ti = ti − ti−1 : i = 1, . . . , n} Si hacemos el n´ umero n de puntos ti de la subdivisi´on crecer mas all´a de toda cota y la norma de la partici´on tender a 0, es decir k P k→ 0 entonces ∆ti → 0 y dado que ti−1 < ai < ti ,

ti−1 < bi < ti ,

ti−1 < ci < ti

tenemos que ai , bi , ci → ti−1 , por lo cual la suma tiende a la integral como sigue Z bp L= (f ′ (t))2 + (g ′ (t))2 + (h′ (t))2 dt a

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Observe que la f´ormula de longitud de arco puede expresase en forma m´as compacta c´omo Z b |r~′ (t)|dt. L= a

Ejemplo 2: Calcular la longitud del arco de la h´elice c´onica de ecuaci´on vectorial ~r (t) = t cos(t)~i + t sen(t)j~ + t~k desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto (−π, 0, π) . Para poder calcular longitud de arco es preciso verificar primero si es un curva suave, para esto debe cumplirse r~′ (t) continua y r~′ (t) 6= 0~ pero ~r′ (t) =< cos(t) − t sen(t); sen(t) + t cos(t); 1 >,

0≤t≤π

de lo anterior r~′ es continua por ser cada una de sus componentes continuas y es distinta del vector nulo, con lo cual define una curva suave. Los extremos de integraci´on se obtienen de los par´ametros que corresponden a cada uno de los puntos en este caso de la tercer componente vemos que se verifica que t = 0 y t = π respectivamente. Luego p | ~r′ (t)| = (cos(t) − t sen(t))2 + (sen(t) + t cos(t))2 + 1 = p = (cos(t))2 − 2t cos(t) sen(t) + (t sen(t))2 + (sen(t))2 + 2t sen(t) cos(t) + (t cos(t))2 + 1 p √ = (cos(t))2 + (t sen(t))2 + (sen(t))2 + (t cos(t))2 + 1 = t2 + 2

y as´ı

L=

Z

b a

|r~′ (t)|dt =

Z

π√ 0

√ 2Argsenh( √π2 ) + π π 2 + 1 ∼ t2 + 2 dt = = 6,95 2

Ahora suponga que C es una curva suave por tramos dada por una funci´on vectorial ~r (t) = f (t)~i + g(t)~j + h(t)~k , a ≤ t ≤ b si adem´as C es simple cuando t se incrementa desde a a b. Definimos la funci´ on de longitud de arco s como Z tp Z t ′ ~ (f ′ (u))2 + (g ′ (u))2 + (h′ (u))2 du |r (u)|du = s(t) = a

a

Por lo tanto, s(t) es la longitud de la curva C entre ~r (a) y ~r (t) Algunas propiedades de funci´on s(t) 5

1. s(a) = 0 y s(b) = L. 2.

ds dt

= |r~′ (t)|

3. s(t) es una funci´on mon´otona creciente. de estas propiedades la n´ umero dos es la que usaremos m´as adelante. Las demostraciones son triviales y se dejan de ejercicio para el lector. Vectores Normales y Binormales Dada una curva suave ~r (t) en el espacio, recordemos que al ser suave r~′ (t) 6= ~0 y podemos definir el vector tangente unitario T~ (t) = r~′′ (t) . Queremos hallar |r~ (t)|

tres vectores unitarios y ortogonales entre s´ı, que juntos formen un sistema de referencia m´ovil. Este sistema es conocido como Triedro de Frˆenet. para esto, sabemos que esxisten infinitos vectores ortogonales a T~, si consideramos que |T~ (t)| = 1 es decir constante para todo t entonces por el ejemplo 4 de ~ (t) · T~′ (t) = 0, de esta manera encontramos un la secci´on 13.2 se tiene que T vector ortogonal a T~ (t) pero no necesariamente es unitario, entonces si r~′ es suave podemos definir Vector normal unitario principal o simplemente vector normal como ~′ ~ (t) = T (t) N |T~ ′ (t)| Vector binormal ~ = T~(t) × N ~ (t) B(t) el vector binormal resulta por propiedad del producto cruz, ortogonal a cada ~ y es unitario pues uno de los vectores T~ y N ~ ~ (t) × N~ (t)| = |T~ (t)||N ~ (t)| sen(90o ) = 1 |B(t)| = |T Plano Normal y plano osculador Para la curva C dada por ~r , definimos el plano normal a C en el punto P ~ yB ~ y que contiene al al plano paralelo a los vectores normal y binormal N punto P de la curva. Est´a constituido por todas las rectas que son ortogonales ~ se llama plano al vector tangente T. El plano definido por los vectoresT~ y N 6

Figura 2: Triedro de Frˆenet osculador de C en P. Es el plano que est´a m´as cerca de contener la parte de la curva cerca de P. En el caso de una curva plana, el plano osculador es simplemente el plano que contiene a la curva. Ejemplo 3: Determinar la ecuaci´on del plano normal a la curva con ecuaciones param´etricas x = t, y = t2 , z = t3 en el punto P (1; 1; 1) Soluci´ on: El plano normal enP tiene como vector normal ~r′ (1) =< 1; 2; 3 > as´ı su ecuaci´ on es 1(x − 1) + 2(y − 1) + 3(z − 1) = 0 o de manera equivalente x + 2y + 3z = 6 como muestra la Fig. 3

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Figura 3: Curva x = t, y = t2 , z = t3 y su plano normal en el punto P (1; 1; 1)

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